Η περιστροφή είναι ένα τυπικό είδος μηχανικής κίνησης που απαντάται συχνά στη φύση και την τεχνολογία. Οποιαδήποτε περιστροφή προκύπτει ως αποτέλεσμα της δράσης κάποιας εξωτερικής δύναμης στο υπό εξέταση σύστημα. Αυτή η δύναμη δημιουργεί τη λεγόμενη ροπή. Τι είναι, από τι εξαρτάται, συζητείται στο άρθρο.
Διαδικασία περιστροφής
Πριν εξετάσουμε την έννοια της ροπής, ας χαρακτηρίσουμε τα συστήματα στα οποία μπορεί να εφαρμοστεί αυτή η έννοια. Το σύστημα περιστροφής προϋποθέτει την παρουσία σε αυτό ενός άξονα γύρω από τον οποίο εκτελείται μια κυκλική κίνηση ή περιστροφή. Η απόσταση από αυτόν τον άξονα έως τα υλικά σημεία του συστήματος ονομάζεται ακτίνα περιστροφής.
Από την άποψη της κινηματικής, η διαδικασία χαρακτηρίζεται από τρεις γωνιακές τιμές:
- γωνία περιστροφής θ (μετρημένη σε ακτίνια);
- γωνιακή ταχύτητα ω (μετρημένη σε ακτίνια ανά δευτερόλεπτο);
- γωνιακή επιτάχυνση α (μετρημένη σε ακτίνια ανά τετραγωνικό δευτερόλεπτο).
Αυτές οι ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους ως εξήςισούται με:
ω=dθ/dt;
α=dω/dt.
Παραδείγματα περιστροφής στη φύση είναι οι κινήσεις των πλανητών στις τροχιές τους και γύρω από τους άξονές τους, οι κινήσεις των ανεμοστρόβιλων. Στην καθημερινή ζωή και την τεχνολογία, η εν λόγω κίνηση είναι χαρακτηριστική για κινητήρες κινητήρα, κλειδιά, γερανούς κατασκευής, ανοιγόμενες πόρτες κ.λπ.
Προσδιορισμός της ροπής δύναμης
Τώρα ας περάσουμε στο πραγματικό θέμα του άρθρου. Σύμφωνα με τον φυσικό ορισμό, η ροπή δύναμης είναι το διανυσματικό γινόμενο του διανύσματος εφαρμογής της δύναμης σε σχέση με τον άξονα περιστροφής και το διάνυσμα της ίδιας της δύναμης. Η αντίστοιχη μαθηματική έκφραση μπορεί να γραφτεί ως εξής:
M¯=[r¯F¯].
Εδώ το διάνυσμα r¯ κατευθύνεται από τον άξονα περιστροφής στο σημείο εφαρμογής της δύναμης F¯.
Σε αυτόν τον τύπο ροπής M¯, η δύναμη F¯ μπορεί να κατευθυνθεί προς οποιαδήποτε κατεύθυνση σε σχέση με την κατεύθυνση του άξονα. Ωστόσο, η συνιστώσα δύναμης παράλληλης άξονα δεν θα δημιουργήσει περιστροφή εάν ο άξονας είναι σταθερά στερεωμένος. Στα περισσότερα προβλήματα της φυσικής, πρέπει να ληφθούν υπόψη οι δυνάμεις F¯, οι οποίες βρίσκονται σε επίπεδα κάθετα στον άξονα περιστροφής. Σε αυτές τις περιπτώσεις, η απόλυτη τιμή της ροπής μπορεί να προσδιοριστεί με τον ακόλουθο τύπο:
|M¯|=|r¯||F¯|sin(β).
Όπου β είναι η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων r¯ και F¯.
Τι είναι η μόχλευση;
Ο μοχλός της δύναμης παίζει σημαντικό ρόλο στον προσδιορισμό του μεγέθους της ροπής δύναμης. Για να καταλάβετε για τι πράγμα μιλάμε, σκεφτείτεεπόμενη φωτογραφία.
Εδώ δείχνουμε κάποια ράβδο μήκους L, η οποία είναι στερεωμένη στο σημείο περιστροφής από ένα από τα άκρα της. Στο άλλο άκρο ασκείται μια δύναμη F που κατευθύνεται σε οξεία γωνία φ. Σύμφωνα με τον ορισμό της ροπής δύναμης, μπορεί κανείς να γράψει:
M=FLsin(180o-φ).
Εμφανίστηκε
Γωνία (180o-φ) επειδή το διάνυσμα L¯ κατευθύνεται από το σταθερό άκρο στο ελεύθερο άκρο. Δεδομένης της περιοδικότητας της τριγωνομετρικής συνάρτησης ημιτόνου, μπορούμε να ξαναγράψουμε αυτήν την ισότητα με την ακόλουθη μορφή:
M=FLsin(φ).
Τώρα ας δώσουμε προσοχή σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο χτισμένο στις πλευρές L, d και F. Εξ ορισμού της ημιτονοειδούς συνάρτησης, το γινόμενο της υποτείνουσας L και του ημιτόνου της γωνίας φ δίνει την τιμή του σκέλους d. Τότε φτάνουμε στην ισότητα:
M=Fd.
Η γραμμική τιμή d ονομάζεται μοχλός δύναμης. Είναι ίσο με την απόσταση από το διάνυσμα δύναμης F¯ στον άξονα περιστροφής. Όπως φαίνεται από τον τύπο, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η έννοια του μοχλού δύναμης κατά τον υπολογισμό της ροπής M. Ο τύπος που προκύπτει λέει ότι η μέγιστη ροπή για κάποια δύναμη F θα συμβεί μόνο όταν το μήκος του διανύσματος ακτίνας r¯ (Το L¯ στο παραπάνω σχήμα) ισούται με το μοχλό δύναμης, δηλαδή, το r¯ και το F¯ θα είναι αμοιβαία κάθετα.
Κατεύθυνση M¯
Δείχθηκε παραπάνω ότι η ροπή είναι ένα διανυσματικό χαρακτηριστικό για ένα δεδομένο σύστημα. Πού κατευθύνεται αυτό το διάνυσμα; Απαντήστε σε αυτήν την ερώτηση όχιείναι ιδιαίτερα δύσκολο αν θυμηθούμε ότι το αποτέλεσμα του γινόμενου δύο διανυσμάτων είναι το τρίτο διάνυσμα, το οποίο βρίσκεται σε άξονα κάθετο στο επίπεδο των αρχικών διανυσμάτων.
Απομένει να αποφασίσουμε εάν η ροπή της δύναμης θα κατευθυνθεί προς τα πάνω ή προς τα κάτω (προς ή μακριά από τον αναγνώστη) σε σχέση με το εν λόγω επίπεδο. Μπορείτε να το προσδιορίσετε είτε με τον κανόνα gimlet είτε χρησιμοποιώντας τον κανόνα του δεξιού χεριού. Εδώ είναι και οι δύο κανόνες:
- Κανόνας του δεξιού χεριού. Εάν τοποθετήσετε το δεξί χέρι με τέτοιο τρόπο ώστε τα τέσσερα δάχτυλά του να κινούνται από την αρχή του διανύσματος r¯ στο άκρο του και μετά από την αρχή του διανύσματος F¯ στο άκρο του, τότε ο αντίχειρας, που προεξέχει, θα υποδεικνύει το κατεύθυνση της στιγμής M¯.
- Κανόνας Gimlet. Εάν η φορά περιστροφής ενός φανταστικού αυλακιού συμπίπτει με την κατεύθυνση της περιστροφικής κίνησης του συστήματος, τότε η μεταφορική κίνηση του αυλακιού θα υποδεικνύει την κατεύθυνση του διανύσματος M¯. Θυμηθείτε ότι περιστρέφεται μόνο δεξιόστροφα.
Και οι δύο κανόνες είναι ίσοι, επομένως ο καθένας μπορεί να χρησιμοποιήσει αυτόν που τον βολεύει.
Κατά την επίλυση πρακτικών προβλημάτων, λαμβάνεται υπόψη η διαφορετική κατεύθυνση της ροπής (πάνω - κάτω, αριστερά - δεξιά) χρησιμοποιώντας τα σημάδια "+" ή "-". Θα πρέπει να θυμόμαστε ότι η θετική φορά της στιγμής M¯ θεωρείται αυτή που οδηγεί στην περιστροφή του συστήματος αριστερόστροφα. Αντίστοιχα, εάν κάποια δύναμη οδηγεί στην περιστροφή του συστήματος προς την κατεύθυνση του ρολογιού, τότε η στιγμή που δημιουργείται από αυτό θα έχει αρνητική τιμή.
Σωματική σημασίαποσότητες M¯
Στη φυσική και τη μηχανική της περιστροφής, η τιμή M¯ καθορίζει την ικανότητα μιας δύναμης ή ενός αθροίσματος δυνάμεων να περιστρέφεται. Δεδομένου ότι ο μαθηματικός ορισμός της ποσότητας M¯ περιέχει όχι μόνο δύναμη, αλλά και το διάνυσμα ακτίνας εφαρμογής της, είναι αυτό που καθορίζει σε μεγάλο βαθμό τη σημειωθείσα περιστροφική ικανότητα. Για να γίνει πιο σαφές για ποια ικανότητα μιλάμε, ακολουθούν μερικά παραδείγματα:
- Κάθε άτομο, τουλάχιστον μία φορά στη ζωή του, προσπάθησε να ανοίξει την πόρτα, όχι κρατώντας τη λαβή, αλλά σπρώχνοντάς την κοντά στους μεντεσέδες. Στην τελευταία περίπτωση, πρέπει να καταβάλετε σημαντική προσπάθεια για να επιτύχετε το επιθυμητό αποτέλεσμα.
- Για να ξεβιδώσετε ένα παξιμάδι από ένα μπουλόνι, χρησιμοποιήστε ειδικά κλειδιά. Όσο πιο μακρύ είναι το κλειδί, τόσο πιο εύκολο είναι να χαλαρώσετε το παξιμάδι.
- Για να νιώσουν τη σημασία του μοχλού δύναμης, προσκαλούμε τους αναγνώστες να κάνουν το ακόλουθο πείραμα: πάρτε μια καρέκλα και προσπαθήστε να την κρατήσετε με το ένα χέρι πάνω στο βάρος, σε μια περίπτωση, ακουμπήστε το χέρι στο σώμα, το άλλο, εκτελέστε την εργασία σε ίσιο χέρι. Το τελευταίο θα αποδειχτεί ένα συντριπτικό έργο για πολλούς, αν και το βάρος της καρέκλας έχει παραμείνει το ίδιο.
Μονάδες ροπής δύναμης
Θα πρέπει επίσης να ειπωθούν λίγα λόγια για τις μονάδες SI στις οποίες μετράται η ροπή. Σύμφωνα με τον τύπο που γράφτηκε για αυτό, μετριέται σε Newton ανά μέτρο (Nm). Ωστόσο, αυτές οι μονάδες μετρούν επίσης το έργο και την ενέργεια στη φυσική (1 Nm=1 joule). Το joule για τη στιγμή M¯ δεν ισχύει επειδή το έργο είναι ένα βαθμωτό μέγεθος, ενώ το M¯ είναι ένα διάνυσμα.
Παρ' όλα αυτάη σύμπτωση των μονάδων της στιγμής της δύναμης με τις μονάδες ενέργειας δεν είναι τυχαία. Η εργασία στην περιστροφή του συστήματος, που γίνεται από τη στιγμή M, υπολογίζεται με τον τύπο:
A=Mθ.
Όπου παίρνουμε ότι το M μπορεί επίσης να εκφραστεί σε τζάουλ ανά ακτίνιο (J/rad).
δυναμική περιστροφής
Στην αρχή του άρθρου, καταγράψαμε τα κινηματικά χαρακτηριστικά που χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν την κίνηση της περιστροφής. Στη δυναμική περιστροφής, η κύρια εξίσωση που χρησιμοποιεί αυτά τα χαρακτηριστικά είναι:
M=Iα.
Η δράση της ροπής M σε ένα σύστημα με ροπή αδράνειας I οδηγεί στην εμφάνιση γωνιακής επιτάχυνσης α.
Αυτός ο τύπος χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό των γωνιακών συχνοτήτων περιστροφής στην τεχνολογία. Για παράδειγμα, γνωρίζοντας τη ροπή ενός ασύγχρονου κινητήρα, η οποία εξαρτάται από τη συχνότητα του ρεύματος στο πηνίο του στάτορα και από το μέγεθος του μεταβαλλόμενου μαγνητικού πεδίου, καθώς και τη γνώση των αδρανειακών ιδιοτήτων του περιστρεφόμενου ρότορα, είναι δυνατό να προσδιοριστεί σε ποια ταχύτητα περιστροφής ω περιστρέφεται ο ρότορας του κινητήρα σε γνωστό χρόνο t.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Ένας μοχλός χωρίς βάρος, μήκους 2 μέτρων, έχει ένα στήριγμα στη μέση. Τι βάρος πρέπει να τοποθετηθεί στο ένα άκρο του μοχλού ώστε να βρίσκεται σε κατάσταση ισορροπίας, εάν στην άλλη πλευρά του στηρίγματος σε απόσταση 0,5 μέτρων από αυτόν βρίσκεται μια μάζα 10 kg;
Προφανώς, η ισορροπία του μοχλού θα έρθει εάν οι ροπές των δυνάμεων που δημιουργούνται από τα φορτία είναι ίσες σε απόλυτη τιμή. Η δύναμη που δημιουργείστιγμή σε αυτό το πρόβλημα, αντιπροσωπεύει το βάρος του σώματος. Οι μοχλοί δύναμης είναι ίσοι με τις αποστάσεις από τα βάρη μέχρι το στήριγμα. Ας γράψουμε την αντίστοιχη ισότητα:
M1=M2=>
m1gd1=m2gd 2 =>
P2=m2g=m1gd 1/ημ.2.
Βάρος P2 θα λάβουμε αν αντικαταστήσουμε τις τιμές m1=10 kg από την προβληματική συνθήκη, d 1=0,5 m, d2=1 μ. Η γραπτή εξίσωση δίνει την απάντηση: P2=49,05 newtons.
