Ένα τυπικό γεωμετρικό πρόβλημα είναι η εύρεση της γωνίας μεταξύ των γραμμών. Σε ένα επίπεδο, αν οι εξισώσεις των ευθειών είναι γνωστές, μπορούν να σχεδιαστούν και να μετρηθεί η γωνία με ένα μοιρογνωμόνιο. Ωστόσο, αυτή η μέθοδος είναι επίπονη και δεν είναι πάντα δυνατή. Για να μάθετε την ονομαζόμενη γωνία, δεν είναι απαραίτητο να σχεδιάσετε ευθείες γραμμές, μπορεί να υπολογιστεί. Αυτό το άρθρο θα απαντήσει πώς γίνεται αυτό.
Μια ευθεία γραμμή και η διανυσματική της εξίσωση
Οποιαδήποτε ευθεία μπορεί να αναπαρασταθεί ως διάνυσμα που ξεκινά από -∞ και τελειώνει στο +∞. Σε αυτή την περίπτωση, το διάνυσμα διέρχεται από κάποιο σημείο του χώρου. Έτσι, όλα τα διανύσματα που μπορούν να σχεδιαστούν μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων σε μια ευθεία γραμμή θα είναι παράλληλα μεταξύ τους. Αυτός ο ορισμός σάς επιτρέπει να ορίσετε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής σε διανυσματική μορφή:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + α(a; β; γ)
Εδώ, το διάνυσμα με συντεταγμένες (a; b; c) είναι ο οδηγός αυτής της γραμμής που διέρχεται από το σημείο (x0; y0; z0). Η παράμετρος α σάς επιτρέπει να μεταφέρετε το καθορισμένο σημείο σε οποιοδήποτε άλλο για αυτήν τη γραμμή. Αυτή η εξίσωση είναι διαισθητική και εύκολη στην εργασία τόσο σε τρισδιάστατο χώρο όσο και σε επίπεδο. Για ένα επίπεδο, δεν θα περιέχει τις συντεταγμένες z και τη συνιστώσα του διανύσματος τρίτης κατεύθυνσης.
Η ευκολία εκτέλεσης υπολογισμών και μελέτης της σχετικής θέσης των ευθειών λόγω της χρήσης μιας διανυσματικής εξίσωσης οφείλεται στο γεγονός ότι το κατευθυντικό της διάνυσμα είναι γνωστό. Οι συντεταγμένες του χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της γωνίας μεταξύ των γραμμών και της απόστασης μεταξύ τους.
Γενική εξίσωση για μια ευθεία γραμμή σε ένα επίπεδο
Ας γράψουμε ρητά τη διανυσματική εξίσωση της ευθείας γραμμής για τη δισδιάστατη περίπτωση. Μοιάζει με:
x=x0+ αa;
y=y0+ αb
Τώρα υπολογίζουμε την παράμετρο α για κάθε ισότητα και εξισώνουμε τα σωστά μέρη των ισοτήτων που προέκυψαν:
α=(x - x0)/a;
α=(y - y0)/β;
(x - x0)/a=(y - y0)/b
Ανοίγοντας τις αγκύλες και μεταφέροντας όλους τους όρους στη μία πλευρά της ισότητας, παίρνουμε:
1/ax +(-1/b)y+y0/b- x0/a=0=>
Ax + By + C=0, όπου A=1/a, B=-1/b, C=y0/b- x 0/a
Η έκφραση που προκύπτει ονομάζεται γενική εξίσωση για μια ευθεία που δίνεται σε δισδιάστατο χώρο (στο τρισδιάστατο αυτή η εξίσωση αντιστοιχεί σε ένα επίπεδο παράλληλο στον άξονα z, όχι σε μια ευθεία γραμμή).
Αν γράψουμε ρητά το y έως το x σε αυτήν την παράσταση, τότε παίρνουμε την ακόλουθη μορφή, γνωστήκάθε μαθητής:
y=kx + p, όπου k=-A/B, p=-C/B
Αυτή η γραμμική εξίσωση ορίζει μοναδικά μια ευθεία γραμμή στο επίπεδο. Είναι πολύ εύκολο να το σχεδιάσετε σύμφωνα με τη γνωστή εξίσωση, για αυτό θα πρέπει να βάλετε x=0 και y=0 με τη σειρά, να σημειώσετε τα αντίστοιχα σημεία στο σύστημα συντεταγμένων και να σχεδιάσετε μια ευθεία γραμμή που συνδέει τα σημεία που λήφθηκαν.
Τύπος της γωνίας μεταξύ των γραμμών
Σε ένα επίπεδο, δύο ευθείες μπορούν είτε να τέμνονται είτε να είναι παράλληλες μεταξύ τους. Στο διάστημα, σε αυτές τις επιλογές προστίθεται η δυνατότητα ύπαρξης λοξών γραμμών. Όποια κι αν είναι η εκδοχή της σχετικής θέσης αυτών των μονοδιάστατων γεωμετρικών αντικειμένων, η γωνία μεταξύ τους μπορεί πάντα να προσδιοριστεί από τον ακόλουθο τύπο:
φ=arccos(|(v1¯v2¯)|/(|v1 ¯||v2¯|))
Όπου τα v1¯ και v2¯ είναι τα διανύσματα οδηγών για τις γραμμές 1 και 2 αντίστοιχα. Ο αριθμητής είναι ο συντελεστής του γινόμενου κουκκίδων για να αποκλείονται οι αμβλείς γωνίες και να λαμβάνονται υπόψη μόνο οι αιχμηρές.
Τα διανύσματα v1¯ και v2¯ μπορούν να δοθούν με δύο ή τρεις συντεταγμένες, ενώ ο τύπος για τη γωνία φ παραμένει αμετάβλητο.
Παραλληλισμός και καθετότητα ευθειών
Αν η γωνία μεταξύ 2 γραμμών που υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο είναι 0o, τότε λέγεται ότι είναι παράλληλες. Για να προσδιορίσετε εάν οι γραμμές είναι παράλληλες ή όχι, δεν μπορείτε να υπολογίσετε τη γωνίαφ, αρκεί να δείξουμε ότι ένα διάνυσμα κατεύθυνσης μπορεί να αναπαρασταθεί μέσω ενός παρόμοιου διανύσματος μιας άλλης γραμμής, δηλαδή:
v1¯=qv2¯
Εδώ q είναι κάποιος πραγματικός αριθμός.
Αν οι εξισώσεις των γραμμών δίνονται ως:
y=k1x + p1,
y=k2x + p2,
τότε θα είναι παράλληλοι μόνο όταν οι συντελεστές του x είναι ίσοι, δηλαδή:
k1=k2
Αυτό το γεγονός μπορεί να αποδειχθεί αν λάβουμε υπόψη πώς εκφράζεται ο συντελεστής k ως προς τις συντεταγμένες του κατευθυντικού διανύσματος της ευθείας.
Αν η γωνία τομής μεταξύ των γραμμών είναι 90o, τότε ονομάζονται κάθετες. Για τον προσδιορισμό της καθετότητας των γραμμών, δεν είναι επίσης απαραίτητος ο υπολογισμός της γωνίας φ, για αυτό αρκεί να υπολογιστεί μόνο το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων v1¯ και v 2¯. Πρέπει να είναι μηδέν.
Στην περίπτωση τεμνόμενων ευθειών στο διάστημα, μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί ο τύπος για τη γωνία φ. Σε αυτή την περίπτωση, το αποτέλεσμα θα πρέπει να ερμηνεύεται σωστά. Το υπολογιζόμενο φ δείχνει τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων κατεύθυνσης των γραμμών που δεν τέμνονται και δεν είναι παράλληλες.
Εργασία 1. Κάθετες γραμμές
Είναι γνωστό ότι οι εξισώσεις των γραμμών έχουν τη μορφή:
(x; y)=(1; 2) + α(1; 2);
(x; y)=(-4; 7) + β(-4; 2)
Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί εάν αυτές οι γραμμές είναικάθετη.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, για να απαντήσουμε στην ερώτηση, αρκεί να υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των διανυσμάτων των οδηγών, που αντιστοιχούν στις συντεταγμένες (1; 2) και (-4; 2). Έχουμε:
(1; 2)(-4; 2)=1(-4) + 22=0
Αφού λάβαμε 0, αυτό σημαίνει ότι οι εξεταζόμενες ευθείες τέμνονται σε ορθή γωνία, δηλαδή είναι κάθετες.
Εργασία 2. Γωνία τομής γραμμής
Είναι γνωστό ότι δύο εξισώσεις για ευθείες έχουν την ακόλουθη μορφή:
y=2x - 1;
y=-x + 3
Είναι απαραίτητο να βρείτε τη γωνία μεταξύ των γραμμών.
Δεδομένου ότι οι συντελεστές του x έχουν διαφορετικές τιμές, αυτές οι γραμμές δεν είναι παράλληλες. Για να βρούμε τη γωνία που σχηματίζεται όταν τέμνονται, μεταφράζουμε καθεμία από τις εξισώσεις σε διανυσματική μορφή.
Για την πρώτη γραμμή παίρνουμε:
(x; y)=(x; 2x - 1)
Στη δεξιά πλευρά της εξίσωσης, πήραμε ένα διάνυσμα του οποίου οι συντεταγμένες εξαρτώνται από το x. Ας το παραστήσουμε ως άθροισμα δύο διανυσμάτων και οι συντεταγμένες του πρώτου θα περιέχουν τη μεταβλητή x και οι συντεταγμένες του δεύτερου θα αποτελούνται αποκλειστικά από αριθμούς:
(x; y)=(x; 2x) + (0; - 1)=x(1; 2) + (0; - 1)
Δεδομένου ότι το x παίρνει αυθαίρετες τιμές, μπορεί να αντικατασταθεί από την παράμετρο α. Η διανυσματική εξίσωση για την πρώτη γραμμή γίνεται:
(x; y)=(0; - 1) + α(1; 2)
Κάνουμε τις ίδιες ενέργειες με τη δεύτερη εξίσωση της γραμμής, παίρνουμε:
(x; y)=(x; -x + 3)=(x; -x) + (0; 3)=x(1; -1) + (0; 3)=>
(x; y)=(0; 3) + β(1; -1)
Ξαναγράψαμε τις αρχικές εξισώσεις σε διανυσματική μορφή. Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τη γωνία τομής, αντικαθιστώντας σε αυτόν τις συντεταγμένες των κατευθυντικών διανυσμάτων των ευθειών:
(1; 2)(1; -1)=-1;
|(1; 2)|=√5;
|(1; -1)|=√2;
φ=arccos(|-1|/(√5√2))=71, 565o
Έτσι, οι υπό εξέταση ευθείες τέμνονται υπό γωνία 71,565o, ή 1,249 ακτίνια.
Αυτό το πρόβλημα θα μπορούσε να είχε λυθεί διαφορετικά. Για να γίνει αυτό, ήταν απαραίτητο να ληφθούν δύο αυθαίρετα σημεία από κάθε ευθεία γραμμή, να συνθέσετε απευθείας διανύσματα από αυτά και στη συνέχεια να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το φ.
