Στη φυσική, η εξέταση προβλημάτων με περιστρεφόμενα σώματα ή συστήματα που βρίσκονται σε ισορροπία πραγματοποιείται χρησιμοποιώντας την έννοια της «στιγμής δύναμης». Αυτό το άρθρο θα εξετάσει τον τύπο για τη στιγμή της δύναμης, καθώς και τη χρήση του για την επίλυση αυτού του τύπου προβλήματος.
Ροπή δύναμης στη φυσική
Όπως σημειώθηκε στην εισαγωγή, αυτό το άρθρο θα επικεντρωθεί σε συστήματα που μπορούν να περιστρέφονται είτε γύρω από έναν άξονα είτε γύρω από ένα σημείο. Εξετάστε ένα παράδειγμα τέτοιου μοντέλου, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Βλέπουμε ότι ο γκρι μοχλός είναι στερεωμένος στον άξονα περιστροφής. Στο άκρο του μοχλού υπάρχει ένας μαύρος κύβος κάποιας μάζας, στον οποίο ασκείται δύναμη (κόκκινο βέλος). Είναι διαισθητικά σαφές ότι το αποτέλεσμα αυτής της δύναμης θα είναι η περιστροφή του μοχλού γύρω από τον άξονα αριστερόστροφα.
Η ροπή δύναμης είναι μια ποσότητα στη φυσική, η οποία ισούται με το διανυσματικό γινόμενο της ακτίνας που συνδέει τον άξονα περιστροφής και το σημείο εφαρμογής της δύναμης (πράσινο διάνυσμα στο σχήμα) και την εξωτερική δύναμη εαυτό. Δηλαδή γράφεται ο τύπος για τη ροπή δύναμης γύρω από τον άξοναως εξής:
M¯=r¯F¯
Το αποτέλεσμα αυτού του προϊόντος είναι το διάνυσμα M¯. Η κατεύθυνσή του καθορίζεται με βάση τη γνώση των διανυσμάτων πολλαπλασιαστή, δηλαδή των r¯ και F¯. Σύμφωνα με τον ορισμό του διασταυρούμενου γινομένου, το M¯ πρέπει να είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζεται από τα διανύσματα r¯ και F¯ και να κατευθύνεται σύμφωνα με τον κανόνα του δεξιού χεριού (εάν τέσσερα δάχτυλα του δεξιού χεριού τοποθετηθούν κατά μήκος του πρώτου πολλαπλασιασμού διάνυσμα προς το τέλος του δεύτερου, τότε ο αντίχειρας δείχνει πού κατευθύνεται το επιθυμητό διάνυσμα). Στο σχήμα, μπορείτε να δείτε πού κατευθύνεται το διάνυσμα M¯ (μπλε βέλος).
Βαθμιακός συμβολισμός M¯
Στο σχήμα της προηγούμενης παραγράφου, η δύναμη (κόκκινο βέλος) επενεργεί στον μοχλό υπό γωνία 90o. Στη γενική περίπτωση, μπορεί να εφαρμοστεί σε απολύτως οποιαδήποτε γωνία. Σκεφτείτε την παρακάτω εικόνα.
Εδώ βλέπουμε ότι η δύναμη F δρα ήδη στον μοχλό L σε μια ορισμένη γωνία Φ. Για αυτό το σύστημα, ο τύπος για τη στιγμή της δύναμης σε σχέση με ένα σημείο (που φαίνεται με ένα βέλος) σε βαθμωτή μορφή θα έχει τη μορφή:
M=LFsin(Φ)
Από την έκφραση προκύπτει ότι η ροπή της δύναμης M θα είναι τόσο μεγαλύτερη, όσο πιο κοντά είναι η κατεύθυνση δράσης της δύναμης F στη γωνία 90o ως προς το L Αντίθετα, αν η F ενεργεί κατά μήκος του L, τότε sin(0)=0 και η δύναμη δεν δημιουργεί καμία ροπή (M=0).
Όταν εξετάζουμε τη στιγμή της δύναμης σε βαθμωτή μορφή, χρησιμοποιείται συχνά η έννοια του "μοχλού δύναμης". Αυτή η τιμή είναι η απόσταση μεταξύ του άξονα (σημείοπεριστροφή) και το διάνυσμα F. Εφαρμόζοντας αυτόν τον ορισμό στο παραπάνω σχήμα, μπορούμε να πούμε ότι d=Lsin(Φ) είναι ο μοχλός της δύναμης (η ισότητα προκύπτει από τον ορισμό της τριγωνομετρικής συνάρτησης «ημίτονο»). Μέσω του μοχλού δύναμης, ο τύπος για τη στιγμή M μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:
M=dF
Σωματική σημασία του M
Το θεωρούμενο φυσικό μέγεθος καθορίζει την ικανότητα της εξωτερικής δύναμης F να ασκεί περιστροφική επίδραση στο σύστημα. Για να φέρετε το σώμα σε περιστροφική κίνηση, είναι απαραίτητο να το ενημερώσετε για κάποια στιγμή M.
Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα αυτής της διαδικασίας είναι το άνοιγμα ή το κλείσιμο της πόρτας σε ένα δωμάτιο. Κρατώντας το χερούλι, το άτομο κάνει μια προσπάθεια και γυρίζει την πόρτα στους μεντεσέδες της. Ο καθένας μπορεί να το κάνει. Εάν προσπαθήσετε να ανοίξετε την πόρτα πατώντας την κοντά στους μεντεσέδες, τότε θα χρειαστεί να καταβάλετε μεγάλες προσπάθειες για να τη μετακινήσετε.
Ένα άλλο παράδειγμα είναι το λύσιμο ενός παξιμαδιού με ένα κλειδί. Όσο πιο σύντομο είναι αυτό το κλειδί, τόσο πιο δύσκολο είναι να ολοκληρώσετε την εργασία.
Τα υποδεικνυόμενα χαρακτηριστικά αποδεικνύονται από τον τύπο της ροπής δύναμης πάνω από τον ώμο, που δόθηκε στην προηγούμενη παράγραφο. Εάν το M θεωρείται σταθερή τιμή, τότε όσο μικρότερο d, τόσο μεγαλύτερο F πρέπει να εφαρμοστεί για να δημιουργηθεί μια δεδομένη ροπή δύναμης.
Πολλές δρώντες δυνάμεις στο σύστημα
Οι περιπτώσεις εξετάστηκαν παραπάνω όταν μόνο μία δύναμη F δρα σε ένα σύστημα ικανό να περιστρέφεται, αλλά τι γίνεται αν υπάρχουν πολλές τέτοιες δυνάμεις; Πράγματι, αυτή η κατάσταση είναι πιο συχνή, αφού δυνάμεις μπορούν να δράσουν στο σύστημαδιαφορετική φύση (βαρυτική, ηλεκτρική, τριβή, μηχανική και άλλα). Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, η προκύπτουσα ροπή της δύναμης M¯ μπορεί να ληφθεί χρησιμοποιώντας το διανυσματικό άθροισμα όλων των ροπών Mi¯, δηλ.:
M¯=∑i(Mi¯), όπου i είναι ο αριθμός δύναμης Fi
Από την ιδιότητα της προσθετικότητας των ροπών προκύπτει ένα σημαντικό συμπέρασμα, το οποίο ονομάζεται θεώρημα του Varignon, που πήρε το όνομά του από τον μαθηματικό του τέλους του 17ου - αρχές του 18ου αιώνα - του Γάλλου Pierre Varignon. Διαβάζει: «Το άθροισμα των ροπών όλων των δυνάμεων που δρουν στο υπό εξέταση σύστημα μπορεί να αναπαρασταθεί ως ροπή μιας δύναμης, η οποία είναι ίση με το άθροισμα όλων των άλλων και εφαρμόζεται σε ένα ορισμένο σημείο». Μαθηματικά, το θεώρημα μπορεί να γραφτεί ως εξής:
∑i(Mi¯)=M¯=d∑i (Fi¯)
Αυτό το σημαντικό θεώρημα χρησιμοποιείται συχνά στην πράξη για την επίλυση προβλημάτων σχετικά με την περιστροφή και την ισορροπία των σωμάτων.
Δουλεύει μια στιγμή δύναμης;
Αναλύοντας τους παραπάνω τύπους σε βαθμωτή ή διανυσματική μορφή, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η τιμή του M είναι κάποιο έργο. Πράγματι, η διάστασή του είναι Nm, που στο SI αντιστοιχεί στο τζάουλ (J). Στην πραγματικότητα, η στιγμή της δύναμης δεν είναι έργο, αλλά μόνο μια ποσότητα που είναι ικανή να το κάνει. Για να συμβεί αυτό, είναι απαραίτητο να υπάρχει μια κυκλική κίνηση στο σύστημα και μια μακροπρόθεσμη δράση M. Επομένως, ο τύπος για το έργο της ροπής δύναμης γράφεται ως εξής:
A=Mθ
ΒΣε αυτήν την έκφραση, θ είναι η γωνία μέσω της οποίας έγινε η περιστροφή από τη στιγμή της δύναμης M. Ως αποτέλεσμα, η μονάδα εργασίας μπορεί να γραφτεί ως Nmrad ή Jrad. Για παράδειγμα, μια τιμή 60 Jrad δείχνει ότι όταν περιστρέφεται κατά 1 ακτίνιο (περίπου το 1/3 του κύκλου), η δύναμη F που δημιουργεί τη στιγμή που το M έκανε 60 joules δουλειά. Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται συχνά κατά την επίλυση προβλημάτων σε συστήματα όπου δρουν δυνάμεις τριβής, όπως θα φαίνεται παρακάτω.
Ροπή δύναμης και ροπή ορμής
Όπως φαίνεται, η επίδραση της στιγμής M στο σύστημα οδηγεί στην εμφάνιση περιστροφικής κίνησης σε αυτό. Το τελευταίο χαρακτηρίζεται από μια ποσότητα που ονομάζεται «ορμή». Μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
L=Iω
Εδώ I είναι η ροπή αδράνειας (μια τιμή που παίζει τον ίδιο ρόλο στην περιστροφή με τη μάζα στη γραμμική κίνηση του σώματος), ω είναι η γωνιακή ταχύτητα, σχετίζεται με τη γραμμική ταχύτητα με τον τύπο ω=v/r.
Και οι δύο ροπές (ορμή και δύναμη) σχετίζονται μεταξύ τους με την ακόλουθη έκφραση:
M=Iα, όπου α=dω / dt είναι η γωνιακή επιτάχυνση.
Ας δώσουμε έναν άλλο τύπο που είναι σημαντικός για την επίλυση προβλημάτων για το έργο των ροπών δυνάμεων. Χρησιμοποιώντας αυτόν τον τύπο, μπορείτε να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια ενός περιστρεφόμενου σώματος. Μοιάζει κάπως έτσι:
Ek=1/2Iω2
Στη συνέχεια, παρουσιάζουμε δύο προβλήματα με λύσεις, όπου δείχνουμε πώς να χρησιμοποιούμε τους εξεταζόμενους φυσικούς τύπους.
Ισορροπία πολλών σωμάτων
Η πρώτη εργασία σχετίζεται με την ισορροπία ενός συστήματος στο οποίο δρουν πολλές δυνάμεις. ΣτοΤο παρακάτω σχήμα δείχνει ένα σύστημα στο οποίο δρουν τρεις δυνάμεις. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε ποια μάζα πρέπει να αναρτηθεί το αντικείμενο από αυτόν τον μοχλό και σε ποιο σημείο πρέπει να γίνει έτσι ώστε αυτό το σύστημα να είναι σε ισορροπία.
Από τις συνθήκες του προβλήματος, μπορούμε να καταλάβουμε ότι για να το λύσουμε, πρέπει να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα Varignon. Το πρώτο μέρος του προβλήματος μπορεί να απαντηθεί αμέσως, αφού το βάρος του αντικειμένου που θα κρεμαστεί από το μοχλό θα είναι:
P=F1 - F2 + F3=20 - 10 + 25=35 Η
Τα σημάδια εδώ επιλέγονται λαμβάνοντας υπόψη ότι η δύναμη που περιστρέφει το μοχλό αριστερόστροφα δημιουργεί μια αρνητική ροπή.
Η θέση του σημείου δ, όπου πρέπει να κρεμαστεί αυτό το βάρος, υπολογίζεται με τον τύπο:
M1 - M2 + M3=dP=720 - 510 + 325=d35=> d=165/35=4, 714 m
Σημειώστε ότι χρησιμοποιώντας τον τύπο για τη στιγμή της βαρύτητας, υπολογίσαμε την ισοδύναμη τιμή M αυτής που δημιουργείται από τρεις δυνάμεις. Για να είναι το σύστημα σε ισορροπία, είναι απαραίτητο να αναρτηθεί ένα σώμα βάρους 35 N στο σημείο 4, 714 m από τον άξονα στην άλλη πλευρά του μοχλού.
Πρόβλημα μετακίνησης δίσκου
Η λύση του παρακάτω προβλήματος βασίζεται στη χρήση του τύπου για τη ροπή της δύναμης τριβής και την κινητική ενέργεια του σώματος περιστροφής. Εργασία: Δίνεται ένας δίσκος με ακτίνα r=0,3 μέτρα, ο οποίος περιστρέφεται με ταχύτητα ω=1 rad/s. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε πόσο μακριά μπορεί να διανύσει στην επιφάνεια εάν ο συντελεστής τριβής κύλισης είναι Μ=0,001.
Αυτό το πρόβλημα είναι πιο εύκολο να λυθεί εάν χρησιμοποιήσετε το νόμο της διατήρησης της ενέργειας. Έχουμε την αρχική κινητική ενέργεια του δίσκου. Όταν αρχίζει να κυλάει, όλη αυτή η ενέργεια ξοδεύεται για τη θέρμανση της επιφάνειας λόγω της δράσης της δύναμης τριβής. Εξισώνοντας και τις δύο ποσότητες, παίρνουμε την έκφραση:
Iω2/2=ΜN/rrθ
Το πρώτο μέρος του τύπου είναι η κινητική ενέργεια του δίσκου. Το δεύτερο μέρος είναι το έργο της ροπής της δύναμης τριβής F=ΜN/r, που εφαρμόζεται στην άκρη του δίσκου (M=Fr).
Δεδομένου ότι N=mg και I=1/2mr2, υπολογίζουμε το θ:
θ=mr2 ω2/(4Μmg)=r 2 ω2/(4Μ g)=0, 32 1 2/(40,0019,81)=2,29358 rad
Δεδομένου ότι τα ακτίνια 2pi αντιστοιχούν στο μήκος των 2pi r, τότε παίρνουμε ότι η απαιτούμενη απόσταση που θα καλύψει ο δίσκος είναι:
s=θr=2,293580,3=0,688 m ή περίπου 69 cm
Σημειώστε ότι η μάζα του δίσκου δεν επηρεάζει αυτό το αποτέλεσμα.
