Η μελέτη της θεωρίας των πιθανοτήτων ξεκινά με την επίλυση προβλημάτων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων. Αξίζει να αναφέρουμε αμέσως ότι κατά την κυριαρχία αυτού του γνωστικού πεδίου, ένας μαθητής μπορεί να αντιμετωπίσει ένα πρόβλημα: εάν οι φυσικές ή χημικές διεργασίες μπορούν να αναπαρασταθούν οπτικά και να κατανοηθούν εμπειρικά, τότε το επίπεδο της μαθηματικής αφαίρεσης είναι πολύ υψηλό και η κατανόηση εδώ έρχεται μόνο με εμπειρία.
Ωστόσο, το παιχνίδι αξίζει το κερί, γιατί οι τύποι - τόσο που εξετάζονται σε αυτό το άρθρο όσο και πιο περίπλοκοι - χρησιμοποιούνται παντού σήμερα και μπορεί κάλλιστα να είναι χρήσιμοι στην εργασία.
Origin
Περίεργα, η ώθηση για την ανάπτυξη αυτού του τμήματος των μαθηματικών ήταν… ο τζόγος. Πράγματι, τα ζάρια, η ρίψη νομίσματος, το πόκερ, η ρουλέτα είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα που χρησιμοποιούν πρόσθεση και πολλαπλασιασμό πιθανοτήτων. Στο παράδειγμα των εργασιών σε οποιοδήποτε εγχειρίδιο, αυτό μπορεί να φανεί καθαρά. Οι άνθρωποι ενδιαφέρθηκαν να μάθουν πώς να αυξάνουν τις πιθανότητές τους να κερδίσουν, και πρέπει να πω ότι κάποιοι τα κατάφεραν.
Για παράδειγμα, ήδη στον 21ο αιώνα, ένα άτομο, του οποίου το όνομα δεν θα αποκαλύψουμε,χρησιμοποίησε αυτή τη γνώση που συσσωρεύτηκε με τους αιώνες για να «καθαρίσει» κυριολεκτικά το καζίνο, κερδίζοντας αρκετές δεκάδες εκατομμύρια δολάρια στη ρουλέτα.
Ωστόσο, παρά το αυξημένο ενδιαφέρον για το θέμα, μόλις τον 20ο αιώνα αναπτύχθηκε ένα θεωρητικό πλαίσιο που έκανε τον «θεωρητή» ένα πλήρες συστατικό των μαθηματικών. Σήμερα, σχεδόν σε οποιαδήποτε επιστήμη, μπορείτε να βρείτε υπολογισμούς χρησιμοποιώντας πιθανολογικές μεθόδους.
Εφαρμογή
Σημαντικό σημείο κατά τη χρήση τύπων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, η υπό όρους πιθανότητα είναι η ικανοποίηση του κεντρικού οριακού θεωρήματος. Διαφορετικά, αν και μπορεί να μην γίνει αντιληπτό από τον μαθητή, όλοι οι υπολογισμοί, όσο εύλογο και αν φαίνονται, θα είναι λανθασμένοι.
Ναι, ο μαθητής με υψηλά κίνητρα μπαίνει στον πειρασμό να χρησιμοποιήσει νέες γνώσεις με κάθε ευκαιρία. Αλλά σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει κανείς να επιβραδύνει λίγο και να περιγράψει αυστηρά το πεδίο εφαρμογής.
Η θεωρία πιθανοτήτων ασχολείται με τυχαία γεγονότα, τα οποία εμπειρικά είναι τα αποτελέσματα πειραμάτων: μπορούμε να κυλήσουμε ένα ζάρι έξι όψεων, να τραβήξουμε ένα φύλλο από μια τράπουλα, να προβλέψουμε τον αριθμό των ελαττωματικών μερών σε μια παρτίδα. Ωστόσο, σε ορισμένες ερωτήσεις είναι κατηγορηματικά αδύνατο να χρησιμοποιηθούν τύποι από αυτήν την ενότητα των μαθηματικών. Θα συζητήσουμε τα χαρακτηριστικά της εξέτασης των πιθανοτήτων ενός γεγονότος, τα θεωρήματα της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού των γεγονότων στο τέλος του άρθρου, αλλά προς το παρόν ας στραφούμε σε παραδείγματα.
Βασικές έννοιες
Ένα τυχαίο συμβάν σημαίνει κάποια διαδικασία ή αποτέλεσμα που μπορεί να εμφανιστεί ή να μην εμφανιστείως αποτέλεσμα του πειράματος. Για παράδειγμα, πετάμε ένα σάντουιτς - μπορεί να πέσει το βούτυρο πάνω ή το βούτυρο κάτω. Οποιοδήποτε από τα δύο αποτελέσματα θα είναι τυχαία και δεν γνωρίζουμε εκ των προτέρων ποιο από αυτά θα πραγματοποιηθεί.
Όταν μελετάμε την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων, χρειαζόμαστε δύο ακόμη έννοιες.
Κοινά συμβάντα είναι εκείνα τα γεγονότα, η εμφάνιση του ενός από τα οποία δεν αποκλείει την εμφάνιση του άλλου. Ας υποθέσουμε ότι δύο άνθρωποι πυροβολούν ταυτόχρονα έναν στόχο. Εάν ένας από αυτούς πυροδοτήσει μια επιτυχημένη βολή, δεν θα επηρεάσει την ικανότητα του άλλου να χτυπήσει ή να αστοχήσει.
Ασυνεπή θα είναι τέτοια γεγονότα, η εμφάνιση των οποίων είναι ταυτόχρονα αδύνατη. Για παράδειγμα, τραβώντας μόνο μία μπάλα έξω από το κουτί, δεν μπορείτε να πάρετε και μπλε και κόκκινο ταυτόχρονα.
Ονομασία
Η έννοια της πιθανότητας υποδηλώνεται με το λατινικό κεφαλαίο γράμμα P. Στη συνέχεια μέσα σε αγκύλες υπάρχουν ορίσματα που δηλώνουν ορισμένα γεγονότα.
Στους τύπους του θεωρήματος πρόσθεσης, πιθανοτήτων υπό όρους, θεωρήματος πολλαπλασιασμού, θα δείτε εκφράσεις σε αγκύλες, για παράδειγμα: A+B, AB ή A|B. Θα υπολογιστούν με διάφορους τρόπους, τώρα θα στραφούμε σε αυτούς.
Προσθήκη
Ας εξετάσουμε περιπτώσεις όπου χρησιμοποιούνται τύποι πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού.
Για ασύμβατα συμβάντα, ο απλούστερος τύπος πρόσθεσης είναι σχετικός: η πιθανότητα οποιουδήποτε από τα τυχαία αποτελέσματα θα είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων καθενός από αυτά τα αποτελέσματα.
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα κουτί με 2 μπλε, 3 κόκκινα και 5 κίτρινα μπαλόνια. Υπάρχουν 10 αντικείμενα συνολικά στο κουτί. Ποιο είναι το ποσοστό της αλήθειας της δήλωσης ότι θα σχεδιάσουμε μπλε ή κόκκινη μπάλα; Θα είναι ίσο με 2/10 + 3/10, δηλαδή πενήντα τοις εκατό.
Σε περίπτωση μη συμβατών συμβάντων, ο τύπος γίνεται πιο περίπλοκος, αφού προστίθεται ένας επιπλέον όρος. Θα επιστρέψουμε σε αυτό σε μια παράγραφο, αφού εξετάσουμε έναν ακόμη τύπο.
Πολλαπλασιασμός
Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων ανεξάρτητων γεγονότων χρησιμοποιούνται σε διαφορετικές περιπτώσεις. Εάν, σύμφωνα με την συνθήκη του πειράματος, είμαστε ικανοποιημένοι με ένα από τα δύο πιθανά αποτελέσματα, θα υπολογίσουμε το άθροισμα. αν θέλουμε να έχουμε δύο συγκεκριμένα αποτελέσματα το ένα μετά το άλλο, θα καταφύγουμε στη χρήση διαφορετικού τύπου.
Επιστρέφοντας στο παράδειγμα από την προηγούμενη ενότητα, θέλουμε να σχεδιάσουμε πρώτα την μπλε μπάλα και μετά την κόκκινη. Ο πρώτος αριθμός που γνωρίζουμε είναι 2/10. Τι συμβαίνει μετά? Απομένουν 9 μπάλες, υπάρχουν ακόμα οι ίδιοι κόκκινες - τρία κομμάτια. Σύμφωνα με τους υπολογισμούς, παίρνετε 3/9 ή 1/3. Τι να κάνουμε όμως τώρα με δύο αριθμούς; Η σωστή απάντηση είναι να πολλαπλασιάσετε για να πάρετε 2/30.
Κοινές εκδηλώσεις
Τώρα μπορούμε να επανεξετάσουμε τον τύπο αθροίσματος για κοινά συμβάντα. Γιατί ξεφεύγουμε από το θέμα; Για να μάθετε πώς πολλαπλασιάζονται οι πιθανότητες. Τώρα αυτή η γνώση θα σας φανεί χρήσιμη.
Ξέρουμε ήδη ποιοι θα είναι οι δύο πρώτοι όροι (όπως και στον τύπο πρόσθεσης που εξετάστηκε προηγουμένως), τώρα πρέπει να αφαιρέσουμετο γινόμενο των πιθανοτήτων που μόλις μάθαμε να υπολογίζουμε. Για λόγους σαφήνειας, γράφουμε τον τύπο: P (A + B) u003d P (A) + P (B) - P (AB). Αποδεικνύεται ότι τόσο η πρόσθεση όσο και ο πολλαπλασιασμός των πιθανοτήτων χρησιμοποιούνται σε μία έκφραση.
Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να λύσουμε ένα από τα δύο προβλήματα για να λάβουμε πίστωση. Μπορούμε να λύσουμε το πρώτο με πιθανότητα 0,3 και το δεύτερο - 0,6. Λύση: 0,3 + 0,6 - 0,18=0,72. Σημειώστε ότι η απλή άθροιση των αριθμών εδώ δεν θα είναι αρκετή.
Πιθανότητα υπό όρους
Τέλος, υπάρχει η έννοια της υπό όρους πιθανότητας, τα ορίσματα της οποίας υποδεικνύονται σε αγκύλες και χωρίζονται με μια κάθετη γραμμή. Η καταχώρηση P(A|B) έχει ως εξής: "πιθανότητα του γεγονότος A δεδομένο γεγονός B".
Ας δούμε ένα παράδειγμα: ένας φίλος σας δίνει μια συσκευή, ας είναι τηλέφωνο. Μπορεί να είναι σπασμένο (20%) ή καλό (80%). Μπορείτε να επισκευάσετε οποιαδήποτε συσκευή πέσει στα χέρια σας με πιθανότητα 0,4 ή δεν μπορείτε να το κάνετε (0,6). Τέλος, εάν η συσκευή είναι σε κατάσταση λειτουργίας, μπορείτε να φτάσετε στο σωστό άτομο με πιθανότητα 0,7.
Είναι εύκολο να δείτε πώς λειτουργεί η υπό όρους πιθανότητα σε αυτήν την περίπτωση: δεν μπορείτε να επικοινωνήσετε με ένα άτομο εάν το τηλέφωνο είναι χαλασμένο και αν είναι καλό, δεν χρειάζεται να το επισκευάσετε. Έτσι, για να έχετε αποτελέσματα στο "δεύτερο επίπεδο", πρέπει να γνωρίζετε ποιο συμβάν εκτελέστηκε στο πρώτο.
Υπολογισμοί
Ας εξετάσουμε παραδείγματα επίλυσης προβλημάτων πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων, χρησιμοποιώντας τα δεδομένα της προηγούμενης παραγράφου.
Πρώτα, ας βρούμε την πιθανότητα ότι εσείςεπισκευάστε τη συσκευή που σας δόθηκε. Για να γίνει αυτό, πρώτον, πρέπει να είναι ελαττωματικό και, δεύτερον, πρέπει να αντιμετωπίσετε την επισκευή. Αυτό είναι ένα τυπικό πρόβλημα πολλαπλασιασμού: παίρνουμε 0,20,4=0,08.
Ποια είναι η πιθανότητα να φτάσεις αμέσως στο σωστό άτομο; Πιο εύκολο από απλό: 0,80,7=0,56. Σε αυτήν την περίπτωση, διαπιστώσατε ότι το τηλέφωνο λειτουργεί και πραγματοποιήσατε μια κλήση με επιτυχία.
Τέλος, σκεφτείτε αυτό το σενάριο: λάβατε ένα χαλασμένο τηλέφωνο, το επιδιορθώσατε, μετά καλέσατε τον αριθμό και το άτομο στο απέναντι άκρο απάντησε στο τηλέφωνο. Εδώ, απαιτείται ήδη ο πολλαπλασιασμός τριών συνιστωσών: 0, 20, 40, 7=0, 056.
Και τι γίνεται αν έχετε δύο τηλέφωνα που δεν λειτουργούν ταυτόχρονα; Πόσο πιθανό είναι να διορθώσετε τουλάχιστον ένα από αυτά; Πρόκειται για πρόβλημα πρόσθεσης και πολλαπλασιασμού των πιθανοτήτων, αφού χρησιμοποιούνται κοινά συμβάντα. Λύση: 0, 4 + 0, 4 - 0, 40, 4=0, 8 - 0, 16=0, 64.
Προσεκτική χρήση
Όπως αναφέρθηκε στην αρχή του άρθρου, η χρήση της θεωρίας πιθανοτήτων πρέπει να είναι σκόπιμη και συνειδητή.
Όσο μεγαλύτερη είναι η σειρά των πειραμάτων, τόσο πιο κοντά η θεωρητικά προβλεπόμενη τιμή προσεγγίζει την πρακτική. Για παράδειγμα, πετάμε ένα νόμισμα. Θεωρητικά, γνωρίζοντας την ύπαρξη τύπων για πρόσθεση και πολλαπλασιασμό των πιθανοτήτων, μπορούμε να προβλέψουμε πόσες φορές θα πέσουν τα κεφάλια και οι ουρές αν κάνουμε το πείραμα 10 φορές. Κάναμε ένα πείραμα καιΣυμπτωματικά, η αναλογία των πλευρών που έπεσαν ήταν 3 προς 7. Αλλά αν πραγματοποιήσετε μια σειρά 100, 1000 ή περισσότερων προσπαθειών, αποδεικνύεται ότι το γράφημα κατανομής πλησιάζει ολοένα και περισσότερο στο θεωρητικό: 44 έως 56, 482 έως 518 και ούτω καθεξής.
Τώρα φανταστείτε ότι αυτό το πείραμα δεν πραγματοποιείται με νόμισμα, αλλά με την παραγωγή κάποιας νέας χημικής ουσίας, την πιθανότητα της οποίας δεν γνωρίζουμε. Θα εκτελούσαμε 10 πειράματα και, αν δεν είχαμε ένα επιτυχημένο αποτέλεσμα, θα μπορούσαμε να γενικεύσουμε: «η ουσία δεν μπορεί να ληφθεί». Αλλά ποιος ξέρει, αν κάναμε την ενδέκατη προσπάθεια, θα είχαμε φτάσει στον στόχο ή όχι;
Έτσι, αν πηγαίνετε στο άγνωστο, το ανεξερεύνητο βασίλειο, η θεωρία των πιθανοτήτων μπορεί να μην ισχύει. Κάθε επόμενη προσπάθεια σε αυτήν την περίπτωση μπορεί να είναι επιτυχής και γενικεύσεις όπως "X δεν υπάρχει" ή "X είναι αδύνατο" θα είναι πρόωρες.
Κλείσιμο λέξη
Έχουμε λοιπόν εξετάσει δύο τύπους πρόσθεσης, τον πολλαπλασιασμό και τις πιθανότητες υπό όρους. Με περαιτέρω μελέτη αυτής της περιοχής, είναι απαραίτητο να μάθουμε να διακρίνουμε καταστάσεις όταν χρησιμοποιείται κάθε συγκεκριμένος τύπος. Επιπλέον, πρέπει να κατανοήσετε εάν οι πιθανολογικές μέθοδοι είναι γενικά εφαρμόσιμες για την επίλυση του προβλήματός σας.
Αν εξασκηθείτε, μετά από λίγο θα αρχίσετε να πραγματοποιείτε όλες τις απαιτούμενες λειτουργίες αποκλειστικά στο μυαλό σας. Για όσους αγαπούν τα παιχνίδια με κάρτες, αυτή η ικανότητα μπορεί να εξεταστείεξαιρετικά πολύτιμο - θα αυξήσετε σημαντικά τις πιθανότητές σας να κερδίσετε, απλά υπολογίζοντας την πιθανότητα να πέσει έξω ένα συγκεκριμένο φύλλο ή κοστούμι. Ωστόσο, η αποκτηθείσα γνώση μπορεί εύκολα να εφαρμοστεί σε άλλους τομείς δραστηριότητας.
