Τα μαθηματικά δεν είναι μια βαρετή επιστήμη, όπως φαίνεται μερικές φορές. Έχει πολλά ενδιαφέροντα, αν και μερικές φορές ακατανόητα για όσους δεν θέλουν να το καταλάβουν. Σήμερα θα μιλήσουμε για ένα από τα πιο κοινά και απλά θέματα στα μαθηματικά, ή μάλλον, την περιοχή του που βρίσκεται στα όρια της άλγεβρας και της γεωμετρίας. Ας μιλήσουμε για τις γραμμές και τις εξισώσεις τους. Φαίνεται ότι αυτό είναι ένα βαρετό σχολικό θέμα που δεν υπόσχεται τίποτα ενδιαφέρον και νέο. Ωστόσο, αυτό δεν ισχύει και σε αυτό το άρθρο θα προσπαθήσουμε να σας αποδείξουμε την άποψή μας. Πριν προχωρήσουμε στα πιο ενδιαφέροντα και περιγράψουμε την εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω δύο σημείων, θα στραφούμε στην ιστορία όλων αυτών των μετρήσεων και στη συνέχεια θα μάθουμε γιατί ήταν όλα απαραίτητα και γιατί τώρα η γνώση των παρακάτω τύπων δεν θα πονάει είτε.
Ιστορία
Ακόμη και στην αρχαιότητα, οι μαθηματικοί αγαπούσαν τις γεωμετρικές κατασκευές και τα κάθε είδους γραφήματα. Είναι δύσκολο σήμερα να πούμε ποιος ήταν ο πρώτος που κατέληξε στην εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω δύο σημείων. Αλλά μπορεί να υποτεθεί ότι αυτό το άτομο ήταν ο Ευκλείδης -αρχαίος Έλληνας επιστήμονας και φιλόσοφος. Ήταν αυτός που στην πραγματεία του "Αρχές" δημιούργησε τη βάση της μελλοντικής ευκλείδειας γεωμετρίας. Τώρα αυτό το τμήμα των μαθηματικών θεωρείται η βάση της γεωμετρικής αναπαράστασης του κόσμου και διδάσκεται στο σχολείο. Αξίζει όμως να πούμε ότι η Ευκλείδεια γεωμετρία λειτουργεί μόνο σε μακροεπίπεδο στην τρισδιάστατη διάστασή μας. Αν σκεφτούμε το διάστημα, τότε δεν είναι πάντα δυνατό να φανταστούμε με τη βοήθειά του όλα τα φαινόμενα που συμβαίνουν εκεί.
Μετά τον Ευκλείδη υπήρξαν άλλοι επιστήμονες. Και τελειοποίησαν και κατανόησαν όσα ανακάλυψε και έγραψε. Στο τέλος, προέκυψε μια σταθερή περιοχή γεωμετρίας, στην οποία όλα παραμένουν ακλόνητα. Και έχει αποδειχθεί εδώ και χιλιάδες χρόνια ότι η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής που διασχίζει δύο σημεία είναι πολύ εύκολη και απλή στη σύνθεση. Αλλά προτού αρχίσουμε να εξηγούμε πώς να το κάνουμε αυτό, ας συζητήσουμε κάποια θεωρία.
Θεωρία
Μια ευθεία γραμμή είναι ένα τμήμα άπειρο και στις δύο κατευθύνσεις, το οποίο μπορεί να χωριστεί σε άπειρο αριθμό τμημάτων οποιουδήποτε μήκους. Για την αναπαράσταση μιας ευθείας γραμμής, χρησιμοποιούνται συχνότερα γραφήματα. Επιπλέον, τα γραφήματα μπορούν να είναι τόσο σε δισδιάστατα όσο και σε τρισδιάστατα συστήματα συντεταγμένων. Και κατασκευάζονται σύμφωνα με τις συντεταγμένες των σημείων που τους ανήκουν. Εξάλλου, αν σκεφτούμε μια ευθεία γραμμή, μπορούμε να δούμε ότι αποτελείται από άπειρο αριθμό σημείων.
Ωστόσο, υπάρχει κάτι στο οποίο μια ευθεία διαφέρει πολύ από άλλους τύπους γραμμών. Αυτή είναι η εξίσωσή της. Σε γενικές γραμμές, είναι πολύ απλό, σε αντίθεση, ας πούμε, με την εξίσωση ενός κύκλου. Σίγουρα, ο καθένας μας το πέρασε στο σχολείο. ΑλλάΩστόσο, ας γράψουμε τη γενική του μορφή: y=kx+b. Στην επόμενη ενότητα, θα αναλύσουμε λεπτομερώς τι σημαίνει καθένα από αυτά τα γράμματα και πώς να λύσουμε αυτή την απλή εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία.
Εξίσωση γραμμής
Η ισότητα που παρουσιάστηκε παραπάνω είναι η ευθεία εξίσωση που χρειαζόμαστε. Αξίζει να εξηγήσουμε τι εννοείται εδώ. Όπως μπορείτε να μαντέψετε, τα y και x είναι οι συντεταγμένες κάθε σημείου της ευθείας. Γενικά, αυτή η εξίσωση υπάρχει μόνο επειδή κάθε σημείο οποιασδήποτε ευθείας γραμμής τείνει να είναι σε σύνδεση με άλλα σημεία, και επομένως υπάρχει ένας νόμος που συσχετίζει μια συντεταγμένη με μια άλλη. Αυτός ο νόμος καθορίζει πώς μοιάζει η εξίσωση μιας ευθείας που διασχίζει δύο δεδομένα σημεία.
Γιατί ακριβώς δύο τελείες; Όλα αυτά γιατί ο ελάχιστος αριθμός σημείων που απαιτούνται για την κατασκευή μιας ευθείας γραμμής σε δισδιάστατο χώρο είναι δύο. Αν πάρουμε έναν τρισδιάστατο χώρο, τότε ο αριθμός των σημείων που απαιτούνται για την κατασκευή μιας ενιαίας ευθείας γραμμής θα είναι επίσης ίσος με δύο, αφού τρία σημεία αποτελούν ήδη ένα επίπεδο.
Υπάρχει επίσης ένα θεώρημα που αποδεικνύει ότι είναι δυνατό να χαράξουμε μια ευθεία γραμμή μέσω οποιωνδήποτε δύο σημείων. Αυτό το γεγονός μπορεί να ελεγχθεί στην πράξη συνδέοντας δύο τυχαία σημεία στο γράφημα με έναν χάρακα.
Τώρα ας δούμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα και ας δείξουμε πώς να λύσουμε αυτήν την περιβόητη εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο δεδομένα σημεία.
Παράδειγμα
Σκεφτείτε δύο σημείαπου χρειάζεστε για να χτίσετε μια ευθεία γραμμή. Ας ορίσουμε τις συντεταγμένες τους, για παράδειγμα, M1(2;1) και M2(3;2). Όπως γνωρίζουμε από το σχολικό μάθημα, η πρώτη συντεταγμένη είναι η τιμή κατά μήκος του άξονα OX και η δεύτερη είναι η τιμή κατά μήκος του άξονα OY. Παραπάνω, δόθηκε η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω δύο σημείων και για να βρούμε τις παραμέτρους που λείπουν k και b, πρέπει να συνθέσουμε ένα σύστημα δύο εξισώσεων. Στην πραγματικότητα, θα αποτελείται από δύο εξισώσεις, καθεμία από τις οποίες θα περιέχει τις δύο άγνωστες σταθερές μας:
1=2k+b
2=3k+b
Τώρα το πιο σημαντικό μένει: να λύσουμε αυτό το σύστημα. Αυτό γίνεται πολύ απλά. Αρχικά, ας εκφράσουμε το b από την πρώτη εξίσωση: b=1-2k. Τώρα πρέπει να αντικαταστήσουμε την προκύπτουσα ισότητα στη δεύτερη εξίσωση. Αυτό γίνεται αντικαθιστώντας το b με την ισότητα που λάβαμε:
2=3k+1-2k
1=k;
Τώρα που ξέρουμε ποια είναι η τιμή του συντελεστή k, ήρθε η ώρα να μάθουμε την τιμή της επόμενης σταθεράς - b. Αυτό γίνεται ακόμα πιο εύκολο. Εφόσον γνωρίζουμε την εξάρτηση του b από το k, μπορούμε να αντικαταστήσουμε την τιμή του τελευταίου στην πρώτη εξίσωση και να βρούμε την άγνωστη τιμή:
b=1-21=-1.
Γνωρίζοντας και τους δύο συντελεστές, τώρα μπορούμε να τους αντικαταστήσουμε στην αρχική γενική εξίσωση μιας ευθείας γραμμής δύο σημείων. Έτσι, για το παράδειγμά μας, παίρνουμε την ακόλουθη εξίσωση: y=x-1. Αυτή είναι η επιθυμητή ισότητα, την οποία έπρεπε να πετύχουμε.
Πριν προχωρήσουμε στο συμπέρασμα, ας συζητήσουμε την εφαρμογή αυτής της ενότητας των μαθηματικών στην καθημερινή ζωή.
Αίτηση
Ως εκ τούτου, η εξίσωση μιας ευθείας που διασχίζει δύο σημεία δεν βρίσκει εφαρμογή. Αλλά αυτό δεν σημαίνει ότι δεν το χρειαζόμαστε. Στη φυσική και στα μαθηματικάΟι εξισώσεις των γραμμών και οι ιδιότητες που απορρέουν από αυτές χρησιμοποιούνται πολύ ενεργά. Μπορεί να μην το προσέξετε καν, αλλά τα μαθηματικά είναι παντού γύρω μας. Και ακόμη και τέτοια φαινομενικά ασήμαντα θέματα όπως η εξίσωση μιας ευθείας γραμμής μέσω δύο σημείων αποδεικνύονται πολύ χρήσιμα και πολύ συχνά εφαρμόζονται σε θεμελιώδες επίπεδο. Εάν με την πρώτη ματιά φαίνεται ότι αυτό δεν μπορεί να είναι χρήσιμο πουθενά, τότε κάνετε λάθος. Τα μαθηματικά αναπτύσσουν τη λογική σκέψη, η οποία δεν θα είναι ποτέ περιττή.
Συμπέρασμα
Τώρα που καταλάβαμε πώς να σχεδιάσουμε γραμμές από δύο δεδομένα σημεία, είναι εύκολο για εμάς να απαντήσουμε σε οποιαδήποτε ερώτηση σχετίζεται με αυτό. Για παράδειγμα, αν ο δάσκαλος σας πει: «Γράψτε την εξίσωση μιας ευθείας που διέρχεται από δύο σημεία», τότε δεν θα σας είναι δύσκολο να το κάνετε αυτό. Ελπίζουμε ότι βρήκατε αυτό το άρθρο χρήσιμο.
