Η πρόοδος της ανθρωπότητας οφείλεται σε μεγάλο βαθμό στις ανακαλύψεις που έγιναν από ιδιοφυΐες. Ένας από αυτούς είναι ο Blaise Pascal. Η δημιουργική του βιογραφία επιβεβαιώνει για άλλη μια φορά την αλήθεια της έκφρασης του Lion Feuchtwanger «Ένας ταλαντούχος άνθρωπος, ταλαντούχος σε όλα». Όλα τα επιστημονικά επιτεύγματα αυτού του μεγάλου επιστήμονα είναι δύσκολο να μετρηθούν. Ανάμεσά τους είναι μια από τις πιο κομψές εφευρέσεις στον κόσμο των μαθηματικών - το τρίγωνο του Πασκάλ.
Λίγα λόγια για την ιδιοφυΐα
Ο Μπλεζ Πασκάλ πέθανε νωρίς σύμφωνα με τα σύγχρονα πρότυπα, σε ηλικία 39 ετών. Ωστόσο, στη σύντομη ζωή του διακρίθηκε ως εξαιρετικός φυσικός, μαθηματικός, φιλόσοφος και συγγραφέας. Οι ευγνώμονες απόγονοι ονόμασαν τη μονάδα πίεσης και τη δημοφιλή γλώσσα προγραμματισμού Pascal προς τιμήν του. Έχει χρησιμοποιηθεί για σχεδόν 60 χρόνια για να διδάξει πώς να γράφει διάφορους κώδικες. Για παράδειγμα, με τη βοήθειά του, κάθε μαθητής μπορεί να γράψει ένα πρόγραμμα για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός τριγώνου σε Pascal, καθώς και να εξερευνήσει τις ιδιότητες του κυκλώματος, περίπουπου θα συζητηθεί παρακάτω.
Η δραστηριότητα αυτού του επιστήμονα με εξαιρετική σκέψη εκτείνεται σε μια μεγάλη ποικιλία πεδίων της επιστήμης. Συγκεκριμένα, ο Blaise Pascal είναι ένας από τους ιδρυτές της υδροστατικής, της μαθηματικής ανάλυσης, ορισμένων τομέων της γεωμετρίας και της θεωρίας πιθανοτήτων. Επίσης, αυτός:
- δημιούργησε μια μηχανική αριθμομηχανή γνωστή ως τροχός Pascal;
- παρείχε πειραματικές αποδείξεις ότι ο αέρας έχει ελαστικότητα και βάρος.
- διαπίστωσε ότι ένα βαρόμετρο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την πρόβλεψη του καιρού.
- εφηύρε το καρότσι;
- εφηύρε το omnibus - ιππήλια άμαξες με σταθερές διαδρομές, που αργότερα έγινε ο πρώτος τύπος τακτικής δημόσιας συγκοινωνίας κ.λπ.
Ο
Αριθμητικό Τρίγωνο του Πασκάλ
Όπως ήδη αναφέρθηκε, αυτός ο σπουδαίος Γάλλος επιστήμονας συνέβαλε τεράστια στη μαθηματική επιστήμη. Ένα από τα απόλυτα επιστημονικά του αριστουργήματα είναι η «Πραγματεία για το Αριθμητικό Τρίγωνο», η οποία αποτελείται από διωνυμικούς συντελεστές διατεταγμένους με συγκεκριμένη σειρά. Οι ιδιότητες αυτού του σχεδίου είναι εντυπωσιακές στην ποικιλομορφία τους και επιβεβαιώνει από μόνο του την παροιμία "Ό,τι έξυπνο είναι απλό!".
Λίγη ιστορία
Για να είμαστε δίκαιοι, πρέπει να πούμε ότι στην πραγματικότητα το τρίγωνο του Πασκάλ ήταν γνωστό στην Ευρώπη ήδη από τις αρχές του 16ου αιώνα. Συγκεκριμένα, η εικόνα του φαίνεται στο εξώφυλλο ενός βιβλίου αριθμητικής του διάσημου αστρονόμου Peter Apian από το Πανεπιστήμιο του Ingolstadt. Ένα παρόμοιο τρίγωνο φαίνεται επίσης ως απεικόνιση.σε ένα βιβλίο του Κινέζου μαθηματικού Yang Hui, που εκδόθηκε το 1303. Ο αξιόλογος Πέρσης ποιητής και φιλόσοφος Omar Khayyam γνώριζε επίσης τις ιδιότητές του στις αρχές του 12ου αιώνα. Επιπλέον, πιστεύεται ότι τον γνώρισε από τις πραγματείες Αράβων και Ινδών επιστημόνων που γράφτηκαν νωρίτερα.
Περιγραφή
Πριν εξερευνήσετε τις πιο ενδιαφέρουσες ιδιότητες του τριγώνου του Πασκάλ, όμορφο στην τελειότητα και την απλότητά του, αξίζει να μάθετε τι είναι.
Επιστημονικά, αυτό το αριθμητικό σχήμα είναι ένας ατελείωτος τριγωνικός πίνακας που σχηματίζεται από διωνυμικούς συντελεστές διατεταγμένους με συγκεκριμένη σειρά. Στην κορυφή του και στα πλάγια είναι οι αριθμοί 1. Οι υπόλοιπες θέσεις καταλαμβάνονται από αριθμούς ίσους με το άθροισμα των δύο αριθμών που βρίσκονται πάνω τους ο ένας δίπλα στον άλλο. Επιπλέον, όλες οι γραμμές του τριγώνου του Πασκάλ είναι συμμετρικές ως προς τον κατακόρυφο άξονά του.
Βασικά χαρακτηριστικά
Το τρίγωνο του Πασκάλ χτυπά με την τελειότητά του. Για οποιαδήποτε γραμμή με αριθμό n (n=0, 1, 2…) true:
- πρώτος και τελευταίος αριθμός είναι 1;
- δεύτερο και προτελευταίο - n;
- ο τρίτος αριθμός είναι ίσος με τον τριγωνικό αριθμό (ο αριθμός των κύκλων που μπορούν να ταξινομηθούν σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο, δηλ. 1, 3, 6, 10): T -1 =n (n - 1) / 2.
- Ο τέταρτος αριθμός είναι τετραεδρικός, δηλαδή είναι μια πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση.
Επιπλέον, σχετικά πρόσφατα, το 1972, καθιερώθηκε μια άλλη ιδιότητα του τριγώνου του Πασκάλ. Για αυτόνγια να το μάθετε, πρέπει να γράψετε τα στοιχεία αυτού του σχήματος με τη μορφή πίνακα με μετατόπιση σειράς κατά 2 θέσεις. Στη συνέχεια σημειώστε τους αριθμούς που διαιρούνται με τον αριθμό γραμμής. Αποδεικνύεται ότι ο αριθμός της στήλης στην οποία επισημαίνονται όλοι οι αριθμοί είναι πρώτος αριθμός.
Το ίδιο κόλπο μπορεί να γίνει με άλλο τρόπο. Για να γίνει αυτό, στο τρίγωνο του Pascal, οι αριθμοί αντικαθίστανται από τα υπόλοιπα της διαίρεσης τους με τον αριθμό της γραμμής στον πίνακα. Στη συνέχεια, οι γραμμές είναι διατεταγμένες στο τρίγωνο που προκύπτει έτσι ώστε το επόμενο να ξεκινά 2 στήλες προς τα δεξιά από το πρώτο στοιχείο του προηγούμενου. Τότε οι στήλες με αριθμούς που είναι πρώτοι αριθμοί θα αποτελούνται μόνο από μηδενικά και αυτές με σύνθετους αριθμούς θα περιέχουν τουλάχιστον ένα μηδέν.
Σύνδεση με το διώνυμο του Νεύτωνα
Όπως γνωρίζετε, αυτό είναι το όνομα του τύπου για την επέκταση σε όρους μη αρνητικής ακέραιας δύναμης του αθροίσματος δύο μεταβλητών, η οποία μοιάζει με:
Οι συντελεστές που υπάρχουν σε αυτά είναι ίσοι με C m =n! / (m! (n - m)!), όπου m είναι ο τακτικός αριθμός στη σειρά n του τριγώνου του Pascal. Με άλλα λόγια, έχοντας αυτόν τον πίνακα στη διάθεσή σας, μπορείτε εύκολα να αυξήσετε οποιονδήποτε αριθμό σε δύναμη, έχοντας προηγουμένως αποσυντεθεί σε δύο όρους.
Έτσι, το τρίγωνο του Πασκάλ και το διώνυμο του Νεύτωνα σχετίζονται στενά.
Μαθηματικά θαύματα
Μια προσεκτική εξέταση του τριγώνου του Πασκάλ αποκαλύπτει ότι:
- το άθροισμα όλων των αριθμών στη γραμμή μεσειριακός αριθμός n (μετρώντας από το 0) είναι 2;
- αν οι γραμμές είναι αριστερά ευθυγραμμισμένες, τότε τα αθροίσματα των αριθμών που βρίσκονται κατά μήκος των διαγωνίων του τριγώνου του Pascal, πηγαίνοντας από κάτω προς τα πάνω και από αριστερά προς τα δεξιά, είναι ίσα με τους αριθμούς Fibonacci.
- η πρώτη "διαγώνιος" αποτελείται από φυσικούς αριθμούς κατά σειρά;
- οποιοδήποτε στοιχείο από το τρίγωνο του Πασκάλ, μειωμένο κατά ένα, ισούται με το άθροισμα όλων των αριθμών που βρίσκονται μέσα στο παραλληλόγραμμο, το οποίο περιορίζεται από την αριστερή και τη δεξιά διαγώνιο που τέμνονται σε αυτόν τον αριθμό.
- σε κάθε γραμμή του διαγράμματος, το άθροισμα των αριθμών σε ζυγές θέσεις είναι ίσο με το άθροισμα των στοιχείων σε περιττές θέσεις.
Τρίγωνο Sierpinski
Ένα τόσο ενδιαφέρον μαθηματικό σχήμα, πολλά υποσχόμενο όσον αφορά την επίλυση σύνθετων προβλημάτων, προκύπτει με το χρωματισμό των ζυγών αριθμών της εικόνας Pascal σε ένα χρώμα και των περιττών αριθμών σε ένα άλλο.
Το τρίγωνο Sierpinski μπορεί να κατασκευαστεί με άλλο τρόπο:
- στο σκιασμένο σχέδιο Pascal, το μεσαίο τρίγωνο βάφεται ξανά σε διαφορετικό χρώμα, το οποίο σχηματίζεται συνδέοντας τα μέσα των πλευρών του αρχικού.
- κάντε ακριβώς το ίδιο με τρία άβαφα που βρίσκονται στις γωνίες.
- εάν η διαδικασία συνεχιστεί επ' αόριστον, τότε το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι μια δίχρωμη φιγούρα.
Η πιο ενδιαφέρουσα ιδιότητα του τριγώνου του Sierpinski είναι η αυτο-ομοιότητά του, αφού αποτελείται από 3 αντίγραφά του, τα οποία μειώνονται κατά 2 φορές. Μας επιτρέπει να αποδώσουμε αυτό το σχήμα σε καμπύλες φράκταλ, και αυτές, όπως φαίνεται από το πιο πρόσφατοΗ έρευνα είναι η πλέον κατάλληλη για μαθηματική μοντελοποίηση νεφών, φυτών, δέλτα ποταμών και του ίδιου του σύμπαντος.
Πολλές ενδιαφέρουσες εργασίες
Πού χρησιμοποιείται το τρίγωνο του Πασκάλ; Τα παραδείγματα εργασιών που μπορούν να επιλυθούν με τη βοήθειά του είναι αρκετά διαφορετικά και ανήκουν σε διάφορους τομείς της επιστήμης. Ας ρίξουμε μια ματιά σε μερικά από τα πιο ενδιαφέροντα.
Πρόβλημα 1. Κάποια μεγάλη πόλη που περιβάλλεται από τείχος φρουρίου έχει μόνο μία πύλη εισόδου. Στην πρώτη διασταύρωση, ο κεντρικός δρόμος χωρίζεται στα δύο. Το ίδιο συμβαίνει και σε οποιαδήποτε άλλη. 210 άτομα μπαίνουν στην πόλη. Σε κάθε μια από τις διασταυρώσεις που συναντούν, χωρίζονται στη μέση. Πόσα άτομα θα βρεθούν σε κάθε διασταύρωση όταν δεν θα είναι πλέον δυνατή η κοινή χρήση. Η απάντησή της είναι η γραμμή 10 του τριγώνου του Πασκάλ (ο τύπος του συντελεστή παρουσιάζεται παραπάνω), όπου οι αριθμοί 210 βρίσκονται και στις δύο πλευρές του κατακόρυφου άξονα.
Εργασία 2. Υπάρχουν 7 ονόματα χρωμάτων. Πρέπει να φτιάξετε ένα μπουκέτο με 3 λουλούδια. Απαιτείται να μάθουμε με πόσους διαφορετικούς τρόπους μπορεί να γίνει αυτό. Αυτό το πρόβλημα είναι από τον τομέα της συνδυαστικής. Για να το λύσουμε, χρησιμοποιούμε ξανά το τρίγωνο του Πασκάλ και φτάνουμε στην 7η γραμμή στην τρίτη θέση (αριθμώντας και στις δύο περιπτώσεις από το 0) τον αριθμό 35.
Τώρα ξέρετε τι επινόησε ο μεγάλος Γάλλος φιλόσοφος και επιστήμονας Blaise Pascal. Το διάσημο τρίγωνό του, όταν χρησιμοποιείται σωστά, μπορεί να γίνει πραγματικό σωτήριο για την επίλυση πολλών προβλημάτων, ειδικά από το πεδίοσυνδυαστική. Επιπλέον, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση πολλών μυστηρίων που σχετίζονται με φράκταλ.
