Η εμφάνιση της έννοιας του ολοκληρώματος οφειλόταν στην ανάγκη εύρεσης της αντιπαράγωγης συνάρτησης από την παράγωγό της, καθώς και στον προσδιορισμό της ποσότητας εργασίας, της περιοχής των σύνθετων ψηφίων, της απόστασης που διανύθηκε, με παράμετροι που περιγράφονται από καμπύλες που περιγράφονται από μη γραμμικούς τύπους.
Από το μάθημα
και η φυσική γνωρίζει ότι το έργο είναι ίσο με το γινόμενο της δύναμης και της απόστασης. Εάν όλες οι κινήσεις γίνονται με σταθερή ταχύτητα ή η απόσταση ξεπεραστεί με την εφαρμογή της ίδιας δύναμης, τότε όλα είναι ξεκάθαρα, απλά πρέπει να τα πολλαπλασιάσετε. Τι είναι ολοκλήρωμα σταθεράς; Αυτή είναι μια γραμμική συνάρτηση της μορφής y=kx+c.
Αλλά η δύναμη κατά τη διάρκεια της εργασίας μπορεί να αλλάξει, και σε κάποιο είδος φυσικής εξάρτησης. Η ίδια κατάσταση συμβαίνει με τον υπολογισμό της διανυθείσας απόστασης εάν η ταχύτητα δεν είναι σταθερή.
Λοιπόν, είναι ξεκάθαρο σε τι χρησιμεύει το ολοκλήρωμα. Ο ορισμός του ως το άθροισμα των γινομένων των τιμών της συνάρτησης με μια απειροελάχιστη αύξηση του ορίσματος περιγράφει πλήρως την κύρια έννοια αυτής της έννοιας ως την περιοχή ενός σχήματος που οριοθετείται από πάνω από τη γραμμή της συνάρτησης και στο οι άκρες στα όρια του ορισμού.
Jean Gaston Darboux, Γάλλος μαθηματικός, στο δεύτερο μισό του XIXαιώνα εξήγησε πολύ ξεκάθαρα τι είναι ολοκλήρωμα. Το κατέστησε τόσο σαφές ότι γενικά δεν θα ήταν δύσκολο ακόμη και για έναν μαθητή γυμνασίου να καταλάβει αυτό το ζήτημα.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει συνάρτηση οποιασδήποτε σύνθετης μορφής. Ο άξονας y, στον οποίο απεικονίζονται οι τιμές του επιχειρήματος, χωρίζεται σε μικρά διαστήματα, ιδανικά είναι απείρως μικρά, αλλά επειδή η έννοια του άπειρου είναι μάλλον αφηρημένη, αρκεί να φανταστούμε μόνο μικρά τμήματα, την τιμή του οποίου συνήθως συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα Δ (δέλτα).
Η συνάρτηση αποδείχθηκε ότι "κόπηκε" σε μικρά τούβλα.
Κάθε τιμή ορίσματος αντιστοιχεί σε ένα σημείο στον άξονα y, στο οποίο απεικονίζονται οι αντίστοιχες τιμές συνάρτησης. Αλλά επειδή η επιλεγμένη περιοχή έχει δύο περιθώρια, θα υπάρχουν επίσης δύο τιμές της συνάρτησης, περισσότερες και λιγότερες.
Το άθροισμα των γινομένων μεγαλύτερων τιμών κατά την προσαύξηση Δ ονομάζεται μεγάλο άθροισμα Darboux και συμβολίζεται ως S. Συνεπώς, οι μικρότερες τιμές σε μια περιορισμένη περιοχή, πολλαπλασιαζόμενες επί Δ, όλες μαζί σχηματίζουν ένα μικρό άθροισμα Darboux s. Η ίδια η τομή μοιάζει με ορθογώνιο τραπεζοειδές, αφού η καμπυλότητα της γραμμής της συνάρτησης με την απειροελάχιστη προσαύξησή της μπορεί να αγνοηθεί. Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε το εμβαδόν ενός τέτοιου γεωμετρικού σχήματος είναι να προσθέσετε τα γινόμενα της μεγαλύτερης και μικρότερης τιμής της συνάρτησης με την αύξηση Δ και να διαιρέσετε με δύο, δηλαδή να το προσδιορίσετε ως αριθμητικό μέσο όρο.
Αυτό είναι το ολοκλήρωμα Darboux:
s=Σf(x) Το Δ είναι ένα μικρό ποσό;
S=Το Σf(x+Δ)Δ είναι μεγάλο άθροισμα.
Τι είναι λοιπόν ένα ολοκλήρωμα; Η περιοχή που οριοθετείται από τη γραμμή συνάρτησης και τα όρια ορισμού θα είναι:
∫f(x)dx={(S+s)/2} +c
Δηλαδή, ο αριθμητικός μέσος όρος μεγάλων και μικρών Darboux sums.c είναι μια σταθερή τιμή που ορίζεται στο μηδέν κατά τη διαφοροποίηση.
Με βάση τη γεωμετρική έκφραση αυτής της έννοιας, η φυσική έννοια του ολοκληρώματος γίνεται σαφής. Η περιοχή του σχήματος, που περιγράφεται από τη συνάρτηση ταχύτητας και περιορίζεται από το χρονικό διάστημα κατά μήκος του άξονα της τετμημένης, θα είναι το μήκος της διαδρομής που διανύθηκε.
L=∫f(x)dx στο διάστημα από t1 έως t2, Πού
f(x) – συνάρτηση ταχύτητας, δηλαδή ο τύπος με τον οποίο αλλάζει με την πάροδο του χρόνου;
L – μήκος διαδρομής;
t1 – ώρα έναρξης;
t2 – ώρα λήξης του ταξιδιού.
Ακριβώς σύμφωνα με την ίδια αρχή, η ποσότητα της εργασίας καθορίζεται, μόνο η απόσταση θα απεικονίζεται κατά μήκος της τετμημένης και η ποσότητα της δύναμης που εφαρμόζεται σε κάθε συγκεκριμένο σημείο θα απεικονίζεται κατά μήκος της τεταγμένης.
