Ένα από τα θεμελιώδη τμήματα της μαθηματικής ανάλυσης είναι ο ολοκληρωτικός λογισμός. Καλύπτει το ευρύτερο πεδίο των αντικειμένων, όπου το πρώτο είναι το αόριστο ολοκλήρωμα. Αξίζει να το τοποθετήσετε ως κλειδί, το οποίο ακόμη και στο γυμνάσιο αποκαλύπτει έναν αυξανόμενο αριθμό προοπτικών και ευκαιριών που περιγράφουν τα ανώτερα μαθηματικά.
Εμφάνιση
Με την πρώτη ματιά, το ολοκλήρωμα φαίνεται εντελώς σύγχρονο, σχετικό, αλλά στην πράξη αποδεικνύεται ότι εμφανίστηκε ήδη από το 1800 π. Χ. Η Αίγυπτος θεωρείται επίσημα η πατρίδα, αφού προηγούμενα στοιχεία της ύπαρξής της δεν έχουν φτάσει σε εμάς. Αυτός, λόγω έλλειψης ενημέρωσης, όλο αυτό το διάστημα τοποθετήθηκε απλώς ως φαινόμενο. Επιβεβαίωσε για άλλη μια φορά το επίπεδο ανάπτυξης της επιστήμης μεταξύ των λαών εκείνης της εποχής. Τέλος, βρέθηκαν τα έργα αρχαίων Ελλήνων μαθηματικών που χρονολογούνται στον 4ο αιώνα π. Χ. Περιέγραψαν μια μέθοδο όπου χρησιμοποιήθηκε ένα αόριστο ολοκλήρωμα, η ουσία του οποίου ήταν να βρεθεί ο όγκος ή το εμβαδόν ενός καμπυλόγραμμου σχήματος (τρισδιάστατοκαι δισδιάστατα επίπεδα, αντίστοιχα). Η αρχή υπολογισμού βασίστηκε στη διαίρεση του αρχικού σχήματος σε απειροελάχιστα συστατικά, υπό την προϋπόθεση ότι ο όγκος (εμβαδόν) τους είναι ήδη γνωστός. Με τον καιρό, η μέθοδος έχει αναπτυχθεί, ο Αρχιμήδης τη χρησιμοποίησε για να βρει την περιοχή μιας παραβολής. Παρόμοιοι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν ταυτόχρονα από επιστήμονες στην αρχαία Κίνα και ήταν εντελώς ανεξάρτητοι από τους Έλληνες ομολόγους τους στην επιστήμη.
Ανάπτυξη
Η επόμενη σημαντική ανακάλυψη τον 11ο αιώνα μ. Χ. ήταν το έργο του Άραβα επιστήμονα-«καθολικού» Abu Ali al-Basri, ο οποίος προώθησε τα όρια του ήδη γνωστού, εξάγοντας τύπους που βασίζονται στο ολοκλήρωμα για τον υπολογισμό των ποσών των σειρών και των αθροισμάτων των δυνάμεων από την πρώτη έως την τέταρτη, εφαρμόζοντας για αυτό τη γνωστή σε εμάς μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής.
Το μυαλό των σύγχρονων καιρών θαυμάζει πώς οι αρχαίοι Αιγύπτιοι δημιουργούσαν καταπληκτικά αρχιτεκτονικά μνημεία χωρίς καμία ειδική συσκευή, εκτός ίσως από τα χέρια τους, αλλά δεν είναι λιγότερο θαύμα η δύναμη του μυαλού των επιστημόνων εκείνης της εποχής; Σε σύγκριση με σήμερα, η ζωή τους φαίνεται σχεδόν πρωτόγονη, αλλά η λύση των αόριστων ολοκληρωμάτων προερχόταν παντού και χρησιμοποιήθηκε στην πράξη για περαιτέρω ανάπτυξη.
Το επόμενο βήμα έγινε τον 16ο αιώνα, όταν ο Ιταλός μαθηματικός Cavalieri ανέπτυξε τη μέθοδο των αδιαίρετων, την οποία χρησιμοποίησε ο Pierre Fermat. Αυτές οι δύο προσωπικότητες έθεσαν τα θεμέλια για τον σύγχρονο ολοκληρωτικό λογισμό, που είναι γνωστός αυτή τη στιγμή. Συνέδεσαν τις έννοιες της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης, που ήταν προηγουμένωςαντιμετωπίζονται ως αυτόνομες μονάδες. Σε γενικές γραμμές, τα μαθηματικά εκείνης της εποχής ήταν κατακερματισμένα, τα σωματίδια των συμπερασμάτων υπήρχαν από μόνα τους, με περιορισμένο εύρος. Ο δρόμος της ενοποίησης και της αναζήτησης κοινού εδάφους ήταν ο μόνος αληθινός εκείνη την εποχή, χάρη στον οποίο η σύγχρονη μαθηματική ανάλυση είχε την ευκαιρία να αναπτυχθεί και να αναπτυχθεί.
Όλα έχουν αλλάξει με την πάροδο του χρόνου, συμπεριλαμβανομένης της σημειογραφίας του ολοκληρώματος. Σε γενικές γραμμές, οι επιστήμονες το σημείωσαν με κάθε τρόπο, για παράδειγμα, ο Νεύτωνας χρησιμοποίησε ένα τετράγωνο εικονίδιο στο οποίο τοποθέτησε μια ενσωματωμένη συνάρτηση ή απλώς την έβαλε δίπλα της.
Αυτή η ασυνέπεια συνεχίστηκε μέχρι τον 17ο αιώνα, όταν ο επιστήμονας Gottfried Leibniz, ορόσημο για ολόκληρη τη θεωρία της μαθηματικής ανάλυσης, εισήγαγε το σύμβολο που είναι τόσο γνωστό σε εμάς. Το επίμηκες "S" βασίζεται πράγματι σε αυτό το γράμμα του λατινικού αλφαβήτου, καθώς υποδηλώνει το άθροισμα των αντιπαραγώγων. Το ολοκλήρωμα πήρε το όνομά του χάρη στον Jacob Bernoulli 15 χρόνια αργότερα.
Τυπικός ορισμός
Το αόριστο ολοκλήρωμα εξαρτάται άμεσα από τον ορισμό του αντιπαραγώγου, οπότε ας το εξετάσουμε πρώτα.
Ένα αντιπαράγωγο είναι μια συνάρτηση που είναι το αντίστροφο μιας παραγώγου, στην πράξη ονομάζεται επίσης πρωτόγονη. Διαφορετικά: η αντιπαράγωγος μιας συνάρτησης d είναι μια συνάρτηση D της οποίας η παράγωγος είναι ίση με v V'=v. Η αναζήτηση για το αντιπαράγωγο είναι ο υπολογισμός του αόριστου ολοκληρώματος, και αυτή η ίδια η διαδικασία ονομάζεται ολοκλήρωση.
Παράδειγμα:
Συνάρτηση s(y)=y3 και το αντιπαράγωγό της S(y)=(y4/4).
Το σύνολο όλων των αντιπαραγώγων της συνάρτησης που εξετάζουμε είναι το αόριστο ολοκλήρωμα, συμβολίζεται ως εξής: ∫v(x)dx.
Λόγω του γεγονότος ότι το V(x) είναι μόνο κάποιο αντιπαράγωγο της αρχικής συνάρτησης, η έκφραση λαμβάνει χώρα: ∫v(x)dx=V(x) + C, όπου το C είναι μια σταθερά. Μια αυθαίρετη σταθερά είναι οποιαδήποτε σταθερά, αφού η παράγωγός της είναι ίση με μηδέν.
Ιδιότητες
Οι ιδιότητες που έχει το αόριστο ολοκλήρωμα βασίζονται στον κύριο ορισμό και τις ιδιότητες των παραγώγων.
Ας δούμε τα βασικά σημεία:
- το ολοκλήρωμα από την παράγωγο του αντιπαραγώγου είναι το ίδιο το αντιπαράγωγο συν μια αυθαίρετη σταθερά С ∫V'(x)dx=V(x) + C;
- η παράγωγος του ολοκληρώματος συνάρτησης είναι η αρχική συνάρτηση (∫v(x)dx)'=v(x);
- Η σταθερά αφαιρείται κάτω από το ολοκληρωτικό πρόσημο ∫kv(x)dx=k∫v(x)dx, όπου το k είναι αυθαίρετο;
- το ολοκλήρωμα που λαμβάνεται από το άθροισμα είναι πανομοιότυπα ίσο με το άθροισμα των ολοκληρωμάτων ∫(v(y) + w(y))dy=∫v(y)dy +∫w(y)dy.
Από τις δύο τελευταίες ιδιότητες, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι το αόριστο ολοκλήρωμα είναι γραμμικό. Χάρη σε αυτό, έχουμε: ∫(kv(y)dy +∫ lw(y))dy=k∫v(y)dy + l∫w(y)dy.
Για ενοποίηση, εξετάστε παραδείγματα επίλυσης αόριστων ολοκληρωμάτων.
Είναι απαραίτητο να βρείτε το ολοκλήρωμα ∫(3sinx + 4cosx)dx:
∫(3sinx + 4cosx)dx=∫3sinxdx + ∫4cosxdx=3∫sinxdx + 4∫cosxdx=3(-cosx) + 4sinx + C=4sinx - 3cosx +C
Από το παράδειγμα μπορούμε να συμπεράνουμε:δεν ξέρετε πώς να λύσετε αόριστα ολοκληρώματα; Απλά βρείτε όλα τα πρωτόγονα! Αλλά οι αρχές της αναζήτησης θα εξεταστούν παρακάτω.
Μέθοδοι και παραδείγματα
Για να λύσετε το ολοκλήρωμα, μπορείτε να καταφύγετε στις ακόλουθες μεθόδους:
- χρησιμοποιήστε τον προετοιμασμένο πίνακα;
- ενσωμάτωση κατά τμήματα;
- ενσωμάτωση αλλάζοντας τη μεταβλητή;
- φέροντας κάτω από το διαφορικό πρόσημο.
Tables
Ο πιο εύκολος και απολαυστικός τρόπος. Αυτή τη στιγμή, η μαθηματική ανάλυση μπορεί να υπερηφανεύεται για αρκετά εκτεταμένους πίνακες στους οποίους είναι γραμμένοι οι βασικοί τύποι των αόριστων ολοκληρωμάτων. Με άλλα λόγια, υπάρχουν πρότυπα που έχουν αναπτυχθεί πριν από εσάς και για εσάς, μένει μόνο να τα χρησιμοποιήσετε. Ακολουθεί μια λίστα με τις κύριες θέσεις του πίνακα στις οποίες μπορείτε να εξαγάγετε σχεδόν κάθε παράδειγμα που έχει λύση:
- ∫0dy=C, όπου C είναι μια σταθερά;
- ∫dy=y + C, όπου C είναι σταθερά;
- ∫y dy=(yn+1) / (n + 1) + C, όπου C είναι μια σταθερά και n - μη ένας αριθμός;
- ∫(1/y)dy=ln|y| + C, όπου C είναι σταθερά;
- ∫eydy=ey + C, όπου C είναι σταθερά;
- ∫kydy=(ky/ln k) + C, όπου C είναι σταθερά;
- ∫cosydy=siny + C, όπου C είναι μια σταθερά;
- ∫sinydy=-cosy + C, όπου C είναι μια σταθερά;
- ∫dy/cos2y=tgy + C, όπου C είναι σταθερά;
- ∫dy/sin2y=-ctgy + C, όπου C είναι μια σταθερά;
- ∫dy/(1 + y2)=arctgy + C, όπου C είναι μια σταθερά;
- ∫chydy=ντροπαλός + C, όπου C -σταθερά;
- ∫shydy=chy + C, όπου το C είναι μια σταθερά.
Αν χρειαστεί, κάντε μερικά βήματα, φέρτε το integrand σε μορφή πίνακα και απολαύστε τη νίκη. Παράδειγμα: ∫cos(5x -2)dx=1/5∫cos(5x - 2)d(5x - 2)=1/5 x sin(5x - 2) + C.
Σύμφωνα με τη λύση, είναι σαφές ότι για το παράδειγμα του πίνακα, το ολοκλήρωμα στερείται συντελεστή 5. Το προσθέτουμε, πολλαπλασιάζοντάς το με το 1/5 παράλληλα, ώστε να μην αλλάξει η γενική έκφραση.
Ενσωμάτωση κατά τμήματα
Θεωρήστε δύο συναρτήσεις - z(y) και x(y). Πρέπει να είναι συνεχώς διαφοροποιήσιμες σε ολόκληρο τον τομέα ορισμού. Σύμφωνα με μία από τις ιδιότητες διαφοροποίησης, έχουμε: d(xz)=xdz + zdx. Ενσωματώνοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης, παίρνουμε: ∫d(xz)=∫(xdz + zdx)=> zx=∫zdx + ∫xdz.
Γράφοντας ξανά την προκύπτουσα ισότητα, λαμβάνουμε έναν τύπο που περιγράφει τη μέθοδο ολοκλήρωσης κατά μέρη: ∫zdx=zx - ∫xdz.
Γιατί χρειάζεται; Το θέμα είναι ότι ορισμένα παραδείγματα μπορούν να απλοποιηθούν, μιλώντας υπό όρους, να μειωθεί το ∫zdx σε ∫xdz εάν το τελευταίο είναι κοντά σε μορφή πίνακα. Επίσης, αυτή η φόρμουλα μπορεί να εφαρμοστεί περισσότερες από μία φορές, επιτυγχάνοντας βέλτιστα αποτελέσματα.
Πώς να λύσετε αόριστα ολοκληρώματα με αυτόν τον τρόπο:
πρέπει να υπολογίσετε ∫(s + 1)e2sds
∫(x + 1)e2sds={z=s+1, dz=ds, y=1/2e2s, dy=e2xds}=((s+1)e2s) / 2-1/2∫e2s dx=((s+1)e2s) / 2-e2s/4+ C;
χρειάζεται να υπολογιστεί ∫lnsds
∫lnsds={z=lns, dz=ds/s, y=s, dy=ds}=slns - ∫s x ds/s=slns - ∫ds=slns -s + C=s(lns -1) + Γ.
Αντικατάσταση μεταβλητής
Αυτή η αρχή της επίλυσης αόριστων ολοκληρωμάτων δεν είναι λιγότερο περιζήτητη από τις δύο προηγούμενες, αν και είναι πιο περίπλοκη. Η μέθοδος είναι η εξής: έστω V(x) το ολοκλήρωμα κάποιας συνάρτησης v(x). Σε περίπτωση που το ίδιο το ολοκλήρωμα στο παράδειγμα εμφανιστεί ως σύνθετο, υπάρχει μεγάλη πιθανότητα να μπερδευτείτε και να ακολουθήσετε το λάθος μονοπάτι λύσης. Για να αποφευχθεί αυτό, εφαρμόζεται η μετάβαση από τη μεταβλητή x στο z, στην οποία η γενική έκφραση απλοποιείται οπτικά ενώ διατηρείται η εξάρτηση του z από το x.
Μαθηματικά μοιάζει με αυτό: ∫v(x)dx=∫v(y(z))y'(z)dz=V(z)=V(y-1(x)), όπου x=y(z) είναι αντικατάσταση. Και, φυσικά, η αντίστροφη συνάρτηση z=y-1(x) περιγράφει πλήρως την εξάρτηση και τη σχέση των μεταβλητών. Σημαντική σημείωση - το διαφορικό dx αναγκαστικά αντικαθίσταται από ένα νέο διαφορικό dz, αφού η αντικατάσταση μιας μεταβλητής στο αόριστο ολοκλήρωμα συνεπάγεται την αντικατάστασή της παντού, και όχι μόνο στο ολοκλήρωμα.
Παράδειγμα:
πρέπει να βρείτε ∫(s + 1) / (s2 + 2s - 5)ds
Εφαρμόστε την αντικατάσταση z=(s+1)/(s2+2s-5). Τότε dz=2sds=2+2(s+1)ds (s+1)ds=dz/2. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε την ακόλουθη έκφραση, η οποία είναι πολύ εύκολο να υπολογιστεί:
∫(s+1)/(s2+2s-5)ds=∫(dz/2)/z=1/2ln|z|+C=1/2ln|s2+2s-5|+C;
πρέπει να βρεθεί το ολοκλήρωμα∫2sesdx
Για να λύσουμε, ξαναγράφουμε την έκφραση με την ακόλουθη μορφή:
∫2sesδ=∫(2e)sδ.
Δηλώστε με a=2e (αυτό το βήμα δεν αντικαθιστά το όρισμα, εξακολουθεί να είναι s), φέρνουμε το φαινομενικά πολύπλοκο ολοκλήρωμα μας σε μια στοιχειώδη μορφή πίνακα:
∫(2e)sδ=∫asδ=as / lna + C=(2e)s / ln(2e) + C=2ses / ln(2 + lne) + C=2ses / (ln2 + 1) + C.
Φέροντας κάτω από το διαφορικό σύμβολο
Σε γενικές γραμμές, αυτή η μέθοδος των αόριστων ολοκληρωμάτων είναι δίδυμος αδερφός της αρχής της αλλαγής της μεταβλητής, αλλά υπάρχουν διαφορές στη διαδικασία σχεδιασμού. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά.
Αν ∫v(x)dx=V(x) + C και y=z(x), τότε ∫v(y)dy=V(y) + C.
Σε αυτήν την περίπτωση, δεν πρέπει να ξεχνάμε τους ασήμαντους ολοκληρωτικούς μετασχηματισμούς, μεταξύ των οποίων:
- dx=d(x + a), όπου a είναι οποιαδήποτε σταθερά;
- dx=(1 / a)d(ax + b), όπου a είναι πάλι μια σταθερά, αλλά όχι ίση με το μηδέν;
- xdx=1/2d(x2 + b);
- sinxdx=-d(cosx);
- cosxdx=d(sinx).
Αν λάβουμε υπόψη τη γενική περίπτωση όταν υπολογίζουμε το αόριστο ολοκλήρωμα, τα παραδείγματα μπορούν να συνοψιστούν με τον γενικό τύπο w'(x)dx=dw(x).
Παραδείγματα:
πρέπει να βρείτε ∫(2s + 3)2δ., ds=1/2d(2s + 3)
∫(2s + 3)2δ=1/2∫(2s + 3)2δ(2δ + 3)=(1/2) x ((2s +3)2) / 3 + C=(1/6) x (2s + 3)2 + C;
∫tgsds=∫sins/cossds=∫d(coss)/coss=-ln|coss| + Γ.
Διαδικτυακή βοήθεια
Σε ορισμένες περιπτώσεις, το σφάλμα των οποίων μπορεί να είναι είτε τεμπελιά είτε επείγουσα ανάγκη, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε διαδικτυακές συμβουλές ή μάλλον να χρησιμοποιήσετε την αριθμομηχανή αόριστου ολοκληρώματος. Παρά τη φαινομενική πολυπλοκότητα και αμφισβήτηση των ολοκληρωμάτων, η επίλυσή τους υπόκειται σε έναν συγκεκριμένο αλγόριθμο, ο οποίος βασίζεται στην αρχή "αν όχι …, τότε …".
Φυσικά, μια τέτοια αριθμομηχανή δεν θα κατακτήσει ιδιαίτερα περίπλοκα παραδείγματα, καθώς υπάρχουν περιπτώσεις στις οποίες η λύση πρέπει να βρεθεί τεχνητά, εισάγοντας "αναγκαστικά" ορισμένα στοιχεία στη διαδικασία, επειδή το αποτέλεσμα δεν μπορεί να επιτευχθεί με προφανή τρόπους. Παρ' όλη τη διαμάχη αυτής της δήλωσης, είναι αλήθεια, αφού τα μαθηματικά, κατ' αρχήν, είναι μια αφηρημένη επιστήμη και θεωρούν την ανάγκη να διευρύνουν τα όρια των δυνατοτήτων ως πρωταρχικό καθήκον τους. Πράγματι, είναι εξαιρετικά δύσκολο να ανέβεις και να αναπτυχθείς σύμφωνα με ομαλές, τρέχουσες θεωρίες, επομένως δεν πρέπει να υποθέσεις ότι τα παραδείγματα επίλυσης αόριστων ολοκληρωμάτων που δώσαμε είναι το ύψος των πιθανοτήτων. Αλλά πίσω στην τεχνική πλευρά των πραγμάτων. Τουλάχιστον για να ελέγξετε τους υπολογισμούς, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τις υπηρεσίες στις οποίες όλα γράφτηκαν πριν από εμάς. Εάν υπάρχει ανάγκη για αυτόματο υπολογισμό μιας σύνθετης έκφρασης, τότε δεν μπορούν να παραβλεφθούν, θα πρέπει να καταφύγετε σε πιο σοβαρό λογισμικό. Αξίζει να δώσετε προσοχή πρώτα από όλα στο περιβάλλον MatLab.
Αίτηση
Η λύση των αόριστων ολοκληρωμάτων με την πρώτη ματιά φαίνεται εντελώς άσχετη με την πραγματικότητα, καθώς είναι δύσκολο να δεις τα προφανή πεδία εφαρμογής. Πράγματι, δεν μπορούν να χρησιμοποιηθούν άμεσα πουθενά, αλλά θεωρούνται απαραίτητο ενδιάμεσο στοιχείο στη διαδικασία εξαγωγής λύσεων που χρησιμοποιούνται στην πράξη. Άρα, η ολοκλήρωση είναι αντίστροφη της διαφοροποίησης, λόγω της οποίας συμμετέχει ενεργά στη διαδικασία επίλυσης εξισώσεων.
Με τη σειρά τους, αυτές οι εξισώσεις έχουν άμεσο αντίκτυπο στην επίλυση μηχανικών προβλημάτων, στον υπολογισμό των τροχιών και στη θερμική αγωγιμότητα - με λίγα λόγια, όλα όσα συνθέτουν το παρόν και διαμορφώνουν το μέλλον. Το αόριστο ολοκλήρωμα, παραδείγματα του οποίου εξετάσαμε παραπάνω, είναι ασήμαντο μόνο με την πρώτη ματιά, καθώς αποτελεί τη βάση για να γίνουν όλο και περισσότερες νέες ανακαλύψεις.
