Είναι απίθανο πολλοί άνθρωποι να σκεφτούν αν είναι δυνατό να υπολογιστούν γεγονότα που είναι λίγο πολύ τυχαία. Με απλά λόγια, είναι ρεαλιστικό να γνωρίζουμε ποια πλευρά του ζαριού θα πέσει στη συνέχεια. Ήταν αυτό το ερώτημα που έθεσαν δύο μεγάλοι επιστήμονες, οι οποίοι έθεσαν τα θεμέλια για μια τέτοια επιστήμη όπως η θεωρία των πιθανοτήτων, στην οποία η πιθανότητα ενός γεγονότος μελετάται αρκετά εκτενώς.
Προέλευση
Αν προσπαθήσετε να ορίσετε μια τέτοια έννοια ως θεωρία πιθανοτήτων, λαμβάνετε τα εξής: αυτός είναι ένας από τους κλάδους των μαθηματικών που μελετά τη σταθερότητα των τυχαίων γεγονότων. Φυσικά, αυτή η ιδέα δεν αποκαλύπτει πραγματικά ολόκληρη την ουσία, επομένως είναι απαραίτητο να το εξετάσουμε λεπτομερέστερα.
Θα ήθελα να ξεκινήσω με τους δημιουργούς της θεωρίας. Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, ήταν δύο από αυτούς, αυτοί είναι ο Pierre Fermat και ο Blaise Pascal. Ήταν αυτοί που ήταν από τους πρώτους που προσπάθησαν να υπολογίσουν το αποτέλεσμα ενός γεγονότος χρησιμοποιώντας τύπους και μαθηματικούς υπολογισμούς. Σε γενικές γραμμές, τα βασικά στοιχεία αυτής της επιστήμης εμφανίστηκαν ήδηΜεσαίωνας. Εκείνη την εποχή, διάφοροι στοχαστές και επιστήμονες προσπάθησαν να αναλύσουν τον τζόγο, όπως η ρουλέτα, τα ζάρια και ούτω καθεξής, καθορίζοντας έτσι ένα μοτίβο και το ποσοστό ενός συγκεκριμένου αριθμού που πέφτει έξω. Τα θεμέλια τέθηκαν τον δέκατο έβδομο αιώνα από τους προαναφερθέντες επιστήμονες.
Αρχικά, το έργο τους δεν μπορούσε να αποδοθεί στα μεγάλα επιτεύγματα σε αυτόν τον τομέα, γιατί ό,τι έκαναν ήταν απλώς εμπειρικά γεγονότα και τα πειράματα ρυθμίστηκαν οπτικά, χωρίς τη χρήση τύπων. Με τον καιρό, αποδείχθηκε ότι πέτυχε εξαιρετικά αποτελέσματα, τα οποία εμφανίστηκαν ως αποτέλεσμα της παρατήρησης της ρίψης ζαριών. Ήταν αυτό το εργαλείο που βοήθησε στην εξαγωγή των πρώτων κατανοητών τύπων.
Συνεργάτες
Είναι αδύνατο να μην αναφέρουμε ένα τέτοιο άτομο όπως ο Christian Huygens, στη διαδικασία μελέτης ενός θέματος που ονομάζεται "θεωρία πιθανοτήτων" (η πιθανότητα ενός γεγονότος καλύπτεται ακριβώς σε αυτήν την επιστήμη). Αυτό το άτομο είναι πολύ ενδιαφέρον. Αυτός, όπως και οι επιστήμονες που παρουσιάστηκαν παραπάνω, προσπάθησε να αντλήσει την κανονικότητα των τυχαίων γεγονότων με τη μορφή μαθηματικών τύπων. Αξιοσημείωτο είναι ότι δεν το έκανε αυτό μαζί με τον Πασκάλ και τον Φερμά, δηλαδή όλα του τα έργα δεν διασταυρώθηκαν σε καμία περίπτωση με αυτά τα μυαλά. Ο Huygens εξήγαγε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων.
Ένα ενδιαφέρον γεγονός είναι ότι το έργο του βγήκε πολύ πριν από τα αποτελέσματα της δουλειάς των πρωτοπόρων, ή μάλλον, είκοσι χρόνια νωρίτερα. Μεταξύ των καθορισμένων εννοιών, οι πιο διάσημες είναι:
- η έννοια της πιθανότητας ως μέγεθος της τύχης;
- προσδοκία για διακριτήπεριπτώσεις;
- θεωρήματα πολλαπλασιασμού και πρόσθεσης πιθανοτήτων.
Είναι επίσης αδύνατο να μην θυμηθούμε τον Jacob Bernoulli, ο οποίος επίσης συνέβαλε σημαντικά στη μελέτη του προβλήματος. Πραγματοποιώντας τις δικές του δοκιμές, ανεξάρτητα από τον καθένα, κατάφερε να παρουσιάσει μια απόδειξη του νόμου των μεγάλων αριθμών. Με τη σειρά τους, οι επιστήμονες Poisson και Laplace, που εργάστηκαν στις αρχές του δέκατου ένατου αιώνα, μπόρεσαν να αποδείξουν τα αρχικά θεωρήματα. Ήταν από αυτή τη στιγμή που η θεωρία πιθανοτήτων άρχισε να χρησιμοποιείται για την ανάλυση σφαλμάτων κατά τη διάρκεια των παρατηρήσεων. Οι Ρώσοι επιστήμονες, ή μάλλον οι Markov, Chebyshev και Dyapunov, δεν μπορούσαν να παρακάμψουν ούτε αυτή την επιστήμη. Με βάση τη δουλειά που έκαναν οι μεγάλες ιδιοφυΐες, καθόρισαν αυτό το θέμα ως κλάδο των μαθηματικών. Αυτά τα στοιχεία λειτουργούσαν ήδη στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα, και χάρη στη συμβολή τους, φαινόμενα όπως:
- νόμος των μεγάλων αριθμών;
- θεωρία της αλυσίδας Markov;
- θεώρημα κεντρικού ορίου.
Έτσι, με την ιστορία της γέννησης της επιστήμης και με τους κύριους ανθρώπους που την επηρέασαν, όλα είναι λίγο πολύ ξεκάθαρα. Τώρα ήρθε η ώρα να συγκεκριμενοποιήσουμε όλα τα γεγονότα.
Βασικές έννοιες
Πριν αγγίξουμε τους νόμους και τα θεωρήματα, αξίζει να μελετήσουμε τις βασικές έννοιες της θεωρίας πιθανοτήτων. Η εκδήλωση παίρνει τον πρωταγωνιστικό ρόλο σε αυτήν. Αυτό το θέμα είναι αρκετά ογκώδες, αλλά χωρίς αυτό δεν θα είναι δυνατό να κατανοήσουμε όλα τα άλλα.
Συμβάν στη θεωρία πιθανοτήτων είναι οποιοδήποτε σύνολο αποτελεσμάτων ενός πειράματος. Δεν υπάρχουν τόσες πολλές έννοιες αυτού του φαινομένου. Λοιπόν, ο επιστήμονας Lotman,δουλεύοντας σε αυτόν τον τομέα, είπε ότι σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για κάτι που "συνέβη, αν και μπορεί να μην είχε συμβεί."
Τυχαία γεγονότα (η θεωρία πιθανοτήτων δίνει ιδιαίτερη προσοχή σε αυτά) είναι μια έννοια που υπονοεί απολύτως κάθε φαινόμενο που έχει την ικανότητα να συμβεί. Ή, αντίθετα, αυτό το σενάριο μπορεί να μην συμβεί όταν πληρούνται πολλές προϋποθέσεις. Αξίζει επίσης να γνωρίζουμε ότι είναι τυχαία γεγονότα που καταγράφουν ολόκληρο τον όγκο των φαινομένων που έχουν συμβεί. Η θεωρία πιθανοτήτων δείχνει ότι όλες οι συνθήκες μπορούν να επαναλαμβάνονται συνεχώς. Ήταν η συμπεριφορά τους που ονομαζόταν «εμπειρία» ή «δοκιμή».
Ένα συγκεκριμένο γεγονός είναι αυτό που θα συμβεί 100% σε ένα δεδομένο τεστ. Κατά συνέπεια, ένα αδύνατο γεγονός είναι αυτό που δεν θα συμβεί.
Ο συνδυασμός ενός ζεύγους ενεργειών (συμβατικά περίπτωση Α και περίπτωση Β) είναι ένα φαινόμενο που συμβαίνει ταυτόχρονα. Ορίζονται ως AB.
Το άθροισμα των ζευγών των γεγονότων Α και Β είναι C, με άλλα λόγια, εάν τουλάχιστον ένα από αυτά συμβεί (Α ή Β), τότε θα προκύψει το C. Ο τύπος του περιγραφόμενου φαινομένου γράφεται ως εξής: C=A + B.
Τα ασύνδετα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων υποδηλώνουν ότι δύο περιπτώσεις αλληλοαποκλείονται. Δεν μπορούν ποτέ να συμβούν ταυτόχρονα. Τα κοινά γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι ο αντίποδός τους. Αυτό σημαίνει ότι εάν το Α συνέβη, τότε δεν παρεμβαίνει στο Β.
Τα αντίθετα γεγονότα (η θεωρία πιθανοτήτων τα αντιμετωπίζει με μεγάλη λεπτομέρεια) είναι εύκολα κατανοητά. Είναι καλύτερο να τα αντιμετωπίζετε σε σύγκριση. Είναι σχεδόν τα ίδια μεκαι ασυμβίβαστα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων. Αλλά η διαφορά τους έγκειται στο γεγονός ότι ένα από τα πολλά φαινόμενα πρέπει να συμβεί ούτως ή άλλως.
Ισοδύναμα γεγονότα είναι εκείνες οι ενέργειες των οποίων η πιθανότητα είναι ίση. Για να το κάνουμε πιο σαφές, μπορούμε να φανταστούμε την ρίψη ενός νομίσματος: η πτώση της μιας από τις πλευρές του είναι εξίσου πιθανό να πέσει και της άλλης.
Το ευοίωνο συμβάν είναι ευκολότερο να το δεις με ένα παράδειγμα. Ας πούμε ότι υπάρχει το επεισόδιο Β και το επεισόδιο Α. Το πρώτο είναι η ρίψη των ζαριών με την εμφάνιση ενός περιττού αριθμού και το δεύτερο είναι η εμφάνιση του αριθμού πέντε στο ζάρι. Τότε αποδεικνύεται ότι ο Α ευνοεί τον Β.
Ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων προβάλλονται μόνο σε δύο ή περισσότερες περιπτώσεις και υποδηλώνουν την ανεξαρτησία οποιασδήποτε ενέργειας από μια άλλη. Για παράδειγμα, το Α είναι η απώλεια της ουράς όταν πετιέται ένα νόμισμα και το Β είναι το τράβηγμα ενός γρύλου από την τράπουλα. Είναι ανεξάρτητα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων. Με αυτή τη στιγμή έγινε πιο ξεκάθαρο.
Τα εξαρτημένα γεγονότα στη θεωρία πιθανοτήτων είναι επίσης αποδεκτά μόνο για το σύνολο τους. Υπονοούν την εξάρτηση του ενός από το άλλο, δηλαδή το φαινόμενο Β μπορεί να συμβεί μόνο εάν το Α έχει ήδη συμβεί ή, αντίθετα, δεν έχει συμβεί, όταν αυτή είναι η κύρια προϋπόθεση για το Β.
Το αποτέλεσμα ενός τυχαίου πειράματος που αποτελείται από ένα συστατικό είναι στοιχειώδη γεγονότα. Η θεωρία πιθανοτήτων εξηγεί ότι αυτό είναι ένα φαινόμενο που συνέβη μόνο μία φορά.
Βασικοί τύποι
Έτσι, οι έννοιες του "γεγονότος", "θεωρία πιθανοτήτων",δόθηκε και ο ορισμός των βασικών όρων αυτής της επιστήμης. Τώρα ήρθε η ώρα να εξοικειωθείτε άμεσα με τις σημαντικές φόρμουλες. Αυτές οι εκφράσεις επιβεβαιώνουν μαθηματικά όλες τις κύριες έννοιες σε ένα τόσο δύσκολο θέμα όπως η θεωρία πιθανοτήτων. Η πιθανότητα ενός συμβάντος παίζει επίσης τεράστιο ρόλο εδώ.
Καλύτερα ξεκινήστε με τους βασικούς τύπους της συνδυαστικής. Και πριν προχωρήσετε σε αυτά, αξίζει να σκεφτείτε τι είναι.
Η Συνδυαστική είναι κυρίως κλάδος των μαθηματικών, ασχολείται με τη μελέτη ενός τεράστιου αριθμού ακεραίων, καθώς και με διάφορες μεταθέσεις τόσο των ίδιων των αριθμών όσο και των στοιχείων τους, διάφορα δεδομένα κ.λπ., που οδηγούν στην εμφάνιση έναν αριθμό συνδυασμών. Εκτός από τη θεωρία πιθανοτήτων, αυτός ο κλάδος είναι σημαντικός για τη στατιστική, την επιστήμη των υπολογιστών και την κρυπτογραφία.
Έτσι τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στην παρουσίαση των ίδιων των τύπων και στον ορισμό τους.
Η πρώτη θα είναι η έκφραση για τον αριθμό των μεταθέσεων, μοιάζει με αυτό:
P_n=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n - 2)…3 ⋅ 2 ⋅ 1=n!
Η εξίσωση ισχύει μόνο εάν τα στοιχεία διαφέρουν μόνο με τη σειρά.
Τώρα θα ληφθεί υπόψη ο τύπος τοποθέτησης, μοιάζει με αυτό:
A_n^m=n ⋅ (n - 1) ⋅ (n-2) ⋅ … ⋅ (n - m + 1)=n!: (n - m)!
Αυτή η έκφραση ισχύει όχι μόνο για τη σειρά του στοιχείου, αλλά και για τη σύνθεσή του.
Η τρίτη εξίσωση από τη συνδυαστική, και είναι επίσης η τελευταία, ονομάζεται τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών:
C_n^m=n !: ((n -Μ))!:m !
Οι συνδυασμοί είναι επιλογές που δεν είναι ταξινομημένες, αντίστοιχα, και αυτός ο κανόνας ισχύει για αυτούς.
Αποδείχθηκε ότι ήταν εύκολο να καταλάβουμε τους τύπους της συνδυαστικής, τώρα μπορούμε να προχωρήσουμε στον κλασικό ορισμό των πιθανοτήτων. Αυτή η έκφραση μοιάζει με αυτό:
P(A)=m: n.
Σε αυτόν τον τύπο, m είναι ο αριθμός των ευνοϊκών συνθηκών για το συμβάν Α και n είναι ο αριθμός απολύτως όλων των εξίσου δυνατών και στοιχειωδών αποτελεσμάτων.
Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός εκφράσεων, το άρθρο δεν θα τις καλύψει όλες, αλλά θα θιγούν οι πιο σημαντικές από αυτές, όπως, για παράδειγμα, η πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων:
P(A + B)=P(A) + P(B) - αυτό το θεώρημα είναι για την προσθήκη μόνο ασυμβίβαστων γεγονότων;
P(A + B)=P(A) + P(B) - P(AB) - και αυτό είναι για την προσθήκη μόνο συμβατών.
Πιθανότητα παραγωγής συμβάντων:
P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B) – αυτό το θεώρημα είναι για ανεξάρτητα γεγονότα;
(P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(B∣A); P(A ⋅ B)=P(A) ⋅ P(A∣B)) - και αυτό είναι για εξαρτημένοι.
Ο τύπος συμβάντος τερματίζει τη λίστα. Η θεωρία πιθανοτήτων μας λέει για το θεώρημα του Bayes, το οποίο μοιάζει με αυτό:
P(H_m∣A)=(P(H_m)P(A∣H_m)): (∑_(k=1)^n P(H_k)P(A∣H_k)), m=1, …, n
Σε αυτόν τον τύπο, H1, H2, …, H είναι το πλήρη ομάδα υποθέσεων.
Ας σταματήσουμε εδώ, τότε θα ληφθούν υπόψη παραδείγματα εφαρμογής τύπων για την επίλυση συγκεκριμένων προβλημάτων από την πρακτική.
Παραδείγματα
Εάν μελετήσετε προσεκτικά οποιαδήποτε ενότηταμαθηματικά, δεν κάνει χωρίς ασκήσεις και δείγματα λύσεων. Το ίδιο και η θεωρία των πιθανοτήτων: τα γεγονότα, τα παραδείγματα εδώ είναι ένα αναπόσπαστο στοιχείο που επιβεβαιώνει τους επιστημονικούς υπολογισμούς.
Τύπος για τον αριθμό των μεταθέσεων
Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν τριάντα φύλλα σε μια τράπουλα, ξεκινώντας από την ονομαστική αξία ένα. Επόμενη ερώτηση. Πόσοι τρόποι υπάρχουν για να στοιβάζετε την τράπουλα έτσι ώστε τα φύλλα με ονομαστική αξία ένα και δύο να μην βρίσκονται το ένα δίπλα στο άλλο;
Η εργασία έχει οριστεί, τώρα ας προχωρήσουμε στην επίλυσή της. Πρώτα πρέπει να προσδιορίσετε τον αριθμό των μεταθέσεων των τριάντα στοιχείων, για αυτό παίρνουμε τον παραπάνω τύπο, αποδεικνύεται P_30=30!.
Με βάση αυτόν τον κανόνα, θα μάθουμε πόσες επιλογές υπάρχουν για να διπλώσετε την τράπουλα με διαφορετικούς τρόπους, αλλά πρέπει να αφαιρέσουμε από αυτές εκείνες στις οποίες ακολουθεί το πρώτο και το δεύτερο φύλλο. Για να το κάνουμε αυτό, ας ξεκινήσουμε με την επιλογή όταν η πρώτη είναι πάνω από τη δεύτερη. Αποδεικνύεται ότι το πρώτο φύλλο μπορεί να πάρει είκοσι εννέα θέσεις - από το πρώτο έως το εικοστό ένατο, και το δεύτερο φύλλο από το δεύτερο έως το τριακοστό, βγαίνουν είκοσι εννέα θέσεις για ένα ζευγάρι χαρτιών. Με τη σειρά τους, τα υπόλοιπα μπορούν να πάρουν είκοσι οκτώ θέσεις, και με οποιαδήποτε σειρά. Δηλαδή, για μια μετάθεση είκοσι οκτώ φύλλων, υπάρχουν είκοσι οκτώ επιλογές P_28=28!
Σαν αποτέλεσμα, αποδεικνύεται ότι αν σκεφτούμε τη λύση όταν το πρώτο φύλλο είναι πάνω από το δεύτερο, υπάρχουν 29 ⋅ 28 επιπλέον πιθανότητες!=29!
Χρησιμοποιώντας την ίδια μέθοδο, πρέπει να υπολογίσετε τον αριθμό των περιττών επιλογών για την περίπτωση που το πρώτο φύλλο είναι κάτω από το δεύτερο. Βγαίνει επίσης 29 ⋅ 28!=29!
Αποτέλεσμα είναι ότι υπάρχουν 2 ⋅ 29 επιπλέον επιλογές!, ενώ υπάρχουν 30 απαιτούμενοι τρόποι για να φτιάξεις μια τράπουλα! - 2 ⋅ 29!. Μένει μόνο να μετρήσουμε.
30!=29! ⋅ 30; 30!-2⋅29!=29! ⋅ (30 - 2)=29! ⋅ 28
Τώρα πρέπει να πολλαπλασιάσετε όλους τους αριθμούς από το ένα έως το είκοσι εννέα μαζί και, στο τέλος, να πολλαπλασιάσετε τα πάντα με το 28. Η απάντηση είναι 2, 4757335 ⋅〖10〗^32
Λύση του παραδείγματος. Τύπος για τον αριθμό τοποθέτησης
Σε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τοποθετήσετε δεκαπέντε τόμους σε ένα ράφι, αλλά υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν τριάντα τόμοι συνολικά.
Αυτό το πρόβλημα έχει μια ελαφρώς ευκολότερη λύση από το προηγούμενο. Χρησιμοποιώντας τον ήδη γνωστό τύπο, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε τον συνολικό αριθμό τοποθεσιών από τριάντα τόμους των δεκαπέντε.
A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28⋅… ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 … ⋅ 16=202 843 17020 204
Η απάντηση, αντίστοιχα, θα είναι 202 843 204 931 727 360 000.
Τώρα ας κάνουμε το έργο λίγο πιο δύσκολο. Πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τακτοποιήσετε τριάντα βιβλία σε δύο ράφια, με την προϋπόθεση ότι μόνο δεκαπέντε τόμοι μπορούν να βρίσκονται σε ένα ράφι.
Πριν ξεκινήσετε τη λύση, θα ήθελα να διευκρινίσω ότι ορισμένα προβλήματα λύνονται με πολλούς τρόπους, επομένως υπάρχουν δύο τρόποι σε αυτόν, αλλά ο ίδιος τύπος χρησιμοποιείται και στους δύο.
Σε αυτό το πρόβλημα, μπορείτε να πάρετε την απάντηση από το προηγούμενο, γιατί εκεί υπολογίσαμε πόσες φορές μπορείτε να γεμίσετε ένα ράφι με δεκαπέντε βιβλία για-διαφορετικά. Αποδείχθηκε A_30^15=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ … ⋅ (30 - 15 + 1)=30 ⋅ 29 ⋅ 28 ⋅ …⋅ 16.
Θα υπολογίσουμε το δεύτερο ράφι χρησιμοποιώντας τον τύπο μετάθεσης, γιατί σε αυτό τοποθετούνται δεκαπέντε βιβλία, ενώ απομένουν μόνο δεκαπέντε. Χρησιμοποιήστε τον τύπο P_15=15!.
Αποδεικνύεται ότι το σύνολο θα είναι A_30^15 ⋅ P_15 τρόποι, αλλά, επιπλέον, το γινόμενο όλων των αριθμών από το τριάντα έως το δεκαέξι θα πρέπει να πολλαπλασιαστεί με το γινόμενο των αριθμών από το ένα έως το δεκαπέντε, όπως ως αποτέλεσμα, το γινόμενο όλων των αριθμών από το ένα έως το τριάντα, οπότε η απάντηση είναι 30!
Αλλά αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με διαφορετικό τρόπο - ευκολότερο. Για να το κάνετε αυτό, μπορείτε να φανταστείτε ότι υπάρχει ένα ράφι για τριάντα βιβλία. Όλα είναι τοποθετημένα σε αυτό το αεροπλάνο, αλλά επειδή η συνθήκη απαιτεί να υπάρχουν δύο ράφια, κόβουμε ένα μακρύ στη μέση, βγαίνει δύο δεκαπέντε το καθένα. Από αυτό προκύπτει ότι οι επιλογές τοποθέτησης μπορεί να είναι P_30=30!.
Λύση του παραδείγματος. Τύπος για αριθμό συνδυασμού
Τώρα θα εξετάσουμε μια παραλλαγή του τρίτου προβλήματος από τη συνδυαστική. Πρέπει να μάθετε πόσοι τρόποι υπάρχουν για να τακτοποιήσετε δεκαπέντε βιβλία, με την προϋπόθεση ότι πρέπει να επιλέξετε ανάμεσα σε τριάντα απολύτως πανομοιότυπα.
Για τη λύση, φυσικά, θα εφαρμοστεί ο τύπος για τον αριθμό των συνδυασμών. Από τη συνθήκη γίνεται σαφές ότι η σειρά των πανομοιότυπων δεκαπέντε βιβλίων δεν είναι σημαντική. Επομένως, αρχικά πρέπει να μάθετε τον συνολικό αριθμό των συνδυασμών των τριάντα βιβλίων των δεκαπέντε.
C_30^15=30 !: ((30-15)) !: δεκαπέντε!=155 117 520
Αυτό είναι. Χρησιμοποιώντας αυτή τη φόρμουλα, στο συντομότερο δυνατό χρονικό διάστημα ήταν δυνατόλύσει ένα τέτοιο πρόβλημα, η απάντηση, αντίστοιχα, είναι 155 117 520.
Λύση του παραδείγματος. Ο κλασικός ορισμός της πιθανότητας
Με τον παραπάνω τύπο, μπορείτε να βρείτε την απάντηση σε ένα απλό πρόβλημα. Αλλά θα σας βοηθήσει να δείτε και να παρακολουθήσετε οπτικά την πορεία των ενεργειών.
Δίνεται στο πρόβλημα ότι υπάρχουν δέκα απολύτως πανομοιότυπες μπάλες στη λάρνακα. Από αυτά, τέσσερα είναι κίτρινα και έξι είναι μπλε. Μία μπάλα λαμβάνεται από το δοχείο. Πρέπει να μάθετε την πιθανότητα να αποκτήσετε μπλε χρώμα.
Για να λυθεί το πρόβλημα, είναι απαραίτητο να ορίσετε τη λήψη της μπλε μπάλας ως γεγονός Α. Αυτή η εμπειρία μπορεί να έχει δέκα αποτελέσματα, τα οποία, με τη σειρά τους, είναι στοιχειώδη και εξίσου πιθανά. Ταυτόχρονα, από τα δέκα, έξι είναι ευνοϊκά για το γεγονός Α. Λύνουμε σύμφωνα με τον τύπο:
P(A)=6: 10=0, 6
Εφαρμόζοντας αυτόν τον τύπο, ανακαλύψαμε ότι η πιθανότητα να πάρουμε τη μπλε μπάλα είναι 0,6.
Λύση του παραδείγματος. Πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων
Τώρα θα παρουσιαστεί μια παραλλαγή, η οποία λύνεται χρησιμοποιώντας τον τύπο για την πιθανότητα του αθροίσματος των γεγονότων. Έτσι, υπό την προϋπόθεση ότι υπάρχουν δύο κουτιά, το πρώτο περιέχει μία γκρι και πέντε λευκές μπάλες και το δεύτερο περιέχει οκτώ γκρι και τέσσερις λευκές μπάλες. Ως αποτέλεσμα, ένα από αυτά αφαιρέθηκε από το πρώτο και το δεύτερο κουτί. Πρέπει να μάθετε ποια είναι η πιθανότητα οι μπάλες που θα πάρετε να είναι γκρι και λευκές.
Για να λύσετε αυτό το πρόβλημα, πρέπει να επισημάνετε τα συμβάντα.
- Λοιπόν, Α - πάρτε μια γκρίζα μπάλα από το πρώτο κουτί: P(A)=1/6.
- A' – πάρτε μια λευκή μπάλα επίσης από το πρώτο κουτί: P(A')=5/6.
- B – η γκρίζα μπάλα έχει ήδη αφαιρεθεί από το δεύτερο κουτί: P(B)=2/3.
- B' – πάρτε μια γκρίζα μπάλα από το δεύτερο κουτί: P(B')=1/3.
Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, ένα από τα φαινόμενα πρέπει να συμβεί: ΑΒ' ή Α'Β. Χρησιμοποιώντας τον τύπο, παίρνουμε: P(AB')=1/18, P(A'B)=10/18.
Τώρα χρησιμοποιήθηκε ο τύπος πολλαπλασιασμού πιθανοτήτων. Στη συνέχεια, για να μάθετε την απάντηση, πρέπει να εφαρμόσετε την εξίσωση για την πρόσθεσή τους:
P=P(AB' + A'B)=P(AB') + P(A'B)=11/18.
Με αυτόν τον τρόπο, χρησιμοποιώντας τον τύπο, μπορείτε να λύσετε παρόμοια προβλήματα.
Αποτέλεσμα
Το άρθρο παρείχε πληροφορίες σχετικά με το θέμα "Θεωρία Πιθανοτήτων", στο οποίο η πιθανότητα ενός γεγονότος παίζει καθοριστικό ρόλο. Φυσικά, δεν λήφθηκαν όλα υπόψη, αλλά, με βάση το κείμενο που παρουσιάζεται, μπορεί κανείς θεωρητικά να εξοικειωθεί με αυτήν την ενότητα των μαθηματικών. Η εν λόγω επιστήμη μπορεί να είναι χρήσιμη όχι μόνο στην επαγγελματική εργασία, αλλά και στην καθημερινή ζωή. Με τη βοήθειά του, μπορείτε να υπολογίσετε οποιαδήποτε πιθανότητα οποιουδήποτε γεγονότος.
Το κείμενο έθιξε επίσης σημαντικές ημερομηνίες στην ιστορία της διαμόρφωσης της θεωρίας πιθανοτήτων ως επιστήμης και τα ονόματα των ανθρώπων των οποίων τα έργα επενδύθηκαν σε αυτήν. Έτσι η ανθρώπινη περιέργεια οδήγησε στο γεγονός ότι οι άνθρωποι έμαθαν να υπολογίζουν ακόμη και τυχαία γεγονότα. Κάποτε απλώς τους ενδιέφερε, αλλά σήμερα όλοι το γνωρίζουν ήδη. Και κανείς δεν θα πει τι μας περιμένει στο μέλλον, ποιες άλλες λαμπρές ανακαλύψεις που σχετίζονται με την υπό εξέταση θεωρία θα γίνουν. Αλλά ένα πράγμα είναι σίγουρο - η έρευνα δεν έχει σταματήσει!
