Το τμήμα της φυσικής που μελετά τα χαρακτηριστικά της κίνησης των υγρών μέσων ονομάζεται υδροδυναμική. Μία από τις κύριες μαθηματικές εκφράσεις της υδροδυναμικής είναι η εξίσωση Bernoulli για ένα ιδανικό ρευστό. Το άρθρο είναι αφιερωμένο σε αυτό το θέμα.
Τι είναι το ιδανικό υγρό;
Πολλοί άνθρωποι γνωρίζουν ότι μια υγρή ουσία είναι μια τέτοια αθροιστική κατάσταση ύλης που διατηρεί όγκο υπό σταθερές εξωτερικές συνθήκες, αλλά αλλάζει το σχήμα της με την παραμικρή επίδραση πάνω της. Ιδανικό ρευστό είναι μια ρευστή ουσία που δεν έχει ιξώδες και είναι ασυμπίεστη. Αυτές είναι οι δύο κύριες ιδιότητες που το ξεχωρίζουν από τα πραγματικά υγρά.
Σημειώστε ότι σχεδόν όλα τα πραγματικά υγρά μπορούν να θεωρηθούν ασυμπίεστα, επειδή μια μικρή αλλαγή στον όγκο τους απαιτεί τεράστια εξωτερική πίεση. Για παράδειγμα, εάν δημιουργήσετε πίεση 5 ατμοσφαιρών (500 kPa), τότε το νερό θα αυξήσει την πυκνότητά του μόνο κατά 0,024%. Όσον αφορά το θέμα του ιξώδους, για μια σειρά από πρακτικά προβλήματα, όταν το νερό θεωρείται ως λειτουργικό ρευστό, μπορεί να παραμεληθεί. Για λόγους πληρότητας, σημειώνουμε ότιΤο δυναμικό ιξώδες του νερού στους 20 oC είναι 0,001 Pas2, το οποίο είναι πενιχρό σε σύγκριση με αυτήν την τιμή για το μέλι (>2000)..
Είναι σημαντικό να μην συγχέουμε τις έννοιες του ιδανικού υγρού και του ιδανικού αερίου, καθώς το τελευταίο είναι εύκολα συμπιέσιμο.
Εξίσωση συνέχειας
Στην υδροδυναμική, η κίνηση ενός ιδανικού ρευστού αρχίζει να εξετάζεται από τη μελέτη της εξίσωσης της συνέχειας της ροής του. Για να κατανοήσουμε την ουσία του ζητήματος, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε την κίνηση του ρευστού μέσω του σωλήνα. Φανταστείτε ότι στην είσοδο ο σωλήνας έχει μια περιοχή τομής A1, και στην έξοδο A2.
Τώρα ας υποθέσουμε ότι το υγρό ρέει στην αρχή του σωλήνα με την ταχύτητα v1, αυτό σημαίνει ότι σε χρόνο t μέσω του τμήματος A1όγκος ροής V1=A1v1t. Εφόσον το υγρό είναι ιδανικό, δηλαδή ασυμπίεστο, ακριβώς ο ίδιος όγκος νερού πρέπει να εξέλθει από το άκρο του σωλήνα σε χρόνο t, παίρνουμε: V2=A2 v2t. Από την ισότητα των όγκων V1 και V2 , ακολουθεί η εξίσωση για τη συνέχεια της ροής ενός ιδανικού ρευστού:
A1v1=A2v2.
Από την προκύπτουσα εξίσωση προκύπτει ότι αν A1>A2, τότε v1 θα πρέπει να είναι μικρότερο από v2. Με άλλα λόγια, μειώνοντας τη διατομή του σωλήνα, αυξάνουμε έτσι την ταχύτητα της ροής του ρευστού που βγαίνει από αυτόν. Προφανώς, αυτό το φαινόμενο παρατηρήθηκε από κάθε άτομο στη ζωή του που τουλάχιστον μία φορά πότισε παρτέρια με λάστιχο ήκήπος, οπότε καλύπτοντας την τρύπα του εύκαμπτου σωλήνα με το δάχτυλό σας, μπορείτε να παρακολουθήσετε πώς ο πίδακας νερού που εκτοξεύεται από αυτόν γίνεται πιο δυνατός.
Εξίσωση συνέχειας για διακλαδισμένο σωλήνα
Είναι ενδιαφέρον να εξετάσουμε την περίπτωση της κίνησης ενός ιδανικού ρευστού μέσω ενός σωλήνα που δεν έχει μία, αλλά δύο ή περισσότερες εξόδους, δηλαδή είναι διακλαδισμένος. Για παράδειγμα, η περιοχή διατομής ενός σωλήνα στην είσοδο είναι A1 και προς την έξοδο διακλαδίζεται σε δύο σωλήνες με τμήματα A2και Α3. Ας προσδιορίσουμε τους ρυθμούς ροής v2 και v3, εάν είναι γνωστό ότι το νερό εισέρχεται στην είσοδο με ταχύτητα v 1.
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση συνέχειας, παίρνουμε την έκφραση: A1v1=A2 v 2 + A3v3. Για να λύσετε αυτήν την εξίσωση για άγνωστες ταχύτητες, πρέπει να καταλάβετε ότι στην έξοδο, σε όποιο σωλήνα και αν είναι η ροή, κινείται με την ίδια ταχύτητα, δηλαδή v2=v3. Αυτό το γεγονός μπορεί να γίνει κατανοητό διαισθητικά. Εάν ο σωλήνας εξόδου χωριστεί σε δύο μέρη από κάποιο διαχωριστικό, ο ρυθμός ροής δεν θα αλλάξει. Λαμβάνοντας υπόψη αυτό το γεγονός, έχουμε τη λύση: v2=v3 =A1v1/(A2 + A3).
Η εξίσωση του Μπερνούλι για ένα ιδανικό ρευστό
Ο Daniil Bernoulli, ένας Ελβετός φυσικός και μαθηματικός ολλανδικής καταγωγής, στο έργο του «Υδροδυναμική» (1734) παρουσίασε μια εξίσωση για ένα ιδανικό ρευστό που περιγράφει την κίνησή του. Είναι γραμμένο με την ακόλουθη μορφή:
P+ ρv2/2 + ρgh=συνεχ.
Αυτή η έκφραση αντικατοπτρίζει το νόμο της διατήρησης της ενέργειας στην περίπτωση της ροής ρευστού. Έτσι, ο πρώτος όρος (P) είναι η πίεση που κατευθύνεται κατά μήκος του διανύσματος μετατόπισης του ρευστού, που περιγράφει το έργο της ροής, ο δεύτερος όρος (ρv2/2) είναι η κινητική ενέργεια της ρευστής ουσίας και ο τρίτος ο όρος (ρgh) είναι η δυναμική της ενέργεια.
Θυμηθείτε ότι αυτή η εξίσωση ισχύει για ένα ιδανικό ρευστό. Στην πραγματικότητα, υπάρχει πάντα τριβή μιας ρευστής ουσίας στα τοιχώματα του σωλήνα και μέσα στον όγκο του, επομένως, ένας επιπλέον όρος εισάγεται στην παραπάνω εξίσωση Bernoulli που περιγράφει αυτές τις απώλειες ενέργειας.
Χρησιμοποιώντας την εξίσωση Bernoulli
Είναι ενδιαφέρον να αναφέρουμε μερικές εφευρέσεις που χρησιμοποιούν αφαιρέσεις από την εξίσωση Bernoulli:
- Καμινάδα και κουκούλες. Από την εξίσωση προκύπτει ότι όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα κίνησης μιας ρευστής ουσίας, τόσο μικρότερη είναι η πίεσή της. Η ταχύτητα κίνησης του αέρα στην κορυφή της καμινάδας είναι μεγαλύτερη από ό,τι στη βάση της, επομένως η ροή του καπνού τείνει πάντα προς τα πάνω λόγω της διαφοράς πίεσης.
- Σωλήνες νερού. Η εξίσωση βοηθά να κατανοήσουμε πώς θα αλλάξει η πίεση του νερού στον σωλήνα εάν αλλάξει η διάμετρος του τελευταίου.
- Αεροπλάνα και Formula 1. Η γωνία των φτερών ενός αεροσκάφους και ενός πτερυγίου F1 παρέχει μια διαφορά στην πίεση αέρα πάνω και κάτω από το φτερό, η οποία δημιουργεί δύναμη ανύψωσης και πτώσης, αντίστοιχα.
Τρόποι ροής ρευστού
Η εξίσωση του Μπερνούλι δεν είναιλαμβάνει υπόψη τη λειτουργία κίνησης ρευστού, η οποία μπορεί να είναι δύο τύπων: στρωτή και τυρβώδης. Η στρωτή ροή χαρακτηρίζεται από μια ήρεμη ροή, στην οποία τα στρώματα ρευστών κινούνται κατά μήκος σχετικά ομαλών τροχιών και δεν αναμιγνύονται μεταξύ τους. Ο τυρβώδης τρόπος κίνησης του ρευστού χαρακτηρίζεται από τη χαοτική κίνηση κάθε μορίου που συνθέτει τη ροή. Ένα χαρακτηριστικό του ταραχώδους καθεστώτος είναι η παρουσία δίνων.
Ο τρόπος με τον οποίο θα ρέει το υγρό εξαρτάται από διάφορους παράγοντες (χαρακτηριστικά του συστήματος, για παράδειγμα, η παρουσία ή η απουσία τραχύτητας στην εσωτερική επιφάνεια του σωλήνα, το ιξώδες της ουσίας και η ταχύτητα του κίνηση). Η μετάβαση μεταξύ των εξεταζόμενων τρόπων κίνησης περιγράφεται με αριθμούς Reynolds.
Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα στρωτής ροής είναι η αργή κίνηση του αίματος μέσω των λείων αιμοφόρων αγγείων. Ένα παράδειγμα τυρβώδους ροής είναι μια ισχυρή πίεση νερού από μια βρύση.
