Πολλοί, αντιμέτωποι με την έννοια της «θεωρίας πιθανοτήτων», φοβούνται, νομίζοντας ότι αυτό είναι κάτι συντριπτικό, πολύ περίπλοκο. Αλλά στην πραγματικότητα δεν είναι τόσο τραγικό. Σήμερα θα εξετάσουμε τη βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων, θα μάθουμε πώς να λύνουμε προβλήματα χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα παραδείγματα.
Επιστήμη
Τι μελετά ένας τέτοιος κλάδος των μαθηματικών όπως η «θεωρία πιθανοτήτων»; Σημειώνει μοτίβα τυχαίων γεγονότων και ποσοτήτων. Για πρώτη φορά, οι επιστήμονες ενδιαφέρθηκαν για αυτό το θέμα τον δέκατο όγδοο αιώνα, όταν μελέτησαν τον τζόγο. Η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός. Είναι κάθε γεγονός που διαπιστώνεται με εμπειρία ή παρατήρηση. Τι είναι όμως εμπειρία; Μια άλλη βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων. Σημαίνει ότι αυτή η σύνθεση των περιστάσεων δεν δημιουργήθηκε τυχαία, αλλά για συγκεκριμένο σκοπό. Όσο για την παρατήρηση, εδώ ο ίδιος ο ερευνητής δεν συμμετέχει στο πείραμα, αλλά είναι απλώς μάρτυρας αυτών των γεγονότων, δεν επηρεάζει με κανέναν τρόπο αυτό που συμβαίνει.
Εκδηλώσεις
Μάθαμε ότι η βασική έννοια της θεωρίας πιθανοτήτων είναι ένα γεγονός, αλλά δεν λάβαμε υπόψη την ταξινόμηση. Όλα χωρίζονται στις ακόλουθες κατηγορίες:
- Αξιόπιστο.
- Αδύνατο.
- Τυχαία.
Δεν πειράζειτι είδους γεγονότα παρατηρούνται ή δημιουργούνται κατά τη διάρκεια της εμπειρίας, όλα υπόκεινται σε αυτήν την ταξινόμηση. Προσφέρουμε να γνωριστούμε με κάθε ένα από τα είδη ξεχωριστά.
Certain event
Πρόκειται για μια περίσταση πριν από την οποία έχει ληφθεί το απαραίτητο σύνολο μέτρων. Για να κατανοήσουμε καλύτερα την ουσία, είναι προτιμότερο να δώσουμε μερικά παραδείγματα. Η φυσική, η χημεία, τα οικονομικά και τα ανώτερα μαθηματικά υπόκεινται σε αυτόν τον νόμο. Η θεωρία πιθανοτήτων περιλαμβάνει μια τόσο σημαντική έννοια όπως ένα συγκεκριμένο γεγονός. Ακολουθούν μερικά παραδείγματα:
- Εργαζόμαστε και παίρνουμε αμοιβή με τη μορφή μισθών.
- Περάσαμε καλά τις εξετάσεις, περάσαμε τον διαγωνισμό, γι' αυτό λαμβάνουμε ανταμοιβή με τη μορφή εισαγωγής σε εκπαιδευτικό ίδρυμα.
- Επενδύσαμε χρήματα στην τράπεζα, θα τα πάρουμε πίσω αν χρειαστεί.
Τέτοια συμβάντα είναι αξιόπιστα. Εάν έχουμε εκπληρώσει όλες τις απαραίτητες προϋποθέσεις, τότε σίγουρα θα έχουμε το αναμενόμενο αποτέλεσμα.
Αδύνατα συμβάντα
Τώρα εξετάζουμε στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων. Προτείνουμε να προχωρήσουμε σε μια εξήγηση του επόμενου τύπου γεγονότος, δηλαδή του αδύνατου. Αρχικά, ας προσδιορίσουμε τον πιο σημαντικό κανόνα - η πιθανότητα ενός αδύνατου συμβάντος είναι μηδέν.
Δεν μπορείτε να παρεκκλίνετε από αυτή τη διατύπωση όταν επιλύετε προβλήματα. Για διευκρίνιση, ακολουθούν παραδείγματα τέτοιων γεγονότων:
- Το νερό πάγωσε στο συν δέκα (αυτό είναι αδύνατο).
- Η έλλειψη ηλεκτρικής ενέργειας δεν επηρεάζει την παραγωγή με κανέναν τρόπο (εξίσου αδύνατη όπως στο προηγούμενο παράδειγμα).
Περισσότερα παραδείγματαΔεν αξίζει να αναφερθούμε, καθώς αυτά που περιγράφηκαν παραπάνω αντικατοπτρίζουν πολύ ξεκάθαρα την ουσία αυτής της κατηγορίας. Το αδύνατο γεγονός δεν θα συμβεί ποτέ κατά τη διάρκεια της εμπειρίας σε καμία περίπτωση.
Τυχαία συμβάντα
Μελετώντας τα στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων, θα πρέπει να δοθεί ιδιαίτερη προσοχή σε αυτό το συγκεκριμένο είδος γεγονότων. Αυτό μελετά η επιστήμη. Ως αποτέλεσμα της εμπειρίας, κάτι μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί. Επιπλέον, η δοκιμή μπορεί να επαναληφθεί απεριόριστες φορές. Ζωντανά παραδείγματα είναι:
- Το πέταγμα ενός νομίσματος είναι μια εμπειρία ή μια δοκιμή, η επικεφαλίδα είναι ένα γεγονός.
- Το να βγάλεις τυφλά μια μπάλα από μια τσάντα είναι μια δοκιμή, μια κόκκινη μπάλα είναι ένα γεγονός και ούτω καθεξής.
Μπορεί να υπάρχει απεριόριστος αριθμός τέτοιων παραδειγμάτων, αλλά, γενικά, η ουσία πρέπει να είναι ξεκάθαρη. Για να συνοψίσουμε και να συστηματοποιήσουμε τη γνώση που αποκτήθηκε για τα γεγονότα, δίνεται ένας πίνακας. Η θεωρία πιθανοτήτων μελετά μόνο τον τελευταίο τύπο από όλα που παρουσιάζονται.
| τίτλος | ορισμός | παράδειγμα |
| Αξιόπιστο | Εκδηλώσεις που λαμβάνουν χώρα με 100% εγγύηση υπό ορισμένες προϋποθέσεις. | Εισαγωγή σε εκπαιδευτικό ίδρυμα με καλές εισαγωγικές εξετάσεις. |
| Αδύνατο | Γεγονότα που δεν θα συμβούν ποτέ σε καμία περίπτωση. | Χιονίζει σε θερμοκρασία συν τριάντα βαθμών Κελσίου. |
| Τυχαία | Ένα συμβάν που μπορεί να συμβεί ή όχι κατά τη διάρκεια ενός πειράματος/δοκιμής. | Χτύπημα ή χάσιμο όταν πετάς μια μπάλα μπάσκετ στο στεφάνι. |
Νόμοι
Η θεωρία πιθανοτήτων είναι μια επιστήμη που μελετά την πιθανότητα να συμβεί ένα γεγονός. Όπως και τα άλλα, έχει κάποιους κανόνες. Υπάρχουν οι ακόλουθοι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων:
- Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών.
- Ο νόμος των μεγάλων αριθμών.
Κατά τον υπολογισμό της πιθανότητας ενός συμπλέγματος, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα σύμπλεγμα απλών γεγονότων για να επιτύχετε το αποτέλεσμα με ευκολότερο και ταχύτερο τρόπο. Σημειώστε ότι οι νόμοι της θεωρίας πιθανοτήτων αποδεικνύονται εύκολα με τη βοήθεια ορισμένων θεωρημάτων. Ας ξεκινήσουμε με τον πρώτο νόμο.
Σύγκλιση ακολουθιών τυχαίων μεταβλητών
Σημειώστε ότι υπάρχουν διάφοροι τύποι σύγκλισης:
- Η ακολουθία των τυχαίων μεταβλητών συγκλίνει στην πιθανότητα.
- Σχεδόν αδύνατο.
- Σύγκλιση RMS.
- Σύγκλιση στη διανομή.
Λοιπόν, εν κινήσει, είναι πολύ δύσκολο να φτάσεις στο βάθος. Ακολουθούν ορισμένοι ορισμοί που θα σας βοηθήσουν να κατανοήσετε αυτό το θέμα. Ας ξεκινήσουμε με την πρώτη ματιά. Μια ακολουθία ονομάζεται συγκλίνουσα κατά πιθανότητα εάν πληρούται η ακόλουθη συνθήκη: n τείνει στο άπειρο, ο αριθμός προς τον οποίο τείνει η ακολουθία είναι μεγαλύτερος από το μηδέν και κοντά στο ένα.
Μετάβαση στην επόμενη προβολή, σχεδόν σίγουρα. Λένε ότιη ακολουθία συγκλίνει σχεδόν σίγουρα σε μια τυχαία μεταβλητή με το n να τείνει στο άπειρο και το P να τείνει σε μια τιμή κοντά στο ένα.
Ο επόμενος τύπος είναι η σύγκλιση ρίζας-μέσος τετραγώνου. Όταν χρησιμοποιείται η σύγκλιση SC, η μελέτη των διανυσματικών τυχαίων διαδικασιών περιορίζεται στη μελέτη των συντεταγμένων τυχαίων διαδικασιών τους.
Ο τελευταίος τύπος παραμένει, ας ρίξουμε μια σύντομη ματιά σε αυτό για να προχωρήσουμε απευθείας στην επίλυση προβλημάτων. Η σύγκλιση διανομής έχει άλλο όνομα - "αδύναμη", θα εξηγήσουμε το γιατί παρακάτω. Ασθενής σύγκλιση είναι η σύγκλιση των συναρτήσεων κατανομής σε όλα τα σημεία της συνέχειας της συνάρτησης οριακής κατανομής.
Φροντίστε να εκπληρώσετε την υπόσχεση: η ασθενής σύγκλιση διαφέρει από όλα τα παραπάνω στο ότι η τυχαία μεταβλητή δεν ορίζεται στο χώρο πιθανοτήτων. Αυτό είναι δυνατό επειδή η συνθήκη σχηματίζεται αποκλειστικά με χρήση συναρτήσεων διανομής.
Νόμος των μεγάλων αριθμών
Εξαιρετικοί βοηθοί στην απόδειξη αυτού του νόμου θα είναι τα θεωρήματα της θεωρίας πιθανοτήτων, όπως:
- Η ανισότητα του Chebyshev.
- Θεώρημα του Chebyshev.
- Γενικευμένο θεώρημα Chebyshev.
- θεώρημα Markov.
Αν εξετάσουμε όλα αυτά τα θεωρήματα, τότε αυτή η ερώτηση μπορεί να διαρκέσει για αρκετές δεκάδες φύλλα. Το κύριο καθήκον μας είναι να εφαρμόσουμε τη θεωρία των πιθανοτήτων στην πράξη. Σας προσκαλούμε να το κάνετε αυτό τώρα. Αλλά πριν από αυτό, ας εξετάσουμε τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων, θα είναι οι κύριοι βοηθοί στην επίλυση προβλημάτων.
Αξιώματα
Συναντήσαμε ήδη τον πρώτο όταν μιλήσαμε για το αδύνατο γεγονός. Ας θυμηθούμε: η πιθανότητα ενός αδύνατου γεγονότος είναι μηδέν. Δώσαμε ένα πολύ ζωντανό και αξέχαστο παράδειγμα: χιόνισε σε θερμοκρασία αέρα τριάντα βαθμών Κελσίου.
Το δεύτερο ακούγεται ως εξής: ένα αξιόπιστο συμβάν συμβαίνει με πιθανότητα ίση με μία. Τώρα ας δείξουμε πώς να το γράψουμε χρησιμοποιώντας μαθηματική γλώσσα: P(B)=1.
Τρίτο: Ένα τυχαίο συμβάν μπορεί να συμβεί ή να μην συμβεί, αλλά η πιθανότητα κυμαίνεται πάντα από το μηδέν έως το ένα. Όσο πιο κοντά είναι η τιμή στο ένα, τόσο μεγαλύτερη είναι η πιθανότητα. αν η τιμή πλησιάζει το μηδέν, η πιθανότητα είναι πολύ μικρή. Ας το γράψουμε αυτό στη μαθηματική γλώσσα: 0<Р(С)<1.
Ας εξετάσουμε το τελευταίο, τέταρτο αξίωμα, το οποίο ακούγεται ως εξής: η πιθανότητα του αθροίσματος δύο γεγονότων είναι ίση με το άθροισμα των πιθανοτήτων τους. Γράφουμε σε μαθηματική γλώσσα: P (A + B) u003d P (A) + P (B).
Τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων είναι οι απλούστεροι κανόνες που είναι εύκολο να θυμόμαστε. Ας προσπαθήσουμε να λύσουμε ορισμένα προβλήματα, με βάση τις γνώσεις που έχουν ήδη αποκτηθεί.
λαχείο
Πρώτα, εξετάστε το απλούστερο παράδειγμα - τη λαχειοφόρο αγορά. Φανταστείτε ότι αγοράσατε ένα λαχείο για καλή τύχη. Ποια είναι η πιθανότητα να κερδίσετε τουλάχιστον είκοσι ρούβλια; Συνολικά, χίλια εισιτήρια συμμετέχουν στην κυκλοφορία, ένα από τα οποία έχει έπαθλο πεντακόσια ρούβλια, δέκα από εκατό ρούβλια, πενήντα από είκοσι ρούβλια και εκατό πέντε. Τα προβλήματα στη θεωρία πιθανοτήτων βασίζονται στην εύρεση της πιθανότηταςκαλή τύχη. Τώρα μαζί θα αναλύσουμε τη λύση της παραπάνω εργασίας που παρουσιάστηκε.
Αν υποδηλώσουμε με το γράμμα Α μια νίκη πεντακοσίων ρούβλια, τότε η πιθανότητα να πάρουμε το Α θα είναι 0,001. Πώς το πήραμε; Απλώς πρέπει να διαιρέσετε τον αριθμό των "τυχερών" εισιτηρίων με τον συνολικό τους αριθμό (σε αυτήν την περίπτωση: 1/1000).
Το
B είναι μια νίκη εκατό ρούβλια, η πιθανότητα θα είναι 0,01. Τώρα ενεργήσαμε σύμφωνα με την ίδια αρχή όπως στην προηγούμενη ενέργεια (10/1000)
C - τα κέρδη είναι ίσα με είκοσι ρούβλια. Βρείτε την πιθανότητα, ισούται με 0,05.
Τα υπόλοιπα εισιτήρια δεν μας ενδιαφέρουν, καθώς το χρηματικό έπαθλο τους είναι μικρότερο από αυτό που καθορίζεται στον όρο. Ας εφαρμόσουμε το τέταρτο αξίωμα: Η πιθανότητα να κερδίσετε τουλάχιστον είκοσι ρούβλια είναι P(A)+P(B)+P(C). Το γράμμα P υποδηλώνει την πιθανότητα να συμβεί αυτό το συμβάν, τα έχουμε ήδη βρει στα προηγούμενα βήματα. Απομένει μόνο να προσθέσουμε τα απαραίτητα δεδομένα, στην απάντηση παίρνουμε 0, 061. Αυτός ο αριθμός θα είναι η απάντηση στην ερώτηση της εργασίας.
Τάρτα
Τα προβλήματα της θεωρίας πιθανοτήτων μπορεί να είναι πιο περίπλοκα, για παράδειγμα, εκτελέστε την ακόλουθη εργασία. Μπροστά σας είναι μια τράπουλα με τριάντα έξι φύλλα. Ο στόχος σας είναι να τραβήξετε δύο φύλλα στη σειρά χωρίς να ανακατεύετε το σωρό, το πρώτο και το δεύτερο φύλλο πρέπει να είναι άσοι, το χρώμα δεν έχει σημασία.
Πρώτον, ας βρούμε την πιθανότητα το πρώτο φύλλο να είναι άσος, γι' αυτό διαιρούμε το τέσσερα με το τριάντα έξι. Το έβαλαν στην άκρη. Βγάζουμε το δεύτερο φύλλο, θα είναι άσος με πιθανότητα τρία τριάντα πέμπτα. Η πιθανότητα του δεύτερου γεγονότος εξαρτάται από το ποιο φύλλο τραβήξαμε πρώτο, μας ενδιαφέρειήταν άσος ή όχι. Συνεπάγεται ότι το συμβάν Β εξαρτάται από το συμβάν Α.
Το επόμενο βήμα είναι να βρούμε την πιθανότητα ταυτόχρονης υλοποίησης, δηλαδή πολλαπλασιάζουμε τα Α και Β. Το γινόμενο τους βρίσκεται ως εξής: η πιθανότητα ενός γεγονότος πολλαπλασιάζεται με την υπό όρους πιθανότητα ενός άλλου, την οποία υπολογίζουμε, υποθέτοντας ότι έγινε το πρώτο γεγονός, δηλαδή με το πρώτο φύλλο τραβήξαμε έναν άσο.
Για να γίνουν όλα ξεκάθαρα, ας δώσουμε έναν προσδιορισμό σε ένα τέτοιο στοιχείο όπως η υπό όρους πιθανότητα ενός συμβάντος. Υπολογίζεται υποθέτοντας ότι έχει συμβεί το γεγονός Α. Υπολογίστηκε ως εξής: P(B/A).
Συνεχίστε να λύνετε το πρόβλημά μας: P(AB)=P(A)P(B/A) ή P (AB)=P(B)P(A/B). Η πιθανότητα είναι (4/36)((3/35)/(4/36). Υπολογίστε με στρογγυλοποίηση στα εκατοστά. Έχουμε: 0, 11(0, 09/0, 11)=0, 110, 82=0, 09. Η πιθανότητα να τραβήξουμε δύο άσους στη σειρά είναι εννέα εκατοστά. Η τιμή είναι πολύ μικρή, συνεπάγεται ότι η πιθανότητα να συμβεί το συμβάν είναι εξαιρετικά μικρή.
Ξεχασμένος αριθμός
Προτείνουμε να αναλύσουμε μερικές ακόμη επιλογές για εργασίες που μελετώνται από τη θεωρία πιθανοτήτων. Έχετε ήδη δει παραδείγματα επίλυσης ορισμένων από αυτά σε αυτό το άρθρο, ας προσπαθήσουμε να λύσουμε το ακόλουθο πρόβλημα: το αγόρι ξέχασε το τελευταίο ψηφίο του αριθμού τηλεφώνου του φίλου του, αλλά επειδή η κλήση ήταν πολύ σημαντική, άρχισε να καλεί τα πάντα με τη σειρά. Πρέπει να υπολογίσουμε την πιθανότητα να καλέσει όχι περισσότερες από τρεις φορές. Η λύση στο πρόβλημα είναι η απλούστερη αν είναι γνωστοί οι κανόνες, οι νόμοι και τα αξιώματα της θεωρίας πιθανοτήτων.
Πριν την παρακολουθήσετελύση, προσπαθήστε να τη λύσετε μόνοι σας. Γνωρίζουμε ότι το τελευταίο ψηφίο μπορεί να είναι από μηδέν έως εννέα, δηλαδή, υπάρχουν δέκα τιμές συνολικά. Η πιθανότητα να πάρετε το σωστό είναι 1/10.
Στη συνέχεια, πρέπει να εξετάσουμε επιλογές για την προέλευση του συμβάντος, ας υποθέσουμε ότι το αγόρι μάντεψε σωστά και αμέσως σημείωσε το σωστό, η πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος είναι 1/10. Η δεύτερη επιλογή: η πρώτη κλήση είναι χαμένη και η δεύτερη είναι στο στόχο. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος: πολλαπλασιάζουμε 9/10 με 1/9, ως αποτέλεσμα παίρνουμε επίσης 1/10. Η τρίτη επιλογή: η πρώτη και η δεύτερη κλήση αποδείχθηκαν σε λάθος διεύθυνση, μόνο από την τρίτη το αγόρι έφτασε εκεί που ήθελε. Υπολογίζουμε την πιθανότητα ενός τέτοιου γεγονότος: πολλαπλασιάζουμε το 9/10 με 8/9 και με το 1/8, έχουμε ως αποτέλεσμα 1/10. Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, δεν μας ενδιαφέρουν άλλες επιλογές, οπότε μας μένει να αθροίσουμε τα αποτελέσματα, με αποτέλεσμα να έχουμε 3/10. Απάντηση: Η πιθανότητα να καλέσει το αγόρι όχι περισσότερες από τρεις φορές είναι 0,3.
Κάρτες με αριθμούς
Έχετε μπροστά σας εννέα κάρτες, σε καθεμία από τις οποίες είναι γραμμένος ένας αριθμός από το ένα έως το εννέα, οι αριθμοί δεν επαναλαμβάνονται. Τοποθετήθηκαν σε ένα κουτί και ανακατεύτηκαν καλά. Πρέπει να υπολογίσετε την πιθανότητα ότι
- θα εμφανιστεί ένας ζυγός αριθμός;
- διψήφιο.
Πριν προχωρήσουμε στη λύση, ας ορίσουμε ότι m είναι ο αριθμός των επιτυχημένων περιπτώσεων και n είναι ο συνολικός αριθμός των επιλογών. Βρείτε την πιθανότητα ο αριθμός να είναι άρτιος. Δεν θα είναι δύσκολο να υπολογίσουμε ότι υπάρχουν τέσσερις ζυγοί αριθμοί, αυτός θα είναι ο δικός μας m, υπάρχουν εννέα επιλογές συνολικά, δηλαδή m=9. Τότε η πιθανότηταισούται με 0, 44 ή 4/9.
Εξετάστε τη δεύτερη περίπτωση: ο αριθμός των επιλογών είναι εννέα και δεν μπορεί να υπάρχουν καθόλου επιτυχημένα αποτελέσματα, δηλαδή, το m ισούται με μηδέν. Η πιθανότητα η κληρωμένη κάρτα να περιέχει διψήφιο αριθμό είναι επίσης μηδέν.
