Πώς να βρείτε το γινόμενο των πινάκων. Πολλαπλασιασμός πίνακα. Κλιμωτό γινόμενο πινάκων. Προϊόν τριών πινάκων

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Οι πίνακες (πίνακες με αριθμητικά στοιχεία) μπορούν να χρησιμοποιηθούν για διάφορους υπολογισμούς. Μερικά από αυτά πολλαπλασιάζονται με έναν αριθμό, ένα διάνυσμα, έναν άλλο πίνακα, με πολλούς πίνακες. Το προϊόν μερικές φορές είναι λανθασμένο. Ένα λανθασμένο αποτέλεσμα είναι το αποτέλεσμα άγνοιας των κανόνων για την εκτέλεση υπολογιστικών ενεργειών. Ας δούμε πώς να κάνουμε τον πολλαπλασιασμό.

Μήτρα και αριθμός

Ας ξεκινήσουμε με το πιο απλό πράγμα - πολλαπλασιάζοντας έναν πίνακα με αριθμούς με μια συγκεκριμένη τιμή. Για παράδειγμα, έχουμε έναν πίνακα A με στοιχεία a_ij (i είναι οι αριθμοί σειρών και j είναι οι αριθμοί στηλών) και τον αριθμό e. Το γινόμενο του πίνακα με τον αριθμό e θα είναι ο πίνακας B με τα στοιχεία b_ij, τα οποία βρίσκονται με τον τύπο:

b_ij=e × a_ij.

Τ. ε. για να λάβετε το στοιχείο b₁₁ πρέπει να πάρετε το στοιχείο a₁₁ και να το πολλαπλασιάσετε με τον επιθυμητό αριθμό, για να λάβετε b₁₂ απαιτείται για να βρείτε το γινόμενο του στοιχείου a₁₂ και τον αριθμό e, κ.λπ.

Ας λύσουμε το πρόβλημα νούμερο 1 που παρουσιάζεται στην εικόνα. Για να λάβετε τον πίνακα Β, απλώς πολλαπλασιάστε τα στοιχεία από το A με 3:

1. a₁₁ × 3=18. Γράφουμε αυτήν την τιμή στον πίνακα Β στο σημείο όπου τέμνονται η στήλη Νο. 1 και η σειρά Νο. 1.
2. a₂₁ × 3=15. Λάβαμε το στοιχείο b₂₁.
3. a₁₂ × 3=-6. Λάβαμε το στοιχείο b₁₂. Το γράφουμε στον πίνακα Β στο σημείο όπου τέμνονται η στήλη 2 και η σειρά 1.
4. a₂₂ × 3=9. Αυτό το αποτέλεσμα είναι το στοιχείο b₂₂.
5. a₁₃ × 3=12. Εισαγάγετε αυτόν τον αριθμό στον πίνακα στη θέση του στοιχείου b₁₃.
6. a₂₃ × 3=-3. Ο τελευταίος αριθμός που ελήφθη είναι το στοιχείο b₂₃.

Έτσι, πήραμε έναν ορθογώνιο πίνακα με αριθμητικά στοιχεία.

18	–6	12
15	9	–3

Διανύσματα και η συνθήκη για την ύπαρξη γινομένου πινάκων

Στους μαθηματικούς κλάδους, υπάρχει κάτι σαν "διάνυσμα". Αυτός ο όρος αναφέρεται σε ένα ταξινομημένο σύνολο τιμών από a₁ έως a . Ονομάζονται συντεταγμένες διανυσματικού χώρου και γράφονται ως στήλη. Υπάρχει επίσης ο όρος «μεταφερόμενος φορέας». Τα συστατικά του είναι διατεταγμένα ως συμβολοσειρά.

Τα διανύσματα μπορούν να ονομαστούν πίνακες:

Το διάνυσμα

στήλης είναι ένας πίνακας κατασκευασμένος από μία στήλη;

Το

διάνυσμα σειράς είναι ένας πίνακας που περιλαμβάνει μόνο μία σειρά.

Όταν τελειώσετεπάνω από πίνακες πράξεων πολλαπλασιασμού, είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι υπάρχει προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός γινομένου. Η υπολογιστική ενέργεια A × B μπορεί να εκτελεστεί μόνο όταν ο αριθμός των στηλών στον πίνακα A είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα B. Ο προκύπτων πίνακας που προκύπτει από τον υπολογισμό έχει πάντα τον αριθμό των γραμμών στον πίνακα A και τον αριθμό των στηλών στον πίνακα Β.

Κατά τον πολλαπλασιασμό, δεν συνιστάται η αναδιάταξη πινάκων (πολλαπλασιαστές). Το γινόμενο τους συνήθως δεν αντιστοιχεί στον αντιμεταθετικό (μετατόπιση) νόμο του πολλαπλασιασμού, δηλαδή το αποτέλεσμα της πράξης A × B δεν είναι ίσο με το αποτέλεσμα της πράξης B × A. Αυτό το χαρακτηριστικό ονομάζεται μη-ανταλλαγή του γινομένου του μήτρες. Σε ορισμένες περιπτώσεις, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού A × B είναι ίσο με το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού B × A, δηλαδή, το γινόμενο είναι αντισταθμιστικό. Οι πίνακες για τους οποίους ισχύει η ισότητα A × B=B × A ονομάζονται πίνακες μετάθεσης. Δείτε παραδείγματα τέτοιων πινάκων παρακάτω.

Πολλαπλασιασμός με διάνυσμα στήλης

Όταν πολλαπλασιάζουμε έναν πίνακα με ένα διάνυσμα στήλης, πρέπει να λάβουμε υπόψη την προϋπόθεση για την ύπαρξη του γινομένου. Ο αριθμός των στηλών (n) στον πίνακα πρέπει να ταιριάζει με τον αριθμό των συντεταγμένων που αποτελούν το διάνυσμα. Το αποτέλεσμα του υπολογισμού είναι το μετασχηματισμένο διάνυσμα. Ο αριθμός των συντεταγμένων του είναι ίσος με τον αριθμό των γραμμών (m) από τον πίνακα.

Πώς υπολογίζονται οι συντεταγμένες του διανύσματος y αν υπάρχει πίνακας Α και διάνυσμα x; Για υπολογισμούς που δημιουργήθηκαν τύποι:

y₁=a₁₁x₁ + a_{12 x}2 _{+ … + a}1 _x , y₂=a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a 2n_x ,

…………………………………, y_m=a_m1x₁ + a_{m2 x}2 _{+ … + a}min_x ,

όπου x₁, …, x είναι συντεταγμένες από το διάνυσμα x, m είναι ο αριθμός των σειρών στον πίνακα και ο αριθμός των συντεταγμένων στο νέο διάνυσμα y, n είναι ο αριθμός των στηλών στον πίνακα και ο αριθμός των συντεταγμένων στο διάνυσμα x, a₁₁, a_{12, …, a}mn– στοιχεία του πίνακα A.

Έτσι, για να ληφθεί η i-η συνιστώσα του νέου διανύσματος, εκτελείται το βαθμωτό γινόμενο. Το διάνυσμα της i-ης σειράς λαμβάνεται από τον πίνακα A και πολλαπλασιάζεται με το διαθέσιμο διάνυσμα x.

Ας λύσουμε το πρόβλημα 2. Μπορείτε να βρείτε το γινόμενο ενός πίνακα και ενός διανύσματος επειδή το Α έχει 3 στήλες και το x αποτελείται από 3 συντεταγμένες. Ως αποτέλεσμα, θα πρέπει να λάβουμε ένα διάνυσμα στήλης με 4 συντεταγμένες. Ας χρησιμοποιήσουμε τους παραπάνω τύπους:

1. Υπολογισμός y₁. 1 × 4 + (–1) × 2 + 0 × (–4). Η τελική τιμή είναι 2.
2. Υπολογισμός y₂. 0 × 4 + 2 × 2 + 1 × (–4). Κατά τον υπολογισμό, παίρνουμε 0.
3. Υπολογισμός y₃. 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × (–4). Το άθροισμα των γινομένων των υποδεικνυόμενων παραγόντων είναι 6.
4. Υπολογισμός y₄. (–1) × 4 + 0 × 2 + 1 × (–4). Η συντεταγμένη είναι -8.

Πολλαπλασιασμός διανύσματος-μήτρας σειράς

Δεν μπορείτε να πολλαπλασιάσετε έναν πίνακα με πολλές στήλες με ένα διάνυσμα γραμμής. Σε τέτοιες περιπτώσεις δεν πληρούται η προϋπόθεση για την ύπαρξη του έργου. Αλλά ο πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος σειράς με έναν πίνακα είναι δυνατός. Αυτόη υπολογιστική πράξη εκτελείται όταν ο αριθμός των συντεταγμένων στο διάνυσμα και ο αριθμός των σειρών στον πίνακα ταιριάζουν. Το αποτέλεσμα του γινόμενου ενός διανύσματος και ενός πίνακα είναι ένα νέο διάνυσμα γραμμής. Ο αριθμός των συντεταγμένων του πρέπει να ισούται με τον αριθμό των στηλών στον πίνακα.

Ο υπολογισμός της πρώτης συντεταγμένης ενός νέου διανύσματος περιλαμβάνει τον πολλαπλασιασμό του διανύσματος σειράς και του διανύσματος της πρώτης στήλης από τον πίνακα. Η δεύτερη συντεταγμένη υπολογίζεται με παρόμοιο τρόπο, αλλά αντί για το διάνυσμα της πρώτης στήλης, λαμβάνεται το διάνυσμα της δεύτερης στήλης. Εδώ είναι ο γενικός τύπος για τον υπολογισμό των συντεταγμένων:

y_k=a_1kx₁+ a_2kx₂ + … + a_mkx _m, όπου y_k είναι μια συντεταγμένη από το διάνυσμα y, (k είναι μεταξύ 1 και n), m είναι ο αριθμός των σειρών στον πίνακα και ο αριθμός των συντεταγμένων στο διάνυσμα x, n είναι ο αριθμός των στηλών στον πίνακα και ο αριθμός των συντεταγμένων στο διάνυσμα y, a με αλφαριθμητικούς δείκτες είναι τα στοιχεία του πίνακα A.

Προϊόν ορθογώνιων μητρών

Αυτός ο υπολογισμός μπορεί να φαίνεται περίπλοκος. Ωστόσο, ο πολλαπλασιασμός γίνεται εύκολα. Ας ξεκινήσουμε με έναν ορισμό. Το γινόμενο ενός πίνακα A με m σειρές και n στήλες και ενός πίνακα B με n σειρές και p στήλες είναι ένας πίνακας C με m γραμμές και p στήλες, στον οποίο το στοιχείο c_ij είναι το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων i- ης σειράς από τον πίνακα A και j-ης στήλης από τον πίνακα B. Με απλούστερους όρους, το στοιχείο c_ij είναι το βαθμωτό γινόμενο της i-ης σειράς διάνυσμα από τον πίνακα Α και το διάνυσμα j-ης στήλης από τον πίνακα Β.

Τώρα ας δούμε στην πράξη πώς να βρούμε το γινόμενο ορθογώνιων πινάκων. Ας λύσουμε για αυτό το πρόβλημα Νο 3. Η προϋπόθεση για την ύπαρξη ενός προϊόντος ικανοποιείται. Ας αρχίσουμε να υπολογίζουμε τα στοιχεία c_ij:

1. Ο πίνακας C θα έχει 2 σειρές και 3 στήλες.
2. Υπολογισμός στοιχείου c₁₁. Για να γίνει αυτό, εκτελούμε το βαθμωτό γινόμενο της σειράς Νο. 1 από τον πίνακα Α και τη στήλη Νο. 1 από τον πίνακα Β. c₁₁=0 × 7 + 5 × 3 + 1 × 1=16. Στη συνέχεια, προχωράμε με παρόμοιο τρόπο, αλλάζοντας μόνο σειρές, στήλες (ανάλογα με τον δείκτη στοιχείων).
3. c₁₂=12.
4. c₁₃=9.
5. c₂₁=31.
6. c₂₂=18.
7. c₂₃=36.

Τα στοιχεία υπολογίζονται. Τώρα μένει μόνο να φτιάξουμε ένα ορθογώνιο μπλοκ των ληφθέντων αριθμών.

16	12	9
31	18	36

Πολλαπλασιασμός τριών πινάκων: το θεωρητικό μέρος

Μπορείτε να βρείτε το γινόμενο τριών πινάκων; Αυτή η υπολογιστική λειτουργία είναι εφικτή. Το αποτέλεσμα μπορεί να επιτευχθεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, υπάρχουν 3 τετράγωνοι πίνακες (της ίδιας σειράς) - Α, Β και Γ. Για να υπολογίσετε το γινόμενο, μπορείτε:

1. Πολλαπλασιάστε πρώτα το Α και το Β. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε το αποτέλεσμα με το C.
2. Πρώτα βρείτε το γινόμενο των B και C. Στη συνέχεια πολλαπλασιάστε τον πίνακα A με το αποτέλεσμα.

Αν χρειάζεται να πολλαπλασιάσετε ορθογώνιους πίνακες, τότε πρώτα πρέπει να βεβαιωθείτε ότι αυτή η υπολογιστική πράξη είναι δυνατή. Πρέπειυπάρχουν προϊόντα A × B και B × C.

Ο αυξητικός πολλαπλασιασμός δεν είναι λάθος. Υπάρχει κάτι όπως "συνειρμότητα πολλαπλασιασμού μήτρας". Αυτός ο όρος αναφέρεται στην ισότητα (A × B) × C=A × (B × C).

Πρακτική πολλαπλασιασμού τριών πινάκων

Τετράγωνοι πίνακες

Ξεκινήστε πολλαπλασιάζοντας μικρούς τετραγωνικούς πίνακες. Το παρακάτω σχήμα δείχνει το πρόβλημα με αριθμό 4, το οποίο πρέπει να λύσουμε.

Θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα συσχέτισης. Πρώτα πολλαπλασιάζουμε είτε το Α και το Β, είτε το Β και το Γ. Θυμόμαστε μόνο ένα πράγμα: δεν μπορείτε να ανταλλάξετε παράγοντες, δηλαδή δεν μπορείτε να πολλαπλασιάσετε Β × Α ή Γ × Β. Με αυτόν τον πολλαπλασιασμό, θα λάβουμε λανθασμένο αποτέλεσμα.

Πρόοδος απόφασης.

Βήμα πρώτο. Για να βρούμε το κοινό γινόμενο, πολλαπλασιάζουμε πρώτα το Α με το Β. Όταν πολλαπλασιάζουμε δύο πίνακες, θα καθοδηγούμαστε από τους κανόνες που περιγράφηκαν παραπάνω. Έτσι, το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού των Α και Β θα είναι ένας πίνακας D με 2 σειρές και 2 στήλες, δηλαδή ένας ορθογώνιος πίνακας θα περιλαμβάνει 4 στοιχεία. Ας τα βρούμε κάνοντας τον υπολογισμό:

• d₁₁=0 × 1 + 5 × 6=30;
• d₁₂=0 × 4 + 5 × 2=10;
• d₂₁=3 × 1 + 2 × 6=15;
• d₂₂=3 × 4 + 2 × 2=16.

Έτοιμο το ενδιάμεσο αποτέλεσμα.

30	10
15	16

Βήμα δεύτερο. Τώρα ας πολλαπλασιάσουμε τον πίνακα D με τον πίνακα C. Το αποτέλεσμα θα πρέπει να είναι ένας τετράγωνος πίνακας G με 2 σειρές και 2 στήλες. Υπολογισμός στοιχείων:

• g₁₁=30 × 8 + 10 × 1=250;
• g₁₂=30 × 5 + 10 × 3=180;
• g₂₁=15 × 8 + 16 × 1=136;
• g₂₂=15 × 5 + 16 × 3=123.

Έτσι, το αποτέλεσμα του γινόμενου τετραγωνικών πινάκων είναι ένας πίνακας G με υπολογισμένα στοιχεία.

250	180
136	123

Ορθογώνιες μήτρες

Το παρακάτω σχήμα δείχνει το πρόβλημα 5. Απαιτείται να πολλαπλασιάσουμε ορθογώνιους πίνακες και να βρούμε μια λύση.

Ας ελέγξουμε αν ικανοποιείται η προϋπόθεση για την ύπαρξη γινομένων A × B και B × C. Οι τάξεις των υποδεικνυόμενων πινάκων μας επιτρέπουν να κάνουμε πολλαπλασιασμό. Ας αρχίσουμε να λύνουμε το πρόβλημα.

Πρόοδος απόφασης.

Βήμα πρώτο. Πολλαπλασιάστε το B με το C για να πάρετε το D. Ο πίνακας B έχει 3 σειρές και 4 στήλες και ο πίνακας C έχει 4 σειρές και 2 στήλες. Αυτό σημαίνει ότι θα πάρουμε έναν πίνακα D με 3 σειρές και 2 στήλες. Ας υπολογίσουμε τα στοιχεία. Ακολουθούν 2 παραδείγματα υπολογισμού:

• d₁₁=3 × 0 + 0 × 0 + 1 × 0 + 0 × 1=0;
• d₁₂=3 × 2 + 0 × 3 + 1 × 1 + 0 × 6=7.

Συνεχίζουμε να λύνουμε το πρόβλημα. Ως αποτέλεσμα περαιτέρω υπολογισμών, βρίσκουμε τις τιμές d₂₁, d₂ 2, d₃₁ και d₃₂. Αυτά τα στοιχεία είναι 0, 19, 1 και 11 αντίστοιχα. Ας γράψουμε τις τιμές που βρέθηκαν σε έναν ορθογώνιο πίνακα.

0	7
0	19
1	11

Βήμα δεύτερο. Πολλαπλασιάστε το A με το D για να πάρετε τον τελικό πίνακα F. Θα έχει 2 σειρές και 2 στήλες. Υπολογισμός στοιχείων:

• f₁₁=2 × 0 + 6 × 0 + 1 × 1=1;
• f₁₂=2 × 7 + 6 × 19 + 1 × 11=139;
• f₂₁=0 × 0 + 1 × 0 + 3 × 1=3;
• f₂₂=0 × 7 + 1 × 19 + 3 × 11=52.

Συνθέστε έναν ορθογώνιο πίνακα, ο οποίος είναι το τελικό αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού τριών πινάκων.

1	139
3	52

Εισαγωγή στην άμεση εργασία

Αρκετά δυσνόητο υλικό είναι το γινόμενο των πινάκων Kronecker. Έχει επίσης ένα επιπλέον όνομα - ένα άμεσο έργο. Τι σημαίνει αυτός ο όρος; Ας υποθέσουμε ότι έχουμε πίνακα Α τάξης m × n και πίνακα Β τάξης p × q. Το άμεσο γινόμενο του πίνακα Α και του πίνακα Β είναι ένας πίνακας τάξης mp × nq.

Έχουμε 2 τετράγωνους πίνακες A, B, οι οποίοι φαίνονται στην εικόνα. Το πρώτο έχει 2 στήλες και 2 σειρές και το δεύτερο έχει 3 στήλες και 3 σειρές. Βλέπουμε ότι ο πίνακας που προκύπτει από το άμεσο γινόμενο αποτελείται από 6 σειρές και ακριβώς τον ίδιο αριθμό στηλών.

Πώς υπολογίζονται τα στοιχεία ενός νέου πίνακα σε ένα άμεσο γινόμενο; Η εύρεση της απάντησης σε αυτή την ερώτηση είναι πολύ εύκολη αν αναλύσετε την εικόνα. Πρώτα συμπληρώστε την πρώτη γραμμή. Πάρτε το πρώτο στοιχείο από την επάνω σειρά του πίνακα Α και πολλαπλασιάστε διαδοχικά με τα στοιχεία της πρώτης σειράςαπό τον πίνακα Β. Στη συνέχεια, πάρτε το δεύτερο στοιχείο της πρώτης σειράς του πίνακα Α και πολλαπλασιάστε διαδοχικά με τα στοιχεία της πρώτης σειράς του πίνακα Β. Για να συμπληρώσετε τη δεύτερη σειρά, πάρτε ξανά το πρώτο στοιχείο από την πρώτη σειρά του πίνακα Α και πολλαπλασιάστε το με τα στοιχεία της δεύτερης σειράς του πίνακα Β.

Ο τελικός πίνακας που λαμβάνεται με άμεσο γινόμενο ονομάζεται πίνακας μπλοκ. Αν αναλύσουμε ξανά το σχήμα, μπορούμε να δούμε ότι το αποτέλεσμά μας αποτελείται από 4 μπλοκ. Όλα περιλαμβάνουν στοιχεία του πίνακα Β. Επιπλέον, ένα στοιχείο κάθε μπλοκ πολλαπλασιάζεται με ένα συγκεκριμένο στοιχείο του πίνακα Α. Στο πρώτο μπλοκ, όλα τα στοιχεία πολλαπλασιάζονται με a₁₁, στο δεύτερο - με ένα_{12, στο τρίτο - σε ένα}21_{, στο τέταρτο - σε ένα}22.

Προϊόντος καθοριστικός παράγοντας

Όταν εξετάζουμε το θέμα του πολλαπλασιασμού πινάκων, αξίζει να λάβουμε υπόψη έναν τέτοιο όρο όπως "ο προσδιοριστής του γινομένου των πινάκων". Τι είναι ο καθοριστικός παράγοντας; Αυτό είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός τετραγωνικού πίνακα, μια ορισμένη τιμή που αποδίδεται σε αυτόν τον πίνακα. Ο κυριολεκτικός προσδιορισμός της ορίζουσας είναι det.

Για έναν πίνακα A που αποτελείται από δύο στήλες και δύο σειρές, η ορίζουσα είναι εύκολο να βρεθεί. Υπάρχει ένας μικρός τύπος που είναι η διαφορά μεταξύ των προϊόντων συγκεκριμένων στοιχείων:

det A=a₁₁ × a₂₂ – a₁₂ × a₂₁.

Ας εξετάσουμε ένα παράδειγμα υπολογισμού της ορίζουσας για έναν πίνακα δεύτερης τάξης. Υπάρχει ένας πίνακας A στον οποίο a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=5 και a22_{=1. Για να υπολογίσετε την ορίζουσα, χρησιμοποιήστε τον τύπο:}

det A=2 × 1 – 3 × 5=2 – 15=–13.

Για πίνακες 3 × 3, η ορίζουσα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας έναν πιο σύνθετο τύπο. Παρουσιάζεται παρακάτω για τον πίνακα A:

det A=a₁₁a₂₂a₃₃ + a_{12 a}23_a31 _{+ a}13_α21_{α 32} – a₁₃a₂₂a₃₁ – a₁₁ a₂₃a₃₂ – a₁₂a₂₁ a₃₃.

Για να θυμηθούμε τον τύπο, καταλήξαμε στον κανόνα του τριγώνου, ο οποίος φαίνεται στην εικόνα. Πρώτον, πολλαπλασιάζονται τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου. Τα γινόμενα αυτών των στοιχείων που υποδεικνύονται από τις γωνίες τριγώνων με κόκκινες πλευρές προστίθενται στην τιμή που προκύπτει. Στη συνέχεια, αφαιρείται το γινόμενο των στοιχείων της δευτερεύουσας διαγωνίου και αφαιρούνται τα γινόμενα αυτών των στοιχείων που υποδεικνύονται από τις γωνίες τριγώνων με μπλε πλευρές.

Ας μιλήσουμε τώρα για την ορίζουσα του γινομένου των πινάκων. Υπάρχει ένα θεώρημα που λέει ότι αυτός ο δείκτης είναι ίσος με το γινόμενο των οριζόντων των πινάκων πολλαπλασιαστή. Ας το επαληθεύσουμε αυτό με ένα παράδειγμα. Έχουμε πίνακα A με καταχωρήσεις a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 και a22_{=1 και πίνακας B με καταχωρήσεις b}11_{=4, b}12_{=5, b} 21 _{=1 και b}22_{=2. Βρείτε τις ορίζουσες για τους πίνακες A και B, το γινόμενο A × B και την ορίζουσα αυτού του γινομένου.}

Πρόοδος απόφασης.

Βήμα πρώτο. Υπολογίστε την ορίζουσα για το A: det A=2 × 1 – 3 × 1=–1. Στη συνέχεια, υπολογίστε την ορίζουσα για το B: det B=4 × 2 – 5 × 1=3.

Βήμα δεύτερο. Ας βρούμεγινόμενο A × B. Σημειώστε τον νέο πίνακα με το γράμμα C. Υπολογίστε τα στοιχεία του:

• c₁₁=2 × 4 + 3 × 1=11;
• c₁₂=2 × 5 + 3 × 2=16;
• c₂₁=1 × 4 + 1 × 1=5;
• c₂₂=1 × 5 + 1 × 2=7.

Βήμα τρίτο. Υπολογίστε την ορίζουσα για το C: det C=11 × 7 – 16 × 5=–3. Συγκρίνετε με την τιμή που θα μπορούσε να ληφθεί πολλαπλασιάζοντας τις ορίζουσες των αρχικών πινάκων. Οι αριθμοί είναι ίδιοι. Το παραπάνω θεώρημα είναι αληθές.

Κατάταξη προϊόντος

Η κατάταξη ενός πίνακα είναι ένα χαρακτηριστικό που αντικατοπτρίζει τον μέγιστο αριθμό γραμμικά ανεξάρτητων σειρών ή στηλών. Για τον υπολογισμό της κατάταξης, πραγματοποιούνται στοιχειώδεις μετασχηματισμοί του πίνακα:

• αναδιάταξη δύο παράλληλων σειρών;
• πολλαπλασιασμός όλων των στοιχείων μιας συγκεκριμένης γραμμής από τον πίνακα με έναν μη μηδενικό αριθμό;
• προσθήκη στα στοιχεία μιας σειράς στοιχείων από μια άλλη σειρά, πολλαπλασιαζόμενη με έναν συγκεκριμένο αριθμό.

Μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, δείτε τον αριθμό των μη μηδενικών συμβολοσειρών. Ο αριθμός τους είναι η κατάταξη του πίνακα. Εξετάστε το προηγούμενο παράδειγμα. Παρουσίασε 2 πίνακες: A με στοιχεία a₁₁=2, a₁₂=3, a₂₁=1 και a₂₂ =1 και B με στοιχεία b₁₁=4, b₁₂=5, b21_{=1 και b}22_{=2. Θα χρησιμοποιήσουμε επίσης τον πίνακα C που προκύπτει ως αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού. Εάν πραγματοποιήσουμε στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, τότε δεν θα υπάρχουν μηδενικές σειρές στους απλοποιημένους πίνακες. Αυτό σημαίνει ότι τόσο η κατάταξη του πίνακα Α, όσο και η κατάταξη του πίνακα Β, και η κατάταξηο πίνακας C είναι 2.}

Τώρα ας δώσουμε ιδιαίτερη προσοχή στην κατάταξη του γινομένου των πινάκων. Υπάρχει ένα θεώρημα που λέει ότι η κατάταξη ενός γινομένου πινάκων που περιέχουν αριθμητικά στοιχεία δεν υπερβαίνει την κατάταξη κανενός από τους παράγοντες. Αυτό μπορεί να αποδειχθεί. Έστω A ένας πίνακας k × s και B ένας πίνακας s × m. Το γινόμενο των Α και Β ισούται με C.

Ας μελετήσουμε την παραπάνω εικόνα. Δείχνει την πρώτη στήλη του πίνακα C και τον απλοποιημένο συμβολισμό του. Αυτή η στήλη είναι ένας γραμμικός συνδυασμός των στηλών που περιλαμβάνονται στον πίνακα A. Ομοίως, μπορούμε να πούμε για οποιαδήποτε άλλη στήλη από τον ορθογώνιο πίνακα C. Έτσι, ο υποχώρος που σχηματίζεται από τα διανύσματα στηλών του πίνακα C βρίσκεται στον υποχώρο που σχηματίζεται από το διανύσματα στήλης του πίνακα Α. Επομένως, η διάσταση του υποχώρου Νο. 1 δεν υπερβαίνει τη διάσταση του υποχώρου Νο. 2. Αυτό σημαίνει ότι η κατάταξη στις στήλες του πίνακα Γ δεν υπερβαίνει την κατάταξη στις στήλες του πίνακα Α, δηλ. r(C) ≦ r(A). Αν επιχειρηματολογήσουμε με παρόμοιο τρόπο, τότε μπορούμε να βεβαιωθούμε ότι οι σειρές του πίνακα C είναι γραμμικοί συνδυασμοί των σειρών του πίνακα Β. Αυτό συνεπάγεται την ανισότητα r(C) ≦ r(B).

Το πώς να βρείτε το γινόμενο των πινάκων είναι ένα αρκετά περίπλοκο θέμα. Μπορεί να κατακτηθεί εύκολα, αλλά για να επιτύχετε ένα τέτοιο αποτέλεσμα, θα πρέπει να αφιερώσετε πολύ χρόνο στην απομνημόνευση όλων των υπαρχόντων κανόνων και θεωρημάτων.