Διαφοροποίηση και ολοκλήρωση: ορισμός, έννοια, μορφές

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-08 04:56

Η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση είναι μια εξίσωση που περιέχει παραγώγους. Οι τελευταίες, αν τηρήσουμε τις μαθηματικές ιδιότητες, χωρίζονται σε συνηθισμένες και ιδιωτικές. Οι παράγωγοι αντιπροσωπεύουν το ρυθμό μεταβολής και η διαφορική εξίσωση περιγράφει τη σχέση μεταξύ μιας ποσότητας που αλλάζει συνεχώς κατά τη διαδικασία επίλυσης, σχηματίζοντας νέες μεταβλητές.

Ένας καθηγητής πανεπιστημίου μπορεί εύκολα να πλοηγηθεί σε πολύπλοκες πράξεις με ολοκληρώματα, να τις μετατρέψει σε ένα ενιαίο σύνολο και στη συνέχεια να αποδείξει τον λογισμό με την αντίστροφη μέθοδο. Ωστόσο, η δυνατότητα γρήγορης ανάκλησης των λεπτομερειών περίπλοκων τύπων δεν είναι διαθέσιμη σε όλους, επομένως συνιστάται να ανανεώσετε τη μνήμη σας ή να ανακαλύψετε νέο υλικό.

Έννοια και κύρια χρήση

Στην επιστημονική βιβλιογραφία, μια παράγωγος ορίζεται ως ο ρυθμός που υπόκειται σε μετασχηματισμό μιας συνάρτησης με βάση μια από τις μεταβλητές της. Η διαφοροποίηση είναι η ουσία του λογισμού, η οποία μπορεί να συγκριθεί με την αρχή της αναζήτησης μιας εφαπτομένης σε ένα σημείο. Όπως γνωρίζετε, το τελευταίο έχει διάφορους τύπους καιαπαιτεί υπολογιστικούς τύπους για την αναζήτηση. Ας υποθέσουμε ότι πρέπει να βρείτε την κλίση της εφαπτομένης στο γράφημα στο σημείο P. Πώς να το κάνετε αυτό; Αρκεί να σχεδιάσουμε μια τοξοειδή λωρίδα μέσα από το καθορισμένο αντικείμενο και να την σηκώσουμε μέχρι να έχουμε μια διαχωριστική γραμμή.

Μια συνάρτηση f στο x ονομάζεται διαφοροποιήσιμη στο σημείο x=a εάν η παράγωγος f '(a) υπάρχει σε κάθε προσδιορισμό του τομέα της. Ας δείξουμε ένα παράδειγμα:

f '(α)=lim (h=0) × f(a + h) – f(a)/h

Για να υποβληθεί η εξίσωση σε διαφοροποίηση και ολοκλήρωση συναρτήσεων έτσι ώστε η θέση της να είναι δυνατή σε οποιοδήποτε σημείο x, δεν πρέπει να διακόπτεται. Δημιουργώντας μια σχηματική εικόνα εκ των προτέρων, μπορείτε να επαληθεύσετε την εγκυρότητα της δήλωσης. Για αυτόν τον λόγο ο τομέας f'(x) ορίζεται από την ύπαρξη των ορίων του.

Υποθέστε ότι το y=f(x) είναι συνάρτηση του x, τότε η παράγωγος της f(x) δίνεται ως dy/dx. Ορίζεται επίσης ως γραμμική εξίσωση, όπου είναι απαραίτητο να βρεθούν τα απαραίτητα δεδομένα για το y.

Ωστόσο, αν ψάχνουμε για την παράγωγο του y στην πρώτη περίπτωση, τότε στην επόμενη περίπτωση θα πρέπει να βρούμε f(x) του x.

d/dx × (f(x)) l_a ή df/dx l_a

Συνεπώς, ο προσδιορισμός του ρυθμού μεταβολής της συνάρτησης f(x) σε σχέση με το x σε ένα σημείο a που βρίσκεται στην επιφάνειά της.

Αν γνωρίζουμε την παράγωγο f', η οποία είναι διαφορίσιμη στο πεδίο ορισμού της, τότε μπορούμε να βρούμε την τιμή της f. Στον ολοκληρωτικό λογισμό, ονομάζουμε f αντιπαράγωγο ή πρωτόγονο της συνάρτησης f'. Η μέθοδος υπολογισμού της είναι γνωστή ως αντι-διαφοροποίηση.ή ενσωμάτωση.

Τύποι και φόρμες

Μια εξίσωση με έναν ή περισσότερους όρους που περιλαμβάνει παραγώγους της εξαρτημένης μεταβλητής σε σχέση με την ανεξάρτητη είναι γνωστή ως διαφορική. Με άλλα λόγια, αποτελείται από ένα σύνολο αριθμητικών τιμών, συνηθισμένων ή ιδιωτικών, που υπόκεινται σε αλλαγές στη διαδικασία της λύσης.

Προς το παρόν, υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι διαφορικών εξισώσεων.

Συνηθισμένο. Μια απλή ισότητα που εξαρτάται άμεσα από μια μεταβλητή:

dy/dx + 5x=5y

Μερικά παράγωγα:

dy/dx + dy/dt=x³-t³

d²y/dx² – c² × d² y/dt²

Υψηλότερος συντελεστής. Αυτό το είδος χαρακτηρίζεται από συμμετοχή στη σειρά της διαφορικής εξίσωσης, όπως φαίνεται στο παρακάτω παράδειγμα, όπου ισούται με 3. Ο αριθμός θεωρείται ο υψηλότερος από τους παρόντες:

d³y/dx^{2 + 5 × dy/dx + y=√x}

Οι συναρτήσεις μπορούν να λάβουν διάφορες μορφές, ωστόσο, είναι προτιμότερο να χρησιμοποιείτε ένα μόνο εισαγωγικό με χαρακτηριστικούς τύπους ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης.

y'=dy/dx

y''=d²y/dx²

y'''=d³y/dx³

Γραμμικό. Η μεταβλητή στην εξίσωση αυξάνεται στη δύναμη του ενός. Το γράφημα αυτού του είδους της συνάρτησης είναι συνήθως μια ευθεία γραμμή. Για παράδειγμα, (3x + 5), αλλά (x³ + 4x^{2) δεν είναι αυτού του τύπου επειδή απαιτεί διαφορετική λύση.}

dy/dx + xy=5x

Μη γραμμικό. Οποιαδήποτε ενοποίηση και διαφοροποίηση σειρών με διπλούς τρόπους απόκτησης ισότητας - ανατρέξτε στην εξεταζόμενη μορφή:

d²y/dx^{2- ln y=10}

Μέθοδοι για γρήγορη απόκτηση αποτελεσμάτων

Δεν αρκεί να κοιτάξετε τη φόρμα για να καταλάβετε πώς να αντεπεξέλθετε και να εφαρμόσετε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν στην πράξη. Επί του παρόντος, υπάρχουν διάφοροι τρόποι επίλυσης της διαφορικής εξίσωσης.

Αυτό είναι:

1. Διαχωρισμός μεταβλητών. Εκτελείται όταν το παράδειγμα μπορεί να σχεδιαστεί ως dy / dx=f(y) g(x). Η ιδιαιτερότητα έγκειται στο γεγονός ότι η f και η g είναι συναρτήσεις που ανήκουν στις τιμές τους. Λόγω αυτού, το πρόβλημα πρέπει να μετατραπεί: 1/ f(y) dy=g(x) dx. Και μόνο τότε πηγαίνετε στο επόμενο στοιχείο.
2. Μέθοδος συντελεστή ολοκλήρωσης. Χρησιμοποιείται όταν το παράδειγμα είναι dy / dx + p(x) y=q(x), όπου τα p και q είναι συναρτήσεις μόνο του x.

Οι διαφορικοί υπολογισμοί πρώτης τάξης μοιάζουν με y'+ P(x) y=Q(x) επειδή περιέχουν τις απαραίτητες συναρτήσεις και την παράγωγο του y. Η επακόλουθη αύξηση του ονόματος λειτουργεί με την ίδια αρχή. Για παράδειγμα, οι παράγωγοι μιας άγνωστης συνάρτησης μπορεί να αποδειχθούν ιδιωτικές και συνηθισμένες.

Αόριστα ολοκληρώματα

Αν σας δίνεται η ταχύτητα του ποδηλάτου σας όταν πηγαίνετε για βόλτα, ανάλογα με την ώρα - μπορείτε να υπολογίσετε την απόσταση που διανύσατε χρησιμοποιώντας τα λεπτά που ξοδέψατε; Αυτό το έργο μοιάζει με ένα συντριπτικό βάρος, αλλά τα ολοκληρώματαβοηθήστε να αντιμετωπίσετε αυτές τις ιδιότητες όσο το δυνατόν πιο αποτελεσματικά, λαμβάνοντας το αποτέλεσμα.

Η επιστημονική βιβλιογραφία τονίζει ότι αποτελούν την άλλη πλευρά της διαφοροποίησης. Πράγματι, η ολοκλήρωση είναι μια μέθοδος προσθήκης πραγμάτων. Συνδέει τα σωματίδια μεταξύ τους, δημιουργώντας κάτι νέο - το σύνολο. Το κύριο πράγμα σε οποιοδήποτε παρόμοιο παράδειγμα είναι να βρούμε αόριστα ολοκληρώματα και να ελέγξουμε τα αποτελέσματα της ολοκλήρωσης με διαφοροποίηση. Αυτό θα σας βοηθήσει να αποφύγετε περιττά λάθη.

Αν πρόκειται να βρείτε το εμβαδόν οποιασδήποτε τυχαίας καμπύλης, για παράδειγμα, y=f(x), τότε χρησιμοποιήστε αυτήν τη μέθοδο. Να θυμάστε ότι μόνο η προσοχή θα σας σώσει από ένα λάθος.

Τύπες για διάλυμα

Έχοντας λοιπόν εξοικειωθεί με τη βασική έννοια της διαφοροποίησης και της ολοκλήρωσης - αντίστροφος υπολογισμός μέσω συναρτήσεων, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε εν συντομία μερικά από τα βασικά. Παρατίθενται παρακάτω.

Βασικοί κανόνες υπολογισμού

Ολοκληρωμένες συναρτήσεις όπως η f (x) μπορούν εύκολα να μεταφραστούν σε ισότητα εάν η εξίσωση εκφραστεί ως:

∫ f(x) dx=F(x) + C.

Εδώ το F (x) ονομάζεται αντιπαράγωγο ή πρωτόγονο. f(x) - ολοκλήρωμα. dx - λειτουργεί ως πρόσθετος αριθμητικός παράγοντας. Το C είναι μια ολοκληρωμένη ή αυθαίρετη σταθερά. x - ενεργεί ανάλογα με την πλευρά της ισότητας.

Από την παραπάνω δήλωση, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η ολοκλήρωση και η διαφοροποίηση των σειρών είναι δύο αντίθετες διαδικασίες. Μαζί λειτουργούν ως ένας από τους τύπους επιχειρήσεων που στοχεύουνλήψη του τελικού αποτελέσματος στην ίδια την εξίσωση.

Τώρα που γνωρίζουμε περισσότερα για τα χαρακτηριστικά του λογισμού, συνιστάται να επισημάνουμε τις πρωταρχικές διαφορές που είναι απαραίτητες για περαιτέρω κατανόηση:

1. Η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση μπορούν να ικανοποιούν ταυτόχρονα τους κανόνες της γραμμικότητας.
2. Οι πράξεις στοχεύουν στην εύρεση της πιο ακριβούς λύσης, ωστόσο, συνεπάγονται περιορισμούς για τον προσδιορισμό τους.
3. Κατά τη διαφοροποίηση ενός παραδείγματος πολυωνύμου, το αποτέλεσμα είναι 1 μικρότερο από το βαθμό της συνάρτησης, ενώ στην περίπτωση της ολοκλήρωσης, το αποτέλεσμα που προκύπτει μετατρέπεται σε άλλο, ενεργώντας με τον αντίθετο τρόπο.
4. Οι δύο τύποι λύσεων, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, είναι αντίθετοι μεταξύ τους. Υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τους τύπους ολοκλήρωσης και διαφοροποίησης.
5. Η παράγωγος οποιασδήποτε συνάρτησης είναι μοναδική, αλλά, από την άλλη πλευρά, δύο ολοκληρώματα, σε ένα παράδειγμα, μπορεί να διαφέρουν κατά μια σταθερά. Αυτός είναι ο κανόνας που παρουσιάζει την κύρια δυσκολία κατά την εκτέλεση των εργασιών.
6. Όταν ασχολούμαστε με παράγωγα, μπορούμε να εξετάσουμε τα παράγωγα σε ένα σημείο. Όπως και τα ολοκληρώματα, παρέχουν συναρτήσεις σε ένα διάστημα.
7. Γεωμετρικά, μια παράγωγος περιγράφει τον ρυθμό μεταβολής μιας ποσότητας σε σχέση με μια άλλη, ενώ το αόριστο ολοκλήρωμα αντιπροσωπεύει μια καμπύλη. Είναι διατεταγμένο σε παράλληλη κατεύθυνση και έχει επίσης εφαπτόμενες όταν οδοντωτές γραμμές τέμνονται με άλλες ορθογώνιες στον άξονα που αντιπροσωπεύει τη μεταβλητή.

Μέθοδοι προσθήκης

Εάν αντιμετωπίζετε προβλήματα με τον τρόπο με τον οποίο εφαρμόζεται η άθροισημαθηματικές πράξεις διαφοροποίησης της ολοκλήρωσης, θα πρέπει να εξοικειωθείτε προσεκτικά με τους βασικούς τύπους. Αποτελούν αξίωμα στη διδασκαλία, επομένως χρησιμοποιούνται παντού. Λάβετε υπόψη ότι όταν εφαρμόζονται στα δικά σας παραδείγματα, οι τύποι είναι σωστοί μόνο εάν ξεκινούν με i=1.

Λύση κομμάτι-κομμάτι

Μερικές φορές μια συνάρτηση απαιτεί μια μη τυπική προσέγγιση για να φτάσει στο τελικό αποτέλεσμα και να ικανοποιήσει τις προϋποθέσεις ισότητας. Ο όρος ολοκλήρωση και διαφοροποίηση των σειρών βασίζεται στην ταυτότητα, η οποία εκφράζεται με: ∫ f(x) g'(x) dx=f (x) g(x) - ∫ f'(x) g(x) dx

Ο αλγόριθμος της εξεταζόμενης τεχνικής μοιάζει με αυτό:

1. Εκφράστε μια ολοκληρωμένη συνάρτηση ως γινόμενο δύο παραστάσεων. Ας συμβολίσουμε το ένα από αυτά f (x), το άλλο g' (x).
2. Τώρα προχωρήστε στον προσδιορισμό δύο άλλων τύπων που μπορούν να εφαρμοστούν στην πρώτη παράγραφο. Η γραμμή θα αλλάξει. Με διαφοροποίηση, μετασχηματίζουμε την f '(x) για να λάβουμε τις εκφράσεις f(x). Ας προχωρήσουμε στο άλλο μέρος - το g (x) είναι ενσωματωμένο στο g'(x). Σε αυτήν την περίπτωση, το dx παραμένει στην αρχική του μορφή και δεν χρησιμοποιείται.
3. Εισαγάγετε τις ληφθείσες εκφράσεις στον τύπο σε μέρη. Αυτό ολοκληρώνει τη διαδικασία και τώρα μπορείτε να προσπαθήσετε να αξιολογήσετε το νέο ολοκλήρωμα στα δεξιά, καθώς έχει γίνει πολύ πιο εύκολο να το κατανοήσετε.

Νωρίτερα, αυτή η μέθοδος περιλάμβανε ολοκλήρωση από μέρη χρησιμοποιώντας μια μήτρα. Η μέθοδος ήταν επιτυχής, αλλά πήρε πολύ χρόνο, γιατί προς το παρόν χρησιμοποιείται λιγότερο συχνά, σε ειδικάπεριπτώσεις όπου είναι σχεδόν αδύνατο να βρεθεί λύση. Για να το κάνετε αυτό, απλώς βάλτε τα f και g' στην πρώτη γραμμή και υπολογίστε τα f ' και g στη δεύτερη.

Γιατί χρειαζόμαστε ενσωμάτωση ανά εξαρτήματα;

Οι καταστάσεις συμβαίνουν διαφορετικά. Μερικές φορές οι λύσεις είναι πολύ πιο δύσκολες από ό,τι με την πρώτη ματιά. Ως εκ τούτου, είναι απαραίτητο να επισημανθούν τα κύρια προβλήματα που συναντώνται συχνά κατά την ολοκλήρωση και τη διαφοροποίηση των σειρών ισχύος ανά όρο. Εξετάστε δύο βασικούς κανόνες.

Πρώτον, το τμήμα που σκοπεύουμε να ενσωματώσουμε, δηλαδή αυτό που επιλέχθηκε για το g '(x), πρέπει να είμαστε σε θέση να μετασχηματίσουμε. Είναι σημαντικό να το κάνετε αυτό όσο το δυνατόν γρηγορότερα. Το θέμα είναι ότι η σύνθετη ολοκλήρωση για το g σπάνια οδηγεί σε βελτιωμένο ολοκλήρωμα, αυξάνοντας την πολυπλοκότητα. Όλα αυτά επηρεάζουν αρνητικά την ελευθερία των πράξεών μας κατά τη λήψη αποφάσεων και εξαρτώνται επίσης από δυνάμεις, ημίτονο και συνημίτονο. Μακάρι να χρειαστεί χρόνος για να βρείτε τη σωστή απάντηση, αλλά να οδηγήσετε στη σωστή και όχι στη μπερδεμένη.

Δεύτερον, όλα τα άλλα, δηλαδή το τμήμα που σκοπεύουμε να διαφοροποιήσουμε και να συμβολίσουμε F, θα πρέπει να ξεχωρίζουν αισθητά μετά τον μετασχηματισμό. Μετά από μια απλή διαδικασία, θα παρατηρήσουμε ότι το νέο ολοκλήρωμα θα είναι πιο απλοποιημένο από τον προκάτοχό του.

Έτσι, όταν συνδυάζουμε δύο κανόνες και τους χρησιμοποιούμε για να λύσουμε, έχουμε την ευκαιρία να χρησιμοποιήσουμε τη διαφοροποίηση και την ολοκλήρωση των συναρτήσεων ισχύος, κάτι που είναι λογικό να ληφθεί υπόψη σε μέρη.

Υπάρχει επίσης ένας τρόπος για να αφαιρέσετε το x, ο οποίος σας επιτρέπει να χρησιμοποιείτε αποτελεσματικά μετασχηματισμούς σε διάφορακαταστάσεις. Για παράδειγμα, μπορούμε εύκολα να ενσωματώσουμε πολλαπλασιάζοντας μια συνάρτηση με ένα πολυώνυμο, το οποίο ακυρώνουμε με διαφοροποίηση.

∫ x^{2 sin(3x) dx}

∫ x^{7 cos(x) dx}

∫x⁴ e^{4x dx}

Για f παίρνουμε τη δύναμη του x (σε μια γενικότερη περίπτωση, ένα πολυώνυμο), και χρησιμοποιούμε επίσης g’. Προφανώς, κάθε διαφοροποίηση μειώνει τον βαθμό του αριθμού κατά ένα, επομένως, εάν στο παράδειγμα είναι αρκετά υψηλός, εφαρμόστε την ολοκλήρωση όρου προς όρο αρκετές φορές. Αυτό θα σας βοηθήσει να εξοικονομήσετε χρόνο.

Πολυπλοκότητα ορισμένων εξισώσεων

Σε αυτή την περίπτωση μιλάμε για διαφοροποίηση και ενοποίηση σειρών ισχύος. Η συνάρτηση μπορεί να θεωρηθεί σαν x είναι η περιοχή του διαστήματος σύγκλισης των σημείων. Είναι αλήθεια ότι η μέθοδος δεν είναι κατάλληλη για όλους. Το γεγονός είναι ότι οποιεσδήποτε συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν ως σειρές ισχύος, μετατρέποντας σε γραμμική δομή και αντίστροφα.

Για παράδειγμα, δίνεται e_{x. Μπορούμε να το εκφράσουμε ως εξίσωση, η οποία είναι στην πραγματικότητα απλώς ένα άπειρο πολυώνυμο. Η σειρά ισχύος είναι εύκολο να δει κανείς με υπολογισμό, αλλά δεν είναι πάντα αποτελεσματική.}

Ορισμένο ολοκλήρωμα ως όριο αθροίσματος

Δείτε την ακόλουθη γραφική ενοποίηση και διαφοροποίηση.

Για να κατανοήσετε εύκολα μια σύνθετη συνάρτηση, αρκεί να την κατανοήσετε διεξοδικά. Ας υπολογίσουμε την περιοχή PRSQP μεταξύ της καμπύλης y=f (x), του άξονα x και των συντεταγμένων "x=a" και "x=b". Τώρα διαιρέστε το διάστημα [a, b] σε 'n' ίσα υποδιαστήματα, που συμβολίζονται με το ακόλουθοέτσι:

[x₀, x₁], [x₁, x ₂], [x₂, x₃]…. [x_{n - 1}, x_].

Όπου x₀=a, x₁=a + h, x₂=a + 2h, x₃=a + 3h….. x_r=a + rh και x =b=a + nh ή n=(b - a) / h. (ένας).

Σημειώστε ότι ως n → ∞ h → 0.

Ο θεωρούμενος χώρος PRSQP είναι το άθροισμα όλων των υποτομέων "n", όπου ο καθένας ορίζεται σε μια συγκεκριμένη μετριότητα [x_r-1, x_{r], r=1, 2, 3…n. Με τη σωστή προσέγγιση, αυτές οι λειτουργίες μπορούν να διαφοροποιηθούν και να ενσωματωθούν για μια γρήγορη λύση.}

Κοιτάξτε τώρα το ABDM στην εικόνα. Με βάση αυτό, συνιστάται να κάνετε την ακόλουθη παρατήρηση σχετικά με τις περιοχές: (ABLC) < (ABDCA) < (ABDM).

Σημειώστε επίσης ότι όταν h → 0 ή x_r - x_{r-1 → 0, και οι τρεις περιοχές γίνονται σχεδόν ίσες μεταξύ τους φίλος. Επομένως, έχουμε:}

s =h [f(x₀) + f(x₁) + f (x₂) + …. f(x_{n – 1})]=h _r=0∑^n–1 f(x r_{) (2)}

ή S =h [f(x₁) + f(x₂) + f(x₃) + …. f(x)]=h _r=1∑ f(x_{r) (3)}

Σε αυτήν την περίπτωση, τα s και S δηλώνουν το άθροισμα των εμβαδών όλων των κάτω και άνω ορθογωνίων που υψώνονται πάνω από τα διαστήματα [х _r–1, x_{r] για r=1, 2, 3, …, n αντίστοιχα. Για να το θέσουμε σε προοπτική, η εξίσωση (1) μπορεί να ξαναγραφτεί ωςφόρμα:}

s < περιοχή περιοχής (PRSQP) < S_{… (4)}

Επιπλέον, θεωρείται ότι οι οριακές τιμές (2) και (3) είναι οι ίδιες και στις δύο περιπτώσεις, και μόνο η περιοχή κάτω από την καμπύλη είναι κοινή. Ως αποτέλεσμα, έχουμε:

lim_{n → ∞} S =lim_{n → ∞} s=περιοχές PRSQP=∫_a^{b f(x) dx … (5)}

Εμβαδόν είναι επίσης το όριο του διαστήματος μεταξύ των ορθογωνίων κάτω από την καμπύλη και πάνω από την καμπύλη. Για ευκολία, θα πρέπει να δώσετε προσοχή στο ύψος του σχήματος, ίσο με την καμπύλη στο αριστερό άκρο κάθε υποδιαστήματος. Επομένως, η εξίσωση ξαναγράφεται στην τελική έκδοση:

∫_a^b f(x) dx=lim _{→ ∞h [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

ή ∫_a^b f(x) dx=(b – a) lim_{n → ∞(1/n) [f(a) + f(a + h) + …. + f(a + {n - 1}h)]}

Συμπέρασμα

Η διαφοροποίηση και η ολοκλήρωση διαφέρουν μεταξύ τους λόγω ενός αριθμού ιδιοτήτων, τύπων και αντίθετων αλλαγών. Το ένα δεν μπορεί να μεταμορφωθεί στο άλλο χωρίς βοήθεια. Εάν η διαφοροποίηση βοηθά στην εύρεση της παραγώγου, τότε η ολοκλήρωση εκτελεί μια εντελώς διαφορετική ενέργεια. Προσθέτει μερικά μέρη, μπορεί να βοηθήσει με βαθμούς μειώνοντάς τα ή να βελτιώσει το παράδειγμα απλοποιώντας.

Χρησιμοποιείται επίσης για τον έλεγχο διαφοροποιημένων εξισώσεων. Δρουν δηλαδή ως μια ενιαία οντότητα που δεν μπορεί να συνυπάρξει χωριστά, αφού αλληλοσυμπληρώνονται. Εφαρμόζοντας τους κανόνες, γνωρίζοντας πολλές τεχνικές, τώρα είναι σίγουρο ότι θα λύσετεπροκλητικές εργασίες.