Όταν μελετάτε απολύτως οποιοδήποτε χωρικό σχήμα, είναι σημαντικό να γνωρίζετε πώς να υπολογίζετε τον όγκο του. Αυτό το άρθρο παρέχει έναν τύπο για τον όγκο μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας και δείχνει επίσης πώς θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί αυτός ο τύπος χρησιμοποιώντας ένα παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων.
Για ποια πυραμίδα μιλάμε;
Κάθε μαθητής γυμνασίου γνωρίζει ότι μια πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο που αποτελείται από τρίγωνα και ένα πολύγωνο. Το τελευταίο είναι η βάση του σχήματος. Τα τρίγωνα έχουν μια κοινή πλευρά με τη βάση και τέμνονται σε ένα μόνο σημείο, που είναι η κορυφή της πυραμίδας.
Κάθε πυραμίδα χαρακτηρίζεται από το μήκος των πλευρών της βάσης, το μήκος των πλευρικών άκρων και το ύψος. Το τελευταίο είναι ένα κάθετο τμήμα, χαμηλωμένο στη βάση από την κορυφή του σχήματος.
Μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα είναι μια μορφή με τετράγωνη βάση, το ύψος της οποίας τέμνει αυτό το τετράγωνο στο κέντρο της. Ίσως το πιο διάσημο παράδειγμα αυτού του τύπου πυραμίδων είναι οι αρχαίες αιγυπτιακές πέτρινες κατασκευές. Παρακάτω είναι μια φωτογραφίαπυραμίδες του Χέοπα.
Το υπό μελέτη σχήμα έχει πέντε όψεις, τέσσερις από τις οποίες είναι πανομοιότυπα ισοσκελή τρίγωνα. Χαρακτηρίζεται επίσης από πέντε κορυφές, τέσσερις από τις οποίες ανήκουν στη βάση και οκτώ άκρες (4 άκρες της βάσης και 4 άκρες των πλευρικών όψεων).
Ο τύπος για τον όγκο μιας τετραγωνικής πυραμίδας είναι σωστός
Ο όγκος του εν λόγω σχήματος είναι ένα μέρος του χώρου που περιορίζεται από πέντε πλευρές. Για να υπολογίσουμε αυτόν τον όγκο, χρησιμοποιούμε την ακόλουθη εξάρτηση του εμβαδού μιας φέτας παράλληλης με τη βάση της πυραμίδας Sz στην κατακόρυφη συντεταγμένη z:
Sz=So (h - z/h)2
Εδώ So είναι το εμβαδόν της τετραγωνικής βάσης. Αν αντικαταστήσουμε το z=h στη γραπτή έκφραση, τότε θα πάρουμε μια μηδενική τιμή για το Sz. Αυτή η τιμή του z αντιστοιχεί σε μια φέτα που θα περιέχει μόνο την κορυφή της πυραμίδας. Αν z=0, τότε παίρνουμε την τιμή της βασικής περιοχής So.
Είναι εύκολο να βρείτε τον όγκο μιας πυραμίδας εάν γνωρίζετε τη συνάρτηση Sz(z), για αυτό αρκεί να κόψετε τον αριθμό σε άπειρο αριθμό στρώσεις παράλληλες με τη βάση και, στη συνέχεια, πραγματοποιήστε τη λειτουργία ολοκλήρωσης. Ακολουθώ αυτήν την τεχνική, παίρνουμε:
V=∫0h(Sz)dz=-S 0(h-z)3 / (3h2)|0 h=1/3S0ω.
Επειδή το S0 είναιτο εμβαδόν της τετραγωνικής βάσης, τότε, δηλώνοντας την πλευρά του τετραγώνου με το γράμμα a, λαμβάνουμε τον τύπο για τον όγκο μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας:
V=1/3a2h.
Τώρα ας χρησιμοποιήσουμε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων για να δείξουμε πώς πρέπει να εφαρμόζεται αυτή η έκφραση.
Το πρόβλημα του προσδιορισμού του όγκου μιας πυραμίδας μέσω του αποθέματος και της πλευρικής ακμής της
Το απόθεμα μιας πυραμίδας είναι το ύψος του πλευρικού τριγώνου της, το οποίο είναι χαμηλωμένο στην πλευρά της βάσης. Δεδομένου ότι όλα τα τρίγωνα είναι ίσα σε μια κανονική πυραμίδα, τα αποθέματά τους θα είναι επίσης τα ίδια. Ας υποδηλώσουμε το μήκος του με το σύμβολο hb. Σημειώστε την πλευρική άκρη ως b.
Γνωρίζοντας ότι το απόθεμα της πυραμίδας είναι 12 cm και το πλάγιο άκρο της είναι 15 cm, βρείτε τον όγκο μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας.
Ο τύπος για τον όγκο του σχήματος που γράφτηκε στην προηγούμενη παράγραφο περιέχει δύο παραμέτρους: μήκος πλευράς a και ύψος h. Προς το παρόν, δεν γνωρίζουμε κανένα από αυτά, οπότε ας ρίξουμε μια ματιά στους υπολογισμούς τους.
Το μήκος της πλευράς ενός τετραγώνου a είναι εύκολο να υπολογιστεί εάν χρησιμοποιήσετε το πυθαγόρειο θεώρημα για ένα ορθογώνιο τρίγωνο, στο οποίο η υποτείνουσα είναι η ακμή b και τα σκέλη είναι το απόθεμα h b και το ήμισυ της πλευράς της βάσης a/2. Παίρνουμε:
b2=hb2+ a2 /4=>
a=2√(b2- hb2).
Αντικαθιστώντας τις γνωστές τιμές από τη συνθήκη, παίρνουμε την τιμή a=18 cm.
Για να υπολογίσετε το ύψος h της πυραμίδας, μπορείτε να κάνετε δύο πράγματα: σκεφτείτε ένα ορθογώνιοένα τρίγωνο με υποτείνουσα-πλάγια ακμή ή με υποτείνουσα-απόθεμα. Και οι δύο μέθοδοι είναι ίσες και περιλαμβάνουν την εκτέλεση του ίδιου αριθμού μαθηματικών πράξεων. Ας σταθούμε στην θεώρηση ενός τριγώνου, όπου η υποτείνουσα είναι το απόθεμα hb. Τα πόδια σε αυτό θα είναι h και a / 2. Τότε παίρνουμε:
h=√(hb2-a2/4)=√(12 2- 182/4)=7, 937 cm.
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για τον τόμο V:
V=1/3a2h=1/31827, 937=857, 196 cm 3.
Έτσι, ο όγκος μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι περίπου 0,86 λίτρα.
Ο όγκος της πυραμίδας του Χέοπα
Τώρα ας λύσουμε ένα ενδιαφέρον και πρακτικά σημαντικό πρόβλημα: βρείτε τον όγκο της μεγαλύτερης πυραμίδας στη Γκίζα. Είναι γνωστό από τη βιβλιογραφία ότι το αρχικό ύψος του κτιρίου ήταν 146,5 μέτρα και το μήκος της βάσης του είναι 230,363 μέτρα. Αυτοί οι αριθμοί μας επιτρέπουν να εφαρμόσουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του V. Παίρνουμε:
V=1/3a2h=1/3230, 3632146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Η τιμή που προκύπτει είναι σχεδόν 2,6 εκατομμύρια m3. Αυτός ο όγκος αντιστοιχεί στον όγκο ενός κύβου του οποίου η πλευρά είναι 137,4 μέτρα.
