Η εξίσωση των ροπών: ροπές δύναμης, ορμής και αδράνειας

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Αν η γραμμική κίνηση των σωμάτων περιγράφεται στην κλασική μηχανική χρησιμοποιώντας τους νόμους του Νεύτωνα, τότε τα χαρακτηριστικά της κίνησης των μηχανικών συστημάτων κατά μήκος των κυκλικών τροχιών υπολογίζονται χρησιμοποιώντας μια ειδική έκφραση, η οποία ονομάζεται εξίσωση των ροπών. Για ποιες στιγμές μιλάμε και ποιο είναι το νόημα αυτής της εξίσωσης; Αυτές και άλλες ερωτήσεις αποκαλύπτονται στο άρθρο.

Ροπή δύναμης

Όλοι γνωρίζουν καλά τη Νευτώνεια δύναμη, η οποία, ενεργώντας στο σώμα, οδηγεί στη μετάδοση της επιτάχυνσης σε αυτό. Όταν μια τέτοια δύναμη εφαρμόζεται σε ένα αντικείμενο που είναι στερεωμένο σε έναν συγκεκριμένο άξονα περιστροφής, τότε αυτό το χαρακτηριστικό συνήθως ονομάζεται ροπή δύναμης. Η εξίσωση ροπής δύναμης μπορεί να γραφτεί ως εξής:

M¯=L¯F¯

Η εικόνα που εξηγεί αυτήν την έκφραση φαίνεται παρακάτω.

Εδώ μπορείτε να δείτε ότι η δύναμη F¯ κατευθύνεται στο διάνυσμα L¯ υπό γωνία Φ. Το ίδιο το διάνυσμα L¯ θεωρείται ότι κατευθύνεται από τον άξονα περιστροφής (που υποδεικνύεται με το βέλος) στο σημείο εφαρμογήςF¯.

Ο παραπάνω τύπος είναι γινόμενο δύο διανυσμάτων, επομένως το M¯ είναι επίσης κατευθυντικό. Πού θα στραφεί η ροπή της δύναμης M¯; Αυτό μπορεί να προσδιοριστεί από τον κανόνα του δεξιού χεριού (τέσσερα δάχτυλα κατευθύνονται κατά μήκος της τροχιάς από το τέλος του διανύσματος L¯ έως το τέλος του F¯ και ο αριστερός αντίχειρας δείχνει την κατεύθυνση του M¯).

Στο παραπάνω σχήμα, η έκφραση για τη στιγμή της δύναμης σε βαθμωτή μορφή θα έχει τη μορφή:

M=LFsin(Φ)

Αν κοιτάξετε προσεκτικά το σχήμα, μπορείτε να δείτε ότι Lsin(Φ)=d, τότε έχουμε τον τύπο:

M=dF

Η τιμή του d είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό για τον υπολογισμό της ροπής δύναμης, καθώς αντανακλά την αποτελεσματικότητα του εφαρμοσμένου F στο σύστημα. Αυτή η τιμή ονομάζεται μοχλός δύναμης.

Η φυσική έννοια του M έγκειται στην ικανότητα της δύναμης να περιστρέφει το σύστημα. Όλοι μπορούν να νιώσουν αυτή την ικανότητα αν ανοίξουν την πόρτα από το χερούλι, σπρώχνοντάς την κοντά στους μεντεσέδες ή αν προσπαθήσουν να ξεβιδώσουν το παξιμάδι με ένα κοντό και μακρύ κλειδί.

Ισορροπία του συστήματος

Η έννοια της ροπής δύναμης είναι πολύ χρήσιμη όταν εξετάζουμε την ισορροπία ενός συστήματος που ασκείται από πολλαπλές δυνάμεις και έχει άξονα ή σημείο περιστροφής. Σε τέτοιες περιπτώσεις, εφαρμόστε τον τύπο:

∑_iM_i¯=0

Δηλαδή, το σύστημα θα βρίσκεται σε ισορροπία εάν το άθροισμα όλων των ροπών των δυνάμεων που εφαρμόζονται σε αυτό είναι μηδέν. Σημειώστε ότι σε αυτόν τον τύπο υπάρχει ένα διανυσματικό πρόσημο στη στιγμή, δηλαδή, κατά την επίλυση, δεν πρέπει να ξεχάσετε να λάβετε υπόψη το πρόσημο αυτούποσότητες. Ο γενικά αποδεκτός κανόνας είναι ότι η ενεργούσα δύναμη που περιστρέφει το σύστημα αριστερόστροφα δημιουργεί ένα θετικό M_i¯.

Ένα εντυπωσιακό παράδειγμα προβλημάτων αυτού του τύπου είναι προβλήματα με την ισορροπία των μοχλών του Αρχιμήδη.

Στιγμή ορμής

Αυτό είναι ένα άλλο σημαντικό χαρακτηριστικό της κυκλικής κίνησης. Στη φυσική, περιγράφεται ως το προϊόν της ορμής και του μοχλού. Η εξίσωση ορμής μοιάζει με αυτό:

T¯=r¯p¯

Εδώ p¯ είναι το διάνυσμα ορμής, r¯ είναι το διάνυσμα που συνδέει το σημείο περιστροφής υλικού με τον άξονα.

Το παρακάτω σχήμα απεικονίζει αυτήν την έκφραση.

Εδώ ω είναι η γωνιακή ταχύτητα, η οποία θα εμφανίζεται περαιτέρω στην εξίσωση ροπής. Σημειώστε ότι η κατεύθυνση του διανύσματος T¯ βρίσκεται από τον ίδιο κανόνα με τον M¯. Στο παραπάνω σχήμα, το T¯ στην κατεύθυνση θα συμπίπτει με το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας ω¯.

Η φυσική σημασία του T¯ είναι η ίδια με τα χαρακτηριστικά του p¯ στην περίπτωση της γραμμικής κίνησης, δηλαδή η γωνιακή ορμή περιγράφει το ποσό της περιστροφικής κίνησης (αποθηκευμένη κινητική ενέργεια).

Ροπή αδράνειας

Το τρίτο σημαντικό χαρακτηριστικό, χωρίς το οποίο είναι αδύνατο να διατυπωθεί η εξίσωση κίνησης ενός περιστρεφόμενου αντικειμένου, είναι η ροπή αδράνειας. Εμφανίζεται στη φυσική ως αποτέλεσμα μαθηματικών μετασχηματισμών του τύπου για τη γωνιακή ορμή ενός υλικού σημείου. Ας σας δείξουμε πώς γίνεται.

Ας φανταστούμε την αξίαT¯ ως εξής:

T¯=r¯mv¯, όπου p¯=mv¯

Χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ γωνιακών και γραμμικών ταχυτήτων, μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτήν την έκφραση ως εξής:

T¯=r¯mr¯ω¯, όπου v¯=r¯ω¯

Γράψτε την τελευταία έκφραση ως εξής:

T¯=r²mω¯

Η τιμή r²m είναι η ροπή αδράνειας I για ένα σημείο μάζας m που κάνει κυκλική κίνηση γύρω από έναν άξονα σε απόσταση r από αυτό. Αυτή η ειδική περίπτωση μας επιτρέπει να εισαγάγουμε τη γενική εξίσωση της ροπής αδράνειας για ένα σώμα αυθαίρετου σχήματος:

I=∫_m (r²dm)

Το

I είναι μια προσθετική ποσότητα, η έννοια της οποίας έγκειται στην αδράνεια του περιστρεφόμενου συστήματος. Όσο μεγαλύτερος είμαι, τόσο πιο δύσκολο είναι να γυρίζεις το σώμα και χρειάζεται μεγάλη προσπάθεια για να το σταματήσεις.

Εξίσωση ροπής

Έχουμε εξετάσει τρεις ποσότητες, το όνομα των οποίων αρχίζει με τη λέξη "στιγμή". Αυτό έγινε σκόπιμα, αφού όλα συνδέονται σε μια έκφραση, που ονομάζεται εξίσωση 3 στιγμών. Ας το βγάλουμε.

Σκεφτείτε την έκφραση για τη γωνιακή ορμή T¯:

T¯=Iω¯

Βρείτε πώς αλλάζει η τιμή του T¯ στο χρόνο, έχουμε:

dT¯/dt=Idω¯/dt

Δεδομένου ότι η παράγωγος της γωνιακής ταχύτητας είναι ίση με αυτή της γραμμικής ταχύτητας διαιρούμενη με r, και διευρύνοντας την τιμή του I, καταλήγουμε στην έκφραση:

dT¯/dt=mr²1/rdv¯/dt=rma¯, όπου a¯=dv¯/dt είναι γραμμική επιτάχυνση.

Σημειώστε ότι το γινόμενο της μάζας και της επιτάχυνσης δεν είναι παρά η δρούσα εξωτερική δύναμη F¯. Ως αποτέλεσμα, παίρνουμε:

dT¯/dt=rF¯=M¯

Καταλήξαμε σε ένα ενδιαφέρον συμπέρασμα: η αλλαγή στη γωνιακή ορμή είναι ίση με τη ροπή της ενεργού εξωτερικής δύναμης. Αυτή η έκφραση συνήθως γράφεται με ελαφρώς διαφορετική μορφή:

M¯=Iα¯, όπου α¯=dω¯/dt - γωνιακή επιτάχυνση.

Αυτή η ισότητα ονομάζεται εξίσωση των ροπών. Σας επιτρέπει να υπολογίσετε οποιοδήποτε χαρακτηριστικό ενός περιστρεφόμενου σώματος, γνωρίζοντας τις παραμέτρους του συστήματος και το μέγεθος της εξωτερικής πρόσκρουσης σε αυτό.

Νόμος διατήρησης T¯

Το συμπέρασμα που προκύπτει στην προηγούμενη παράγραφο δείχνει ότι εάν η εξωτερική ροπή των δυνάμεων είναι ίση με μηδέν, τότε η γωνιακή ορμή δεν θα αλλάξει. Σε αυτήν την περίπτωση, γράφουμε την έκφραση:

T¯=συντ. ή I₁ω₁¯=I₂ω_{2 ¯}

Αυτός ο τύπος ονομάζεται νόμος διατήρησης του T¯. Δηλαδή, τυχόν αλλαγές μέσα στο σύστημα δεν αλλάζουν τη συνολική γωνιακή ορμή.

Αυτό το γεγονός χρησιμοποιείται από τους καλλιτεχνικούς πατινάζ και τις μπαλαρίνες κατά τις εμφανίσεις τους. Χρησιμοποιείται επίσης εάν είναι απαραίτητο να περιστρέψετε έναν τεχνητό δορυφόρο που κινείται στο διάστημα γύρω από τον άξονά του.