Η φυσική και τα μαθηματικά δεν μπορούν να κάνουν χωρίς την έννοια της «διανυσματικής ποσότητας». Πρέπει να είναι γνωστό και αναγνωρισμένο, καθώς και να μπορεί να λειτουργεί με αυτό. Πρέπει οπωσδήποτε να το μάθετε για να μην μπερδεύεστε και να μην κάνετε ανόητα λάθη.
Πώς να ξεχωρίσετε μια βαθμωτή τιμή από μια διανυσματική ποσότητα;
Το πρώτο έχει πάντα μόνο ένα χαρακτηριστικό. Αυτή είναι η αριθμητική του τιμή. Οι περισσότεροι βαθμωτοί μπορούν να λάβουν τόσο θετικές όσο και αρνητικές τιμές. Παραδείγματα είναι το ηλεκτρικό φορτίο, η εργασία ή η θερμοκρασία. Αλλά υπάρχουν βαθμίδες που δεν μπορούν να είναι αρνητικές, όπως το μήκος και η μάζα.
Μια διανυσματική ποσότητα, εκτός από μια αριθμητική ποσότητα, η οποία λαμβάνεται πάντα ως modulo, χαρακτηρίζεται επίσης από μια κατεύθυνση. Επομένως, μπορεί να απεικονιστεί γραφικά, δηλαδή με τη μορφή βέλους, το μήκος του οποίου είναι ίσο με το μέτρο της τιμής που κατευθύνεται προς μια συγκεκριμένη κατεύθυνση.
Όταν γράφετε, κάθε διανυσματική ποσότητα υποδεικνύεται με ένα σύμβολο βέλους στο γράμμα. Αν μιλάμε για αριθμητική τιμή, τότε το βέλος δεν γράφεται ή λαμβάνεται modulo.
Ποιες είναι οι πιο συνηθισμένες ενέργειες με διανύσματα;
Πρώτον, μια σύγκριση. Μπορεί να είναι ίσοι ή όχι. Στην πρώτη περίπτωση, οι ενότητες τους είναι οι ίδιες. Αλλά αυτή δεν είναι η μόνη προϋπόθεση. Πρέπει επίσης να έχουν τις ίδιες ή αντίθετες κατευθύνσεις. Στην πρώτη περίπτωση, θα πρέπει να ονομάζονται ίσα διανύσματα. Στο δεύτερο είναι απέναντι. Εάν τουλάχιστον μία από τις καθορισμένες συνθήκες δεν πληρούται, τότε τα διανύσματα δεν είναι ίσα.
Μετά έρχεται η προσθήκη. Μπορεί να γίνει σύμφωνα με δύο κανόνες: ένα τρίγωνο ή ένα παραλληλόγραμμο. Το πρώτο ορίζει να αναβληθεί πρώτα ένα διάνυσμα και μετά από το τέλος του το δεύτερο. Το αποτέλεσμα της προσθήκης θα είναι αυτό που πρέπει να κληρωθεί από την αρχή του πρώτου έως το τέλος του δεύτερου.
Ο κανόνας του παραλληλογράμμου μπορεί να χρησιμοποιηθεί όταν χρειάζεται να προσθέσετε διανυσματικές ποσότητες στη φυσική. Σε αντίθεση με τον πρώτο κανόνα, εδώ θα πρέπει να αναβληθούν από ένα σημείο. Στη συνέχεια, να τα κατασκευάσετε σε ένα παραλληλόγραμμο. Το αποτέλεσμα της ενέργειας πρέπει να θεωρηθεί η διαγώνιος του παραλληλογράμμου που σχεδιάστηκε από το ίδιο σημείο.
Αν μια διανυσματική ποσότητα αφαιρεθεί από μια άλλη, τότε αποτυπώνονται ξανά από ένα σημείο. Μόνο το αποτέλεσμα θα είναι ένα διάνυσμα που ταιριάζει με αυτό από το τέλος του δεύτερου έως το τέλος του πρώτου.
Τι διανύσματα μελετώνται στη φυσική;
Υπάρχουν τόσες όσες και οι βαθμίδες. Μπορείτε απλά να θυμηθείτε ποιες διανυσματικές ποσότητες υπάρχουν στη φυσική. Ή γνωρίζετε τα σημάδια με τα οποία μπορούν να υπολογιστούν. Για όσους προτιμούν την πρώτη επιλογή, ένα τέτοιο τραπέζι θα είναι χρήσιμο. Περιέχει τα κύρια διανυσματικά φυσικά μεγέθη.
| Ορισμός στον τύπο | Όνομα |
| v | ταχύτητα |
| r | move |
| a | επιτάχυνση |
| F | δύναμη |
| r | παρόρμηση |
| E | ένταση ηλεκτρικού πεδίου |
| B | μαγνητική επαγωγή |
| M | στιγμή δύναμης |
Τώρα λίγα περισσότερα για μερικές από αυτές τις ποσότητες.
Η πρώτη τιμή είναι η ταχύτητα
Αξίζει να αρχίσουμε να δίνουμε παραδείγματα διανυσματικών ποσοτήτων από αυτό. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι μελετάται μεταξύ των πρώτων.
Η ταχύτητα ορίζεται ως χαρακτηριστικό της κίνησης ενός σώματος στο διάστημα. Καθορίζει μια αριθμητική τιμή και μια κατεύθυνση. Επομένως, η ταχύτητα είναι ένα διανυσματικό μέγεθος. Επιπλέον, συνηθίζεται να το χωρίζουμε σε τύπους. Το πρώτο είναι η γραμμική ταχύτητα. Εισάγεται όταν εξετάζεται η ευθύγραμμη ομοιόμορφη κίνηση. Ταυτόχρονα, αποδεικνύεται ότι είναι ίσο με την αναλογία της διαδρομής που έχει διανύσει το σώμα προς τη στιγμή της κίνησης.
Ο ίδιος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ανομοιόμορφη κίνηση. Μόνο τότε θα είναι μέτριο. Επιπλέον, το χρονικό διάστημα που θα επιλεγεί πρέπει απαραίτητα να είναι όσο το δυνατόν μικρότερο. Όταν το χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν, η τιμή της ταχύτητας είναι ήδη στιγμιαία.
Αν ληφθεί υπόψη μια αυθαίρετη κίνηση, τότε εδώ η ταχύτητα είναι πάντα διανυσματική ποσότητα. Εξάλλου, πρέπει να αποσυντεθεί σε συστατικά που κατευθύνονται κατά μήκος κάθε διανύσματος που κατευθύνει τις γραμμές συντεταγμένων. Επιπλέον, ορίζεται ως η παράγωγος του διανύσματος ακτίνας, που λαμβάνεται σε σχέση με το χρόνο.
Η δεύτερη τιμή είναι δύναμη
Καθορίζει το μέτρο της έντασης της πρόσκρουσης που ασκείται στο σώμα από άλλα σώματα ή πεδία. Εφόσον η δύναμη είναι διανυσματική ποσότητα, έχει απαραίτητα τη δική της τιμή συντελεστή και κατεύθυνση. Δεδομένου ότι δρα στο σώμα, το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται η δύναμη είναι επίσης σημαντικό. Για να πάρετε μια οπτική ιδέα των διανυσμάτων δύναμης, μπορείτε να ανατρέξετε στον παρακάτω πίνακα.
| Ισχύς | Σημείο εφαρμογής | Κατεύθυνση |
| βαρύτητα | κέντρο σώματος | στο κέντρο της Γης |
| βαρύτητα | κέντρο σώματος | στο κέντρο ενός άλλου σώματος |
| ελαστικότητα | σημείο επαφής μεταξύ αλληλεπιδρώντων σωμάτων | ενάντια στην εξωτερική επιρροή |
| τριβή | μεταξύ των επιφανειών επαφής | στην αντίθετη κατεύθυνση της κίνησης |
Επίσης, η προκύπτουσα δύναμη είναι επίσης διανυσματική ποσότητα. Ορίζεται ως το άθροισμα όλων των μηχανικών δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα. Για να το προσδιορίσετε, είναι απαραίτητο να πραγματοποιήσετε πρόσθεση σύμφωνα με την αρχή του κανόνα του τριγώνου. Μόνο εσείς χρειάζεται να αναβάλετε τα διανύσματα με τη σειρά από το τέλος του προηγούμενου. Το αποτέλεσμα θα είναι αυτό που συνδέει την αρχή του πρώτου με το τέλος του τελευταίου.
Τρίτη τιμή - μετατόπιση
Κατά τη διάρκεια της κίνησης, το σώμα περιγράφει μια συγκεκριμένη γραμμή. Ονομάζεται τροχιά. Αυτή η γραμμή μπορεί να είναι εντελώς διαφορετική. Πιο σημαντικό δεν είναι η εμφάνισή του, αλλά τα σημεία έναρξης και λήξης της κίνησης. Συνδέονταιτμήμα, το οποίο ονομάζεται μετατόπιση. Αυτή είναι επίσης μια διανυσματική ποσότητα. Επιπλέον, κατευθύνεται πάντα από την αρχή της κίνησης μέχρι το σημείο που σταμάτησε η κίνηση. Συνηθίζεται να το προσδιορίζετε με το λατινικό γράμμα r.
Εδώ μπορεί να εμφανιστεί η ερώτηση: "Είναι η διαδρομή διανυσματική ποσότητα;". Σε γενικές γραμμές, αυτή η δήλωση δεν είναι αλήθεια. Το μονοπάτι είναι ίσο με το μήκος της τροχιάς και δεν έχει συγκεκριμένη κατεύθυνση. Εξαίρεση αποτελεί η περίπτωση όταν λαμβάνεται υπόψη η ευθύγραμμη κίνηση προς μία κατεύθυνση. Τότε το μέτρο του διανύσματος μετατόπισης συμπίπτει σε τιμή με τη διαδρομή και η κατεύθυνσή τους αποδεικνύεται η ίδια. Επομένως, όταν εξετάζουμε την κίνηση κατά μήκος μιας ευθείας γραμμής χωρίς αλλαγή της κατεύθυνσης της κίνησης, η διαδρομή μπορεί να συμπεριληφθεί στα παραδείγματα διανυσματικών ποσοτήτων.
Η τέταρτη τιμή είναι η επιτάχυνση
Είναι χαρακτηριστικό του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας. Επιπλέον, η επιτάχυνση μπορεί να έχει θετικές και αρνητικές τιμές. Στην ευθύγραμμη κίνηση, κατευθύνεται προς την κατεύθυνση μεγαλύτερης ταχύτητας. Εάν η κίνηση συμβαίνει κατά μήκος μιας καμπυλόγραμμης τροχιάς, τότε το διάνυσμα επιτάχυνσής της αποσυντίθεται σε δύο συνιστώσες, το ένα εκ των οποίων κατευθύνεται προς το κέντρο της καμπυλότητας κατά μήκος της ακτίνας.
Διαχωρίστε τη μέση και τη στιγμιαία τιμή της επιτάχυνσης. Το πρώτο θα πρέπει να υπολογιστεί ως ο λόγος της αλλαγής της ταχύτητας σε μια συγκεκριμένη χρονική περίοδο προς αυτή τη χρονική περίοδο. Όταν το εξεταζόμενο χρονικό διάστημα τείνει στο μηδέν, μιλάμε για στιγμιαία επιτάχυνση.
Το πέμπτο μέγεθος είναι ορμή
Είναι διαφορετικόονομάζεται επίσης ορμή. Η ορμή είναι ένα διανυσματικό μέγεθος που οφείλεται στο γεγονός ότι σχετίζεται άμεσα με την ταχύτητα και τη δύναμη που εφαρμόζεται στο σώμα. Και οι δύο έχουν μια κατεύθυνση και τη δίνουν στην ορμή.
Εξ ορισμού, το τελευταίο είναι ίσο με το γινόμενο της μάζας σώματος και της ταχύτητας. Χρησιμοποιώντας την έννοια της ορμής ενός σώματος, μπορεί κανείς να γράψει τον γνωστό νόμο του Νεύτωνα με διαφορετικό τρόπο. Αποδεικνύεται ότι η μεταβολή της ορμής είναι ίση με το γινόμενο της δύναμης και του χρόνου.
Στη φυσική, σημαντικό ρόλο παίζει ο νόμος της διατήρησης της ορμής, ο οποίος δηλώνει ότι σε ένα κλειστό σύστημα σωμάτων η συνολική του ορμή είναι σταθερή.
Έχουμε παραθέσει πολύ συνοπτικά ποιες ποσότητες (διάνυσμα) μελετώνται στο μάθημα της φυσικής.
Πρόβλημα ανελαστικής κρούσης
Κατάσταση. Στις ράγες υπάρχει μια σταθερή πλατφόρμα. Ένα αυτοκίνητο το πλησιάζει με ταχύτητα 4 m/s. Οι μάζες της πλατφόρμας και του βαγονιού είναι 10 και 40 τόνοι, αντίστοιχα. Το αυτοκίνητο χτυπά στην πλατφόρμα, εμφανίζεται ένας αυτόματος σύνδεσμος. Είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η ταχύτητα του συστήματος βαγονιών-πλατφόρμα μετά την κρούση.
Απόφαση. Πρώτα, πρέπει να εισαγάγετε τη σημείωση: η ταχύτητα του αυτοκινήτου πριν από την πρόσκρουση - v1, το αυτοκίνητο με την πλατφόρμα μετά τη σύζευξη - v, το βάρος του αυτοκινήτου m 1, η πλατφόρμα - m 2. Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι απαραίτητο να μάθετε την τιμή της ταχύτητας v.
Οι κανόνες για την επίλυση τέτοιων εργασιών απαιτούν μια σχηματική αναπαράσταση του συστήματος πριν και μετά την αλληλεπίδραση. Είναι λογικό να κατευθύνετε τον άξονα OX κατά μήκος των σιδηροτροχιών προς την κατεύθυνση που κινείται το αυτοκίνητο.
Υπό αυτές τις συνθήκες, το σύστημα των βαγονιών μπορεί να θεωρηθεί κλειστό. Αυτό καθορίζεται από το γεγονός ότι η εξωτερικήδυνάμεις μπορούν να παραμεληθούν. Η δύναμη της βαρύτητας και η αντίδραση της στήριξης είναι ισορροπημένες και η τριβή στις ράγες δεν λαμβάνεται υπόψη.
Σύμφωνα με το νόμο της διατήρησης της ορμής, το διανυσματικό άθροισμά τους πριν από την αλληλεπίδραση του αυτοκινήτου και της πλατφόρμας είναι ίσο με το σύνολο του ζεύκτη μετά την κρούση. Στην αρχή, η πλατφόρμα δεν κινήθηκε, οπότε η ορμή της ήταν μηδενική. Μόνο το αυτοκίνητο κινήθηκε, η ορμή του είναι το γινόμενο των m1 και v1.
Δεδομένου ότι η πρόσκρουση ήταν ανελαστική, δηλαδή, το βαγόνι πάλεψε με την πλατφόρμα και μετά άρχισε να κυλά μαζί προς την ίδια κατεύθυνση, η ορμή του συστήματος δεν άλλαξε κατεύθυνση. Το νόημά του όμως έχει αλλάξει. Δηλαδή, το γινόμενο του αθροίσματος της μάζας του βαγονιού με την πλατφόρμα και την απαιτούμενη ταχύτητα.
Μπορείτε να γράψετε αυτήν την ισότητα: m1v1=(m1 + m2)v. Θα ισχύει για την προβολή των διανυσμάτων ορμής στον επιλεγμένο άξονα. Από αυτό είναι εύκολο να εξαχθεί η ισότητα που θα απαιτηθεί για τον υπολογισμό της απαιτούμενης ταχύτητας: v=m1v1 / (m 1 + m2).
Σύμφωνα με τους κανόνες, θα πρέπει να μετατρέψετε τις τιμές για τη μάζα από τόνους σε κιλά. Επομένως, όταν τις αντικαθιστάτε στον τύπο, θα πρέπει πρώτα να πολλαπλασιάσετε τις γνωστές τιμές επί χίλια. Οι απλοί υπολογισμοί δίνουν τον αριθμό 0,75 m/s.
Απάντηση. Η ταχύτητα του βαγονιού με την πλατφόρμα είναι 0,75 m/s.
Πρόβλημα με τη διαίρεση του σώματος σε μέρη
Κατάσταση. Η ταχύτητα μιας ιπτάμενης χειροβομβίδας είναι 20 m/s. Σπάει σε δύο κομμάτια. Η μάζα του πρώτου είναι 1,8 κιλά. Συνεχίζει να κινείται προς την κατεύθυνση που πετούσε η χειροβομβίδα με ταχύτητα 50 m/s. Το δεύτερο θραύσμα έχει μάζα 1,2 kg. Ποια είναι η ταχύτητά του;
Απόφαση. Αφήστε τις μάζες των θραυσμάτων να συμβολίζονται με τα γράμματα m1 και m2. Οι ταχύτητες τους θα είναι αντίστοιχα v1 και v2. Η αρχική ταχύτητα της χειροβομβίδας είναι v. Στο πρόβλημα, πρέπει να υπολογίσετε την τιμή v2.
Για να συνεχίσει το μεγαλύτερο θραύσμα να κινείται προς την ίδια κατεύθυνση με ολόκληρη τη χειροβομβίδα, το δεύτερο πρέπει να πετάξει προς την αντίθετη κατεύθυνση. Εάν επιλέξουμε την κατεύθυνση του άξονα ως εκείνη της αρχικής ώθησης, τότε μετά το διάλειμμα, ένα μεγάλο θραύσμα πετά κατά μήκος του άξονα και ένα μικρό θραύσμα πετάει ενάντια στον άξονα.
Σε αυτό το πρόβλημα, επιτρέπεται η χρήση του νόμου διατήρησης της ορμής λόγω του γεγονότος ότι η έκρηξη μιας χειροβομβίδας συμβαίνει αμέσως. Επομένως, παρά το γεγονός ότι η βαρύτητα δρα στη χειροβομβίδα και στα μέρη της, δεν έχει χρόνο να ενεργήσει και να αλλάξει την κατεύθυνση του διανύσματος ορμής με την τιμή του modulo.
Το άθροισμα των διανυσματικών τιμών της ορμής μετά την έκρηξη της χειροβομβίδας είναι ίσο με αυτό πριν από αυτήν. Αν γράψουμε τον νόμο της διατήρησης της ορμής του σώματος σε προβολή στον άξονα OX, τότε θα μοιάζει με αυτό: (m1 + m2)v=m 1v1 - m2v 2. Είναι εύκολο να εκφράσετε την επιθυμητή ταχύτητα από αυτό. Καθορίζεται από τον τύπο: v2=((m1 + m2)v - m 1v1) / m2. Μετά την αντικατάσταση των αριθμητικών τιμών και των υπολογισμών, προκύπτει 25 m/s.
Απάντηση. Η ταχύτητα ενός μικρού θραύσματος είναι 25 m/s.
Πρόβλημα σχετικά με τη λήψη υπό γωνία
Κατάσταση. Ένα εργαλείο είναι τοποθετημένο σε μια πλατφόρμα μάζας M. Ένα βλήμα μάζας m εκτοξεύεται από αυτό. Πετά έξω υπό γωνία α προςορίζοντα με ταχύτητα v (δίνεται σε σχέση με το έδαφος). Απαιτείται να μάθετε την τιμή της ταχύτητας της πλατφόρμας μετά τη βολή.
Απόφαση. Σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον νόμο διατήρησης της ορμής σε προβολή στον άξονα OX. Αλλά μόνο στην περίπτωση που η προβολή των εξωτερικών δυνάμεων που προκύπτουν είναι ίση με μηδέν.
Για την κατεύθυνση του άξονα OX, πρέπει να επιλέξετε την πλευρά όπου θα πετάξει το βλήμα και παράλληλα με την οριζόντια γραμμή. Σε αυτή την περίπτωση, οι προβολές των δυνάμεων της βαρύτητας και η αντίδραση της στήριξης στο OX θα είναι ίσες με μηδέν.
Το πρόβλημα θα λυθεί με γενικό τρόπο, αφού δεν υπάρχουν συγκεκριμένα δεδομένα για γνωστές ποσότητες. Η απάντηση είναι ο τύπος.
Η ορμή του συστήματος πριν από τη βολή ήταν ίση με μηδέν, αφού η πλατφόρμα και το βλήμα ήταν ακίνητα. Αφήστε την επιθυμητή ταχύτητα της πλατφόρμας να συμβολίζεται με το λατινικό γράμμα u. Τότε η ορμή του μετά τη βολή προσδιορίζεται ως το γινόμενο της μάζας και της προβολής της ταχύτητας. Εφόσον η πλατφόρμα γυρίζει πίσω (κατά την κατεύθυνση του άξονα OX), η τιμή της ορμής θα είναι μείον.
Η ορμή ενός βλήματος είναι το γινόμενο της μάζας του και της προβολής της ταχύτητάς του στον άξονα OX. Λόγω του γεγονότος ότι η ταχύτητα κατευθύνεται υπό γωνία ως προς τον ορίζοντα, η προβολή της είναι ίση με την ταχύτητα πολλαπλασιαζόμενη με το συνημίτονο της γωνίας. Στην κυριολεκτική ισότητα, θα μοιάζει με αυτό: 0=- Mu + mvcos α. Από αυτό, με απλούς μετασχηματισμούς, προκύπτει ο τύπος απάντησης: u=(mvcos α) / M.
Απάντηση. Η ταχύτητα πλατφόρμας καθορίζεται από τον τύπο u=(mvcos α) / M.
Πρόβλημα διέλευσης ποταμού
Κατάσταση. Το πλάτος του ποταμού σε όλο το μήκος του είναι ίδιο και ίσο με l, τις όχθες τουείναι παράλληλες. Γνωρίζουμε την ταχύτητα της ροής του νερού στον ποταμό v1 και την ταχύτητα του σκάφους v2. ένας). Κατά τη διέλευση, η πλώρη του σκάφους κατευθύνεται αυστηρά στην απέναντι ακτή. Πόσο μακριά θα μεταφερθεί κατάντη; 2). Σε ποια γωνία α πρέπει να κατευθύνεται η πλώρη του σκάφους ώστε να φτάνει στην απέναντι όχθη αυστηρά κάθετα προς το σημείο αναχώρησης; Πόσος χρόνος θα χρειαζόταν για να γίνει μια τέτοια διέλευση;
Απόφαση. ένας). Η πλήρης ταχύτητα του σκάφους είναι το διανυσματικό άθροισμα των δύο μεγεθών. Το πρώτο από αυτά είναι η πορεία του ποταμού, που κατευθύνεται κατά μήκος των όχθες. Το δεύτερο είναι η ίδια η ταχύτητα του σκάφους, κάθετα στις ακτές. Το σχέδιο δείχνει δύο παρόμοια τρίγωνα. Το πρώτο σχηματίζεται από το πλάτος του ποταμού και την απόσταση που μεταφέρει το σκάφος. Το δεύτερο - με διανύσματα ταχύτητας.
Ακολουθεί η ακόλουθη καταχώριση: s / l=v1 / v2. Μετά τον μετασχηματισμό, προκύπτει ο τύπος για την επιθυμητή τιμή: s=l(v1 / v2).
2). Σε αυτήν την έκδοση του προβλήματος, το διάνυσμα της συνολικής ταχύτητας είναι κάθετο στις όχθες. Είναι ίσο με το διανυσματικό άθροισμα των v1 και v2. Το ημίτονο της γωνίας κατά την οποία πρέπει να αποκλίνει το διάνυσμα της ίδιας της ταχύτητας είναι ίσο με τον λόγο των μονάδων v1 και v2. Για να υπολογίσετε τον χρόνο ταξιδιού, θα πρέπει να διαιρέσετε το πλάτος του ποταμού με την υπολογιζόμενη συνολική ταχύτητα. Η τιμή του τελευταίου υπολογίζεται χρησιμοποιώντας το Πυθαγόρειο θεώρημα.
v=√(v22 – v1 2), μετά t=l / (√(v22 – v1 2)).
Απάντηση. ένας). s=l(v1 / v2), 2). sin α=v1 /v2, t=l / (√(v22 – v 12)).
