Ο νόμος της διατήρησης της ορμής και της γωνιακής ορμής: ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Όταν πρέπει να λύσετε προβλήματα στη φυσική σχετικά με την κίνηση των αντικειμένων, συχνά αποδεικνύεται χρήσιμο να εφαρμόζετε τον νόμο της διατήρησης της ορμής. Ποια είναι η ορμή για τη γραμμική και κυκλική κίνηση του σώματος και ποια είναι η ουσία του νόμου διατήρησης αυτής της τιμής, συζητείται στο άρθρο.

Η έννοια της γραμμικής ορμής

Ιστορικά δεδομένα δείχνουν ότι για πρώτη φορά αυτή η αξία εξετάστηκε στα επιστημονικά του έργα από τον Galileo Galilei στις αρχές του 17ου αιώνα. Στη συνέχεια, ο Ισαάκ Νεύτων μπόρεσε να ενσωματώσει αρμονικά την έννοια της ορμής (ένα πιο σωστό όνομα για την ορμή) στην κλασική θεωρία της κίνησης των αντικειμένων στο διάστημα.

Δηλώστε την ορμή ως p¯, τότε ο τύπος για τον υπολογισμό της θα γραφτεί ως:

p¯=mv¯.

Εδώ m είναι η μάζα, v¯ είναι η ταχύτητα (διανυσματική τιμή) της κίνησης. Αυτή η ισότητα δείχνει ότι το μέγεθος της κίνησης είναι το χαρακτηριστικό ταχύτητας ενός αντικειμένου, όπου η μάζα παίζει το ρόλο του πολλαπλασιαστικού παράγοντα. Αριθμός κίνησηςείναι ένα διανυσματικό μέγεθος που δείχνει προς την ίδια κατεύθυνση με την ταχύτητα.

Διαισθητικά, όσο μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα κίνησης και η μάζα του σώματος, τόσο πιο δύσκολο είναι να το σταματήσεις, δηλαδή τόσο μεγαλύτερη είναι η κινητική ενέργεια που έχει.

Η ποσότητα της κίνησης και η μεταβολή της

Μπορείτε να μαντέψετε ότι για να αλλάξετε την τιμή p¯ του σώματος, πρέπει να ασκήσετε κάποια δύναμη. Αφήστε τη δύναμη F¯ να δράσει κατά το χρονικό διάστημα Δt, τότε ο νόμος του Νεύτωνα μας επιτρέπει να γράψουμε την ισότητα:

F¯Δt=ma¯Δt; επομένως F¯Δt=mΔv¯=Δp¯.

Η τιμή ίση με το γινόμενο του χρονικού διαστήματος Δt και της δύναμης F¯ ονομάζεται ώθηση αυτής της δύναμης. Εφόσον αποδεικνύεται ότι είναι ίση με την αλλαγή της ορμής, η τελευταία ονομάζεται συχνά ορμή, υποδηλώνοντας ότι κάποια εξωτερική δύναμη F¯ τη δημιούργησε.

Έτσι, ο λόγος για την αλλαγή της ορμής είναι η ορμή της εξωτερικής δύναμης. Η τιμή του Δp¯ μπορεί να οδηγήσει τόσο σε αύξηση της τιμής του p¯ εάν η γωνία μεταξύ F¯ και p¯ είναι οξεία, όσο και σε μείωση του συντελεστή p¯ εάν αυτή η γωνία είναι αμβλεία. Οι απλούστερες περιπτώσεις είναι η επιτάχυνση του σώματος (η γωνία μεταξύ F¯ και p¯ είναι μηδέν) και η επιβράδυνσή του (η γωνία μεταξύ των διανυσμάτων F¯ και p¯ είναι 180o).

Όταν διατηρείται η ορμή: νόμος

Αν το σύστημα του σώματος δεν είναιενεργούν εξωτερικές δυνάμεις και όλες οι διεργασίες σε αυτό περιορίζονται μόνο από τη μηχανική αλληλεπίδραση των συστατικών του, τότε κάθε στοιχείο της ορμής παραμένει αμετάβλητο για αυθαίρετα μεγάλο χρονικό διάστημα. Αυτός είναι ο νόμος διατήρησης της ορμής των σωμάτων, ο οποίος γράφεται μαθηματικά ως εξής:

p¯=∑_ip_{i¯=const or}

∑_ip_ix=const; ∑_ip_iy=const; ∑_ip_{iz=συνεχ.}

Ο δείκτης i είναι ένας ακέραιος αριθμός που απαριθμεί το αντικείμενο του συστήματος και οι δείκτες x, y, z περιγράφουν τις συνιστώσες της ορμής για κάθε έναν από τους άξονες συντεταγμένων στο καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα.

Στην πράξη, είναι συχνά απαραίτητο να λυθούν μονοδιάστατα προβλήματα για τη σύγκρουση σωμάτων, όταν είναι γνωστές οι αρχικές συνθήκες και είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η κατάσταση του συστήματος μετά την κρούση. Σε αυτή την περίπτωση, η ορμή διατηρείται πάντα, κάτι που δεν μπορεί να ειπωθεί για την κινητική ενέργεια. Το τελευταίο πριν και μετά την κρούση θα παραμείνει αμετάβλητο μόνο σε μία περίπτωση: όταν υπάρχει μια απολύτως ελαστική αλληλεπίδραση. Για αυτήν την περίπτωση σύγκρουσης δύο σωμάτων που κινούνται με ταχύτητες v₁ και v_{2, ο τύπος διατήρησης της ορμής θα έχει τη μορφή:}

μ₁ v₁ + m₂ v ₂=m₁ u₁ + m₂ u 2_.

Εδώ, οι ταχύτητες u₁ και u_{2 χαρακτηρίζουν την κίνηση των σωμάτων μετά την κρούση. Σημειώστε ότι σε αυτή τη μορφή του νόμου διατήρησης, είναι απαραίτητο να ληφθεί υπόψη το πρόσημο των ταχυτήτων: εάν κατευθύνονται η μία προς την άλλη, τότε θα πρέπει να ληφθεί μίαθετικό και το άλλο αρνητικό.}

Για μια τέλεια ανελαστική σύγκρουση (δύο σώματα κολλούν μεταξύ τους μετά την πρόσκρουση), ο νόμος διατήρησης της ορμής έχει τη μορφή:

μ₁ v₁ + m₂ v ₂=(m₁+ m_2)u.

Λύση του προβλήματος σχετικά με τον νόμο της διατήρησης του p¯

Ας λύσουμε το εξής πρόβλημα: δύο μπάλες κυλούν η μία προς την άλλη. Οι μάζες των σφαιρών είναι ίδιες και οι ταχύτητες τους είναι 5 m/s και 3 m/s. Αν υποθέσουμε ότι υπάρχει μια απολύτως ελαστική σύγκρουση, είναι απαραίτητο να βρούμε τις ταχύτητες των σφαιρών μετά από αυτήν.

Χρησιμοποιώντας τον νόμο διατήρησης της ορμής για τη μονοδιάστατη περίπτωση και λαμβάνοντας υπόψη ότι η κινητική ενέργεια διατηρείται μετά την κρούση, γράφουμε:

v_{1 -} v₂=u₁ + u _2;

v₁² + v₂^2=u12 ^{+ u}22^.

Εδώ μειώσαμε αμέσως τις μάζες των σφαιρών λόγω της ισότητάς τους και λάβαμε επίσης υπόψη το γεγονός ότι τα σώματα κινούνται το ένα προς το άλλο.

Είναι ευκολότερο να συνεχίσετε την επίλυση του συστήματος εάν αντικαταστήσετε γνωστά δεδομένα. Παίρνουμε:

5 - 3 - u₂=u_1;

5²+ 3²=u₁²+ u₂^2.

Αντικαθιστώντας u_{1 στη δεύτερη εξίσωση, παίρνουμε:}

2 - u₂=u_1;

34=(2 - u₂)²+u₂ 2^{=4 - 4u}2 _{+ 2u}22^{; ως εκ τούτου,u}22^{- 2u}2 _{- 15=0.}

Πήραμε την κλασική τετραγωνική εξίσωση. Το λύνουμε μέσω της διάκρισης, παίρνουμε:

D=4 - 4(-15)=64.

u_{2=(2 ± 8) / 2=(5; -3) m/c.}

Έχουμε δύο λύσεις. Αν τα αντικαταστήσουμε στην πρώτη παράσταση και ορίσουμε u₁, τότε λαμβάνουμε την ακόλουθη τιμή: u₁=-3 m/s, u ₂=5 m/s; u₁=5 m/s, u_{2=-3 m/s. Το δεύτερο ζεύγος αριθμών δίνεται στην συνθήκη του προβλήματος, επομένως δεν αντιστοιχεί στην πραγματική κατανομή των ταχυτήτων μετά την κρούση.}

Έτσι, απομένει μόνο μία λύση: u₁=-3 m/s, u_{2=5 m/s. Αυτό το περίεργο αποτέλεσμα σημαίνει ότι σε μια κεντρική ελαστική σύγκρουση, δύο μπάλες ίσης μάζας απλώς ανταλλάσσουν τις ταχύτητές τους.}

Στιγμή ορμής

Όλα όσα ειπώθηκαν παραπάνω αναφέρονται στον γραμμικό τύπο κίνησης. Ωστόσο, αποδεικνύεται ότι παρόμοιες ποσότητες μπορούν να εισαχθούν και στην περίπτωση κυκλικής μετατόπισης σωμάτων γύρω από έναν συγκεκριμένο άξονα. Η γωνιακή ορμή, η οποία ονομάζεται επίσης γωνιακή ορμή, υπολογίζεται ως το γινόμενο του διανύσματος που συνδέει το υλικό σημείο με τον άξονα περιστροφής και την ορμή αυτού του σημείου. Δηλαδή, λαμβάνει χώρα ο τύπος:

L¯=r¯p¯, όπου p¯=mv¯.

Η ορμή, όπως το p¯, είναι ένα διάνυσμα που κατευθύνεται κάθετα στο επίπεδο που είναι χτισμένο στα διανύσματα r¯ και p¯.

Η τιμή του L¯ είναι ένα σημαντικό χαρακτηριστικό ενός περιστρεφόμενου συστήματος, καθώς καθορίζει την ενέργεια που είναι αποθηκευμένη σε αυτό.

Ροπή ορμής και νόμος διατήρησης

Η γωνιακή ορμή διατηρείται εάν δεν ασκούνται εξωτερικές δυνάμεις στο σύστημα (συνήθως λένε ότι δεν υπάρχει ροπή δυνάμεων). Η έκφραση της προηγούμενης παραγράφου, μέσω απλών μετασχηματισμών, μπορεί να γραφτεί με μια μορφή πιο βολική για εξάσκηση:

L¯=Iω¯, όπου I=mr2 είναι η ροπή αδράνειας του υλικού σημείου, ω¯ είναι η γωνιακή ταχύτητα.

Η ροπή αδράνειας I, που εμφανίστηκε στην έκφραση, έχει ακριβώς την ίδια σημασία για την περιστροφή με τη συνήθη μάζα για γραμμική κίνηση.

Αν υπάρχει κάποια εσωτερική αναδιάταξη του συστήματος, στην οποία αλλάζω, τότε και το ω¯ δεν παραμένει σταθερό. Επιπλέον, η αλλαγή και στα δύο φυσικά μεγέθη συμβαίνει με τέτοιο τρόπο ώστε η παρακάτω ισότητα παραμένει έγκυρη:

I₁ ω₁¯=I₂ ω _2¯.

Αυτός είναι ο νόμος διατήρησης της γωνιακής ορμής L¯. Η εκδήλωσή του παρατηρήθηκε από κάθε άτομο που παρακολούθησε τουλάχιστον μία φορά μπαλέτο ή καλλιτεχνικό πατινάζ, όπου οι αθλητές εκτελούν πιρουέτες με περιστροφή.