Πολύ συχνά στη μαθηματική επιστήμη υπάρχουν πολλές δυσκολίες και ερωτήσεις και πολλές από τις απαντήσεις δεν είναι πάντα σαφείς. Καμία εξαίρεση δεν ήταν ένα τέτοιο θέμα όπως η καρδινάτητα των συνόλων. Στην πραγματικότητα, αυτό δεν είναι τίποτα περισσότερο από μια αριθμητική έκφραση του αριθμού των αντικειμένων. Με μια γενική έννοια, ένα σύνολο είναι αξίωμα· δεν έχει ορισμό. Βασίζεται σε οποιαδήποτε αντικείμενα, ή μάλλον στο σύνολο τους, που μπορεί να είναι κενό, πεπερασμένο ή άπειρο. Επιπλέον, περιέχει ακέραιους ή φυσικούς αριθμούς, πίνακες, ακολουθίες, τμήματα και γραμμές.
Σχετικά με τις υπάρχουσες μεταβλητές
Ένα μηδενικό ή κενό σύνολο χωρίς εγγενή τιμή θεωρείται βασικό στοιχείο επειδή είναι υποσύνολο. Η συλλογή όλων των υποσυνόλων ενός μη κενού συνόλου S είναι ένα σύνολο συνόλων. Έτσι, το σύνολο ισχύος ενός δεδομένου συνόλου θεωρείται ότι είναι πολλά, νοητά, αλλά ενιαία. Το σύνολο αυτό ονομάζεται σύνολο δυνάμεων του S και συμβολίζεται με P (S). Αν το S περιέχει N στοιχεία, τότε το P(S) περιέχει 2^n υποσύνολα, αφού ένα υποσύνολο του P(S) είναι είτε ∅ είτε ένα υποσύνολο που περιέχει r στοιχεία από S, r=1, 2, 3, … Αποτελείται από οτιδήποτε είναι άπειροΤο σύνολο M ονομάζεται μέγεθος ισχύος και συμβολίζεται με P (M).
Στοιχεία θεωρίας συνόλων
Αυτό το πεδίο γνώσης αναπτύχθηκε από τον George Cantor (1845-1918). Σήμερα χρησιμοποιείται σχεδόν σε όλους τους κλάδους των μαθηματικών και χρησιμεύει ως το θεμελιώδες μέρος του. Στη θεωρία συνόλων, τα στοιχεία αναπαρίστανται με τη μορφή λίστας και δίνονται με τύπους (κενό σύνολο, μονότονο, πεπερασμένα και άπειρα σύνολα, ίσα και ισοδύναμα, καθολικά), ένωση, τομή, διαφορά και πρόσθεση αριθμών. Στην καθημερινή ζωή, μιλάμε συχνά για μια συλλογή αντικειμένων όπως ένα μάτσο κλειδιά, ένα κοπάδι από πουλιά, ένα πακέτο καρτών κ.λπ. Στην τάξη των μαθηματικών 5 και μετά, υπάρχουν φυσικοί, ακέραιοι, πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί.
Μπορούν να ληφθούν υπόψη τα ακόλουθα σετ:
- φυσικοί αριθμοί;
- γράμματα του αλφαβήτου;
- κύρια πιθανότητες;
- τρίγωνα με διαφορετικές πλευρές.
Μπορεί να φανεί ότι αυτά τα συγκεκριμένα παραδείγματα είναι καλά καθορισμένα σύνολα αντικειμένων. Εξετάστε μερικά ακόμη παραδείγματα:
- πέντε πιο διάσημοι επιστήμονες στον κόσμο;
- επτά όμορφα κορίτσια στην κοινωνία;
- τρεις καλύτεροι χειρουργοί.
Αυτά τα παραδείγματα καρδιναλικότητας δεν είναι καλά καθορισμένες συλλογές αντικειμένων, επειδή τα κριτήρια για "πιο διάσημο", "πιο όμορφο", "καλύτερο" διαφέρουν από άτομο σε άτομο.
Σετ
Αυτή η τιμή είναι ένας καλά καθορισμένος αριθμός διαφορετικών αντικειμένων. Υποθέτοντας ότι:
Το
Τα
Αν το «α» είναι στοιχείο του συνόλου Α, τότε λέγεται ότι το «α» ανήκει στο Α. Ας υποδηλώσουμε τη φράση «ανήκει» με τον ελληνικό χαρακτήρα «∈» (έψιλον). Έτσι, αποδεικνύεται ότι a ∈ A. Εάν το 'b' είναι ένα στοιχείο που δεν ανήκει στο A, αυτό αντιπροσωπεύεται ως b ∉ A. Ορισμένα σημαντικά σύνολα που χρησιμοποιούνται στα μαθηματικά της τάξης 5 αντιπροσωπεύονται χρησιμοποιώντας τις τρεις ακόλουθες μεθόδους:
- εφαρμογές;
- μητρώα ή πίνακας;
- κανόνας για τη δημιουργία ενός σχηματισμού.
Σε πιο προσεκτική εξέταση, το έντυπο αίτησης βασίζεται στα ακόλουθα. Σε αυτή την περίπτωση, δίνεται μια σαφής περιγραφή των στοιχείων του συνόλου. Είναι όλα κλεισμένα σε σγουρά τιράντες. Για παράδειγμα:
- σύνολο περιττών αριθμών μικρότεροι από 7 - γραμμένο ως {λιγότερο από 7};
- ένα σύνολο αριθμών μεγαλύτεροι από 30 και μικρότεροι από 55;
- αριθμός μαθητών σε μια τάξη που ζυγίζει περισσότερο από τον δάσκαλο.
Στη φόρμα μητρώου (πίνακας), τα στοιχεία ενός συνόλου παρατίθενται σε ένα ζεύγος αγκύλων {} και χωρίζονται με κόμματα. Για παράδειγμα:
- Έστω Ν το σύνολο των πέντε πρώτων φυσικών αριθμών. Επομένως, N=→ φόρμα εγγραφής
- Σετ όλων των φωνηέντων του αγγλικού αλφαβήτου. Επομένως V={a, e, i, o, u, y} → φόρμα εγγραφής
- Το σύνολο όλων των περιττών αριθμών είναι μικρότερο από 9. Επομένως, X={1, 3, 5, 7} → μορφήμητρώου
- Σύνολο όλων των γραμμάτων στη λέξη "Math". Επομένως, Z={M, A, T, H, E, I, C, S} → Φόρμα Μητρώου
- W είναι το σύνολο των τελευταίων τεσσάρων μηνών του έτους. Επομένως, W={Σεπτέμβριος, Οκτώβριος, Νοέμβριος, Δεκέμβριος} → μητρώο.
Σημειώστε ότι η σειρά με την οποία παρατίθενται τα στοιχεία δεν έχει σημασία, αλλά δεν πρέπει να επαναληφθούν. Μια καθιερωμένη μορφή κατασκευής, σε μια δεδομένη περίπτωση, ένας κανόνας, τύπος ή τελεστής γράφεται σε ένα ζευγάρι αγκύλες έτσι ώστε το σύνολο να ορίζεται σωστά. Στη φόρμα δημιουργίας συνόλου, όλα τα στοιχεία πρέπει να έχουν την ίδια ιδιότητα για να γίνουν μέλη της εν λόγω τιμής.
Σε αυτήν τη μορφή αναπαράστασης συνόλου, ένα στοιχείο του συνόλου περιγράφεται με τον χαρακτήρα "x" ή οποιαδήποτε άλλη μεταβλητή ακολουθούμενη από άνω και κάτω τελεία (":" ή "|" χρησιμοποιείται για να υποδείξει). Για παράδειγμα, έστω P το σύνολο των μετρήσιμων αριθμών μεγαλύτερου του 12. Το P στη μορφή δημιουργίας συνόλων γράφεται ως - {μετρήσιμος αριθμός και μεγαλύτερος από 12}. Θα διαβάζεται με συγκεκριμένο τρόπο. Δηλαδή, "P είναι ένα σύνολο x στοιχείων έτσι ώστε το x να είναι μετρήσιμο και μεγαλύτερο από 12."
Ελυμένο παράδειγμα χρησιμοποιώντας τρεις μεθόδους αναπαράστασης συνόλων: αριθμός ακεραίων μεταξύ -2 και 3. Ακολουθούν παραδείγματα διαφορετικών τύπων συνόλων:
- Ένα κενό ή μηδενικό σύνολο που δεν περιέχει κανένα στοιχείο και συμβολίζεται με το σύμβολο ∅ και διαβάζεται ως ph. Σε μορφή λίστας, το ∅ γράφεται {}. Το πεπερασμένο σύνολο είναι κενό, καθώς ο αριθμός των στοιχείων είναι 0. Για παράδειγμα, το σύνολο των ακεραίων τιμών είναι μικρότερο από 0.
- Προφανώς δεν θα έπρεπε να υπάρχει <0. Επομένως, αυτόκενό σύνολο.
- Ένα σύνολο που περιέχει μόνο μία μεταβλητή ονομάζεται σύνολο singleton. Δεν είναι ούτε απλό ούτε σύνθετο.
Περασμένο σύνολο
Ένα σύνολο που περιέχει έναν ορισμένο αριθμό στοιχείων ονομάζεται πεπερασμένο ή άπειρο σύνολο. Το κενό αναφέρεται στο πρώτο. Για παράδειγμα, ένα σύνολο από όλα τα χρώματα στο ουράνιο τόξο.
Το άπειρο είναι ένα σύνολο. Τα στοιχεία σε αυτό δεν μπορούν να απαριθμηθούν. Δηλαδή, το να περιέχει παρόμοιες μεταβλητές ονομάζεται άπειρο σύνολο. Παραδείγματα:
- δύναμη του συνόλου όλων των σημείων στο επίπεδο;
- σύνολο όλων των πρώτων αριθμών.
Αλλά θα πρέπει να καταλάβετε ότι όλες οι ιδιαιτερότητες της ένωσης ενός συνόλου δεν μπορούν να εκφραστούν με τη μορφή λίστας. Για παράδειγμα, πραγματικοί αριθμοί, καθώς τα στοιχεία τους δεν αντιστοιχούν σε κάποιο συγκεκριμένο μοτίβο.
Ο βασικός αριθμός ενός συνόλου είναι ο αριθμός των διαφορετικών στοιχείων σε μια δεδομένη ποσότητα A. Συμβολίζεται με n (A).
Για παράδειγμα:
- A {x: x ∈ N, x <5}. A={1, 2, 3, 4}. Επομένως, n (A)=4.
- B=σύνολο γραμμάτων στη λέξη ALGEBRA.
Ισοδύναμα σύνολα για σύγκριση συνόλων
Δύο καρδιναλιότητες ενός συνόλου Α και Β είναι τέτοιες αν ο βασικός τους αριθμός είναι ο ίδιος. Το σύμβολο για το ισοδύναμο σύνολο είναι "↔". Για παράδειγμα: A ↔ B.
Ίσα σύνολα: δύο καρδινότητες των συνόλων Α και Β εάν περιέχουν τα ίδια στοιχεία. Κάθε συντελεστής από το Α είναι μια μεταβλητή από το Β και κάθε ένας από το Β είναι η καθορισμένη τιμή του Α. Επομένως, A=B. Οι διάφοροι τύποι ενώσεων καρδιναλότητας και οι ορισμοί τους επεξηγούνται χρησιμοποιώντας τα παραδείγματα που παρέχονται.
Ουσία του πεπερασμένου και του απείρου
Ποιες είναι οι διαφορές μεταξύ της καρδιαλικότητας ενός πεπερασμένου συνόλου και ενός άπειρου συνόλου;
Η πρώτη τιμή έχει το ακόλουθο όνομα εάν είναι είτε κενή είτε έχει πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Σε ένα πεπερασμένο σύνολο, μια μεταβλητή μπορεί να καθοριστεί εάν έχει περιορισμένο πλήθος. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τον φυσικό αριθμό 1, 2, 3. Και η διαδικασία καταχώρησης τελειώνει σε κάποιο Ν. Ο αριθμός των διαφορετικών στοιχείων που μετρώνται στο πεπερασμένο σύνολο S συμβολίζεται με n (S). Ονομάζεται επίσης τάξη ή καρδινάλιος. Συμβολικά σημειώνεται σύμφωνα με την τυπική αρχή. Έτσι, αν το σύνολο S είναι το ρωσικό αλφάβητο, τότε περιέχει 33 στοιχεία. Είναι επίσης σημαντικό να θυμάστε ότι ένα στοιχείο δεν εμφανίζεται περισσότερες από μία φορές σε ένα σύνολο.
Άπειρο στο σύνολο
Ένα σύνολο ονομάζεται άπειρο εάν τα στοιχεία δεν μπορούν να απαριθμηθούν. Αν έχει απεριόριστο (δηλαδή αμέτρητο) φυσικό αριθμό 1, 2, 3, 4 για οποιοδήποτε n. Ένα σύνολο που δεν είναι πεπερασμένο ονομάζεται άπειρο. Μπορούμε τώρα να συζητήσουμε παραδείγματα των υπό εξέταση αριθμητικών τιμών. Επιλογές τελικής τιμής:
- Έστω Q={φυσικοί αριθμοί μικρότεροι από 25}. Τότε το Q είναι ένα πεπερασμένο σύνολο και n (P)=24.
- Έστω R={ακέραιοι μεταξύ 5 και 45}. Τότε το R είναι ένα πεπερασμένο σύνολο και n (R)=38.
- Έστω S={numbers modulo 9}. Τότε S=Το {-9, 9} είναι ένα πεπερασμένο σύνολο και n (S)=2.
- Σετ όλων των ατόμων.
- Αριθμός όλων των πουλιών.
Άπειρα παραδείγματα:
- αριθμός υπαρχόντων σημείων στο επίπεδο;
- αριθμός όλων των σημείων στο τμήμα γραμμής;
- το σύνολο των θετικών ακεραίων που διαιρούνται με το 3 είναι άπειρο;
- όλοι οι ακέραιοι και οι φυσικοί αριθμοί.
Έτσι, από τον παραπάνω συλλογισμό, είναι σαφές πώς να διακρίνουμε μεταξύ πεπερασμένων και άπειρων συνόλων.
Σετ ισχύος του συνεχούς
Αν συγκρίνουμε το σύνολο και άλλες υπάρχουσες τιμές, τότε προστίθεται μια προσθήκη στο σύνολο. Αν το ξ είναι καθολικό και το Α είναι υποσύνολο του ξ, τότε το συμπλήρωμα του Α είναι ο αριθμός όλων των στοιχείων του ξ που δεν είναι στοιχεία του Α. Συμβολικά, το συμπλήρωμα του Α ως προς το ξ είναι Α'. Για παράδειγμα, τα 2, 4, 5, 6 είναι τα μόνα στοιχεία του ξ που δεν ανήκουν στο A. Επομένως, A'={2, 4, 5, 6}
Ένα σετ με συνεχή καρδινάλιο έχει τα ακόλουθα χαρακτηριστικά:
- συμπλήρωμα της καθολικής ποσότητας είναι η εν λόγω κενή τιμή;
- αυτή η μεταβλητή null set είναι καθολική;
- amount και το συμπλήρωμά του είναι ασύνδετα.
Το
Για παράδειγμα:
- Έστω ο αριθμός των φυσικών αριθμών καθολικό σύνολο και ο Α ζυγός. Τότε το A '{x: x είναι ένα περιττό σύνολο με τα ίδια ψηφία}.
- Εστω ξ=σύνολο γραμμάτων στο αλφάβητο. Α=σύνολο συμφώνων. Τότε A '=αριθμός φωνηέντων.
- Το συμπλήρωμα του καθολικού συνόλου είναι η κενή ποσότητα. Μπορεί να συμβολιστεί με ξ. Τότε ξ '=Το σύνολο εκείνων των στοιχείων που δεν περιλαμβάνονται στο ξ. Το κενό σύνολο φ γράφεται και συμβολίζεται. Επομένως ξ=φ. Έτσι, το συμπλήρωμα στο καθολικό σύνολο είναι κενό.
Στα μαθηματικά, το "continuum" χρησιμοποιείται μερικές φορές για να αναπαραστήσει μια πραγματική γραμμή. Και γενικότερα, για να περιγράψουμε παρόμοια αντικείμενα:
- συνεχές (στη θεωρία συνόλων) - πραγματική γραμμή ή αντίστοιχος βασικός αριθμός;
- γραμμικό - οποιοδήποτε ταξινομημένο σύνολο που μοιράζεται ορισμένες ιδιότητες μιας πραγματικής γραμμής;
- continuum (στην τοπολογία) - μη κενός συμπαγής συνδεδεμένος μετρικός χώρος (μερικές φορές Hausdorff);
- η υπόθεση ότι κανένα άπειρο σύνολο δεν είναι μεγαλύτερο από ακέραιους αλλά μικρότερο από πραγματικούς αριθμούς.
- η δύναμη του συνεχούς είναι ένας βασικός αριθμός που αντιπροσωπεύει το μέγεθος του συνόλου των πραγματικών αριθμών.
Ουσιαστικά, ένα συνεχές (μέτρηση), θεωρίες ή μοντέλα που εξηγούν τις σταδιακές μεταβάσεις από τη μια κατάσταση στην άλλη χωρίς καμία απότομη αλλαγή.
Προβλήματα ένωσης και τομής
Είναι γνωστό ότι η τομή δύο ή περισσότερων συνόλων είναι ο αριθμός που περιέχει όλα τα στοιχεία που είναι κοινά σε αυτές τις τιμές. Οι εργασίες λέξεων σε σύνολα επιλύονται για να λάβετε βασικές ιδέες σχετικά με τον τρόπο χρήσης των ιδιοτήτων ένωσης και τομής των συνόλων. Έλυσε τα κύρια προβλήματα των λέξεων σχετικάτα σετ μοιάζουν με αυτό:
Έστω Α και Β δύο πεπερασμένα σύνολα. Είναι τέτοια ώστε n (A)=20, n (B)=28 και n (A ∪ B)=36, βρείτε n (A ∩ B)
Σχέση σε σύνολα με χρήση διαγράμματος Venn:
- Η ένωση δύο συνόλων μπορεί να αναπαρασταθεί από μια σκιασμένη περιοχή που αντιπροσωπεύει το A ∪ B. A ∪ B όταν τα Α και Β είναι ασύνδετα σύνολα.
- Η τομή δύο συνόλων μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα διάγραμμα Venn. Με σκιασμένη περιοχή που αντιπροσωπεύει A ∩ B.
- Η διαφορά μεταξύ των δύο συνόλων μπορεί να αναπαρασταθεί με διαγράμματα Venn. Με μια σκιασμένη περιοχή που αντιπροσωπεύει το A - B.
- Σχέση μεταξύ τριών συνόλων με χρήση διαγράμματος Venn. Αν το ξ αντιπροσωπεύει μια καθολική ποσότητα, τότε τα Α, Β, Γ είναι τρία υποσύνολα. Εδώ και τα τρία σετ επικαλύπτονται.
Σύνοψη πληροφοριών συνόλου
Η πληθώρα ενός συνόλου ορίζεται ως ο συνολικός αριθμός μεμονωμένων στοιχείων στο σύνολο. Και η τελευταία καθορισμένη τιμή περιγράφεται ως ο αριθμός όλων των υποσυνόλων. Κατά τη μελέτη τέτοιων θεμάτων, απαιτούνται μέθοδοι, μέθοδοι και λύσεις. Έτσι, για την καρδινάτητα ενός συνόλου, τα ακόλουθα παραδείγματα μπορούν να χρησιμεύσουν ως:
Έστω A={0, 1, 2, 3}| |=4, όπου | A | αντιπροσωπεύει την καρδινάτητα του συνόλου A.
Τώρα μπορείτε να βρείτε το power pack σας. Είναι επίσης αρκετά απλό. Όπως αναφέρθηκε ήδη, το σύνολο ισχύος ορίζεται από όλα τα υποσύνολα ενός δεδομένου αριθμού. Θα πρέπει λοιπόν να οριστούν βασικά όλες οι μεταβλητές, τα στοιχεία και οι άλλες τιμές του Α,που είναι {}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, {1, 2}, {1, 3}, { 2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, {0, 1, 2, 3}..
Τώρα υπολογίστε P={{}, {0}, {1}, {2}, {3}, {0, 1}, {0, 2}, {0, 3}, { 1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {0, 1, 2}, {0, 1, 3}, {1, 2, 3}, {0, 2, 3}, { 0, 1, 2, 3}} που έχει 16 στοιχεία. Έτσι, η καρδινάτητα του συνόλου A=16. Προφανώς, αυτή είναι μια κουραστική και δυσκίνητη μέθοδος για την επίλυση αυτού του προβλήματος. Ωστόσο, υπάρχει ένας απλός τύπος με τον οποίο, άμεσα, μπορείτε να γνωρίζετε τον αριθμό των στοιχείων στο σύνολο ισχύος ενός δεδομένου αριθμού. | P |=2 ^ N, όπου N είναι ο αριθμός των στοιχείων σε κάποιο Α. Αυτός ο τύπος μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας απλούς συνδυαστικούς. Άρα η ερώτηση είναι 2^11 αφού ο αριθμός των στοιχείων στο σύνολο Α είναι 11.
Έτσι, ένα σύνολο είναι οποιαδήποτε αριθμητικά εκφρασμένη ποσότητα, η οποία μπορεί να είναι οποιοδήποτε πιθανό αντικείμενο. Για παράδειγμα, αυτοκίνητα, άνθρωποι, αριθμοί. Με μαθηματική έννοια, αυτή η έννοια είναι ευρύτερη και γενικότερη. Εάν στα αρχικά στάδια τακτοποιηθούν οι αριθμοί και οι επιλογές για τη λύση τους, τότε στα μεσαία και ανώτερα στάδια οι συνθήκες και οι εργασίες είναι περίπλοκες. Στην πραγματικότητα, η ιδιότητα της ένωσης ενός συνόλου καθορίζεται από την αναγωγή του αντικειμένου σε οποιαδήποτε ομάδα. Δηλαδή, ένα στοιχείο ανήκει σε μια κλάση, αλλά έχει μία ή περισσότερες μεταβλητές.
