Στα μαθηματικά και την επεξεργασία, η έννοια ενός αναλυτικού σήματος (για συντομία - C, AC) είναι μια σύνθετη συνάρτηση που δεν έχει συνιστώσες αρνητικής συχνότητας. Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αυτού του φαινομένου είναι πραγματικές συναρτήσεις που σχετίζονται μεταξύ τους με τον μετασχηματισμό Hilbert. Ένα αναλυτικό σήμα είναι ένα αρκετά κοινό φαινόμενο στη χημεία, η ουσία του οποίου μοιάζει με τον μαθηματικό ορισμό αυτής της έννοιας.
Performances
Η αναλυτική αναπαράσταση μιας πραγματικής συνάρτησης είναι ένα αναλυτικό σήμα που περιέχει την αρχική συνάρτηση και τον μετασχηματισμό Hilbert. Αυτή η αναπαράσταση διευκολύνει πολλούς μαθηματικούς χειρισμούς. Η κύρια ιδέα είναι ότι οι αρνητικές συνιστώσες συχνότητας του μετασχηματισμού Fourier (ή του φάσματος) μιας πραγματικής συνάρτησης είναι περιττές λόγω της Ερμιτικής συμμετρίας ενός τέτοιου φάσματος. Αυτά τα στοιχεία αρνητικής συχνότητας μπορούν να απορριφθούν χωρίςαπώλεια πληροφοριών, με την προϋπόθεση ότι θέλετε να αντιμετωπίσετε μια σύνθετη λειτουργία. Αυτό καθιστά ορισμένα χαρακτηριστικά γνωρίσματα πιο προσιτά και διευκολύνει την εξαγωγή τεχνικών διαμόρφωσης και αποδιαμόρφωσης όπως το SSB.
Αρνητικά στοιχεία
Εφόσον η συνάρτηση που χειρίζεται δεν έχει συνιστώσες αρνητικής συχνότητας (δηλαδή εξακολουθεί να είναι αναλυτική), η μετατροπή από σύνθετη αντίστροφη σε πραγματική είναι απλώς θέμα απόρριψης του φανταστικού μέρους. Η αναλυτική αναπαράσταση είναι μια γενίκευση της έννοιας του διανύσματος: ενώ ένα διάνυσμα περιορίζεται σε ένα αμετάβλητο ως προς το χρόνο πλάτος, φάση και συχνότητα, μια ποιοτική ανάλυση ενός αναλυτικού σήματος επιτρέπει παραμέτρους που μεταβάλλονται χρονικά.
Το στιγμιαίο πλάτος, η στιγμιαία φάση και η συχνότητα χρησιμοποιούνται σε ορισμένες εφαρμογές για τη μέτρηση και τον εντοπισμό τοπικών χαρακτηριστικών του C. Μια άλλη εφαρμογή της αναλυτικής αναπαράστασης σχετίζεται με την αποδιαμόρφωση διαμορφωμένων σημάτων. Οι πολικές συντεταγμένες διαχωρίζουν εύκολα τα αποτελέσματα της διαμόρφωσης AM και φάσης (ή συχνότητας) και αποδιαμορφώνουν αποτελεσματικά ορισμένα είδη.
Στη συνέχεια, ένα απλό χαμηλοπερατό φίλτρο με πραγματικούς συντελεστές μπορεί να κόψει το τμήμα που ενδιαφέρει. Ένα άλλο κίνητρο είναι η μείωση της μέγιστης συχνότητας, η οποία μειώνει την ελάχιστη συχνότητα για δειγματοληψία χωρίς ψευδώνυμο. Η μετατόπιση συχνότητας δεν υπονομεύει τη μαθηματική χρησιμότητα της αναπαράστασης. Έτσι, με αυτή την έννοια, το downconverted εξακολουθεί να είναι αναλυτικό. Ωστόσο, η αποκατάσταση της πραγματικής αναπαράστασηςδεν είναι πλέον ένα απλό θέμα απλής εξαγωγής του πραγματικού στοιχείου. Ενδέχεται να απαιτείται ανοδική μετατροπή και εάν το σήμα δειγματοληπτείται (διακεκριμένος χρόνος), μπορεί επίσης να απαιτείται παρεμβολή (upsampling) για να αποφευχθεί το ψευδώνυμο.
Μεταβλητές
Η έννοια είναι καλά καθορισμένη για φαινόμενα μεμονωμένης μεταβλητής, η οποία είναι συνήθως προσωρινή. Αυτή η χρονικότητα μπερδεύει πολλούς αρχάριους μαθηματικούς. Για δύο ή περισσότερες μεταβλητές, η αναλυτική C μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς τρόπους και δύο προσεγγίσεις παρουσιάζονται παρακάτω.
Το πραγματικό και το φανταστικό μέρος αυτού του φαινομένου αντιστοιχούν σε δύο στοιχεία ενός μονογονικού σήματος με διανυσματική τιμή, όπως ορίζεται για παρόμοια φαινόμενα με μία μεταβλητή. Ωστόσο, το μονογονικό μπορεί να επεκταθεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό μεταβλητών με απλό τρόπο, δημιουργώντας μια διανυσματική συνάρτηση διαστάσεων (n + 1) για την περίπτωση σημάτων n-μεταβλητών.
Μετατροπή σήματος
Μπορείτε να μετατρέψετε ένα πραγματικό σήμα σε αναλυτικό προσθέτοντας ένα φανταστικό στοιχείο (Q), το οποίο είναι ο μετασχηματισμός Hilbert του πραγματικού στοιχείου.
Παρεμπιπτόντως, αυτό δεν είναι νέο στην ψηφιακή του επεξεργασία. Ένας από τους παραδοσιακούς τρόπους δημιουργίας AM μονής πλευρικής ζώνης (SSB), η μέθοδος phasing, περιλαμβάνει τη δημιουργία σημάτων με τη δημιουργία ενός μετασχηματισμού Hilbert ενός σήματος ήχου σε ένα αναλογικό δίκτυο αντίστασης-πυκνωτή. Δεδομένου ότι έχει μόνο θετικές συχνότητες, είναι εύκολο να το μετατρέψετε σε διαμορφωμένο σήμα RF με μία μόνο πλευρική ζώνη.
Τύποι ορισμού
Η έκφραση αναλυτικού σήματος είναι μια ολομορφική μιγαδική συνάρτηση που ορίζεται στο όριο του άνω μιγαδικού ημιεπιπέδου. Το όριο του άνω ημιεπιπέδου συμπίπτει με το τυχαίο, επομένως το C δίνεται από την απεικόνιση fa: R → C. Από τα μέσα του περασμένου αιώνα, όταν ο Denis Gabor πρότεινε το 1946 να χρησιμοποιηθεί αυτό το φαινόμενο για τη μελέτη σταθερού πλάτους και φάσης, το σήμα έχει βρει πολλές εφαρμογές. Η ιδιαιτερότητα αυτού του φαινομένου τονίστηκε [Vak96], όπου αποδείχθηκε ότι μόνο μια ποιοτική ανάλυση του αναλυτικού σήματος αντιστοιχεί στις φυσικές συνθήκες για πλάτος, φάση και συχνότητα.
Τελευταία επιτεύγματα
Κατά τις τελευταίες δεκαετίες, υπήρξε ενδιαφέρον για τη μελέτη του σήματος σε πολλές διαστάσεις, με κίνητρο τα προβλήματα που προκύπτουν σε πεδία που κυμαίνονται από την επεξεργασία εικόνας/βίντεο έως πολυδιάστατες ταλαντωτικές διεργασίες στη φυσική, όπως η σεισμική, η ηλεκτρομαγνητική και βαρυτικά κύματα. Είναι γενικά αποδεκτό ότι, για να γενικευτεί σωστά η αναλυτική C (ποιοτική ανάλυση) στην περίπτωση πολλών διαστάσεων, πρέπει να βασιστεί κανείς σε μια αλγεβρική κατασκευή που επεκτείνει τους συνηθισμένους μιγαδικούς αριθμούς με βολικό τρόπο. Τέτοιες κατασκευές ονομάζονται συνήθως υπερσύνθετοι αριθμοί [SKE].
Τέλος, θα πρέπει να είναι δυνατή η κατασκευή ενός υπερσύνθετου αναλυτικού σήματος fh: Rd → S, όπου αναπαρίσταται κάποιο γενικό υπερσύνθετο αλγεβρικό σύστημα, το οποίο φυσικά επεκτείνει όλες τις απαιτούμενες ιδιότητες για να αποκτήσει ένα στιγμιαίο πλάτος καιφάση.
Μελέτη
Ένας αριθμός εργασιών είναι αφιερωμένος σε διάφορα ζητήματα που σχετίζονται με τη σωστή επιλογή του συστήματος υπερμιγαδικών αριθμών, τον ορισμό του υπερσύνθετου μετασχηματισμού Fourier και των κλασματικών μετασχηματισμών Hilbert για τη μελέτη του στιγμιαίου πλάτους και φάσης. Το μεγαλύτερο μέρος αυτής της εργασίας βασίστηκε σε ιδιότητες διαφόρων χώρων όπως Cd, τεταρτοταγή, άλγεβρες Clearon και κατασκευές Cayley-Dixon.
Στη συνέχεια, θα απαριθμήσουμε μόνο μερικές από τις εργασίες που είναι αφιερωμένες στη μελέτη του σήματος σε πολλές διαστάσεις. Από όσο γνωρίζουμε, οι πρώτες εργασίες για την πολυμεταβλητή μέθοδο αποκτήθηκαν στις αρχές της δεκαετίας του 1990. Αυτά περιλαμβάνουν το έργο του Ell [Ell92] για τους υπερσύνθετους μετασχηματισμούς. Η εργασία του Bulow σχετικά με τη γενίκευση της μεθόδου της αναλυτικής αντίδρασης (αναλυτικό σήμα) σε πολλές μετρήσεις [BS01] και η εργασία των Felsberg και Sommer για τα μονογονικά σήματα.
Περαιτέρω προοπτικές
Το υπερσύνθετο σήμα αναμένεται να επεκτείνει όλες τις χρήσιμες ιδιότητες που έχουμε στην περίπτωση 1D. Πρώτα απ 'όλα, πρέπει να είμαστε σε θέση να εξαγάγουμε και να γενικεύουμε το στιγμιαίο πλάτος και τη φάση στις μετρήσεις. Δεύτερον, το φάσμα Fourier ενός σύνθετου αναλυτικού σήματος διατηρείται μόνο σε θετικές συχνότητες, επομένως αναμένουμε ότι ο υπερσύνθετος μετασχηματισμός Fourier θα έχει το δικό του υπερτιμημένο φάσμα, το οποίο θα διατηρηθεί μόνο σε κάποιο θετικό τεταρτημόριο του υπερσύνθετου χώρου. Γιατί είναι πολύ σημαντικό.
Τρίτον, συζευγμένα μέρη μιας σύνθετης έννοιαςτου αναλυτικού σήματος σχετίζονται με τον μετασχηματισμό Hilbert και μπορούμε να αναμένουμε ότι τα συζευγμένα στοιχεία στον υπερσύνθετο χώρο πρέπει επίσης να σχετίζονται με κάποιο συνδυασμό των μετασχηματισμών Hilbert. Και τέλος, πράγματι, ένα υπερσύνθετο σήμα πρέπει να οριστεί ως η επέκταση κάποιας υπερσύνθετης ολομορφικής συνάρτησης πολλών υπερσύνθετων μεταβλητών που ορίζονται στο όριο κάποιας μορφής σε έναν υπερσύνθετο χώρο.
Αντιμετωπίζουμε αυτά τα ζητήματα με διαδοχική σειρά. Πρώτα απ 'όλα, ξεκινάμε κοιτάζοντας τον ολοκληρωτικό τύπο Fourier και δείχνουμε ότι ο μετασχηματισμός Hilbert σε 1-D σχετίζεται με τον τροποποιημένο ολοκληρωτικό τύπο Fourier. Αυτό το γεγονός μας επιτρέπει να ορίσουμε το στιγμιαίο πλάτος, φάση και συχνότητα χωρίς καμία αναφορά σε υπερσύνθετα συστήματα αριθμών και ολομορφικές συναρτήσεις.
Τροποποίηση ολοκληρωμάτων
Συνεχίζουμε επεκτείνοντας τον τροποποιημένο ακέραιο τύπο Fourier σε πολλές διαστάσεις και προσδιορίζουμε όλα τα απαραίτητα στοιχεία μετατόπισης φάσης που μπορούμε να συλλέξουμε σε στιγμιαίο πλάτος και φάση. Δεύτερον, στραφούμε στο ζήτημα της ύπαρξης ολομορφικών συναρτήσεων αρκετών υπερσύνθετων μεταβλητών. Αφού το [Sch93] αποδεικνύεται ότι η αντιθετική και συνειρμική υπερσύνθετη άλγεβρα που δημιουργείται από ένα σύνολο ελλειπτικών (e2i=−1) γεννητριών είναι ένας κατάλληλος χώρος για να ζήσει ένα υπερσύνθετο αναλυτικό σήμα, ονομάζουμε μια τέτοια υπερσύνθετη άλγεβρα χώρο Schaefers και συμβολίζουμε τοSd.
Επομένως, το υπερσύμπλεξο των αναλυτικών σημάτων ορίζεται ως μια ολομορφική συνάρτηση στο όριο του πολυδίσκου / άνω μισού του επιπέδου σε κάποιο υπερσύνθετο χώρο, τον οποίο ονομάζουμε γενικό χώρο Schaefers, και συμβολίζεται με Sd. Στη συνέχεια, παρατηρούμε την εγκυρότητα του ολοκληρωτικού τύπου Cauchy για τις συναρτήσεις Sd → Sd, οι οποίες υπολογίζονται σε μια υπερεπιφάνεια μέσα σε έναν πολυδίσκο σε Sd και εξάγουν τους αντίστοιχους κλασματικούς μετασχηματισμούς Hilbert που συσχετίζουν τα υπερσύνθετα συζευγμένα συστατικά. Τέλος, αποδεικνύεται ότι ο μετασχηματισμός Fourier με τιμές στο χώρο Schaefers υποστηρίζεται μόνο σε μη αρνητικές συχνότητες. Χάρη σε αυτό το άρθρο, μάθατε τι είναι ένα αναλυτικό σήμα.
