Τι είναι ο κύβος και τι διαγώνιες έχει
Ο κύβος (κανονικό πολύεδρο ή εξάεδρο) είναι μια τρισδιάστατη φιγούρα, κάθε όψη είναι ένα τετράγωνο, στο οποίο, όπως γνωρίζουμε, όλες οι πλευρές είναι ίσες. Η διαγώνιος ενός κύβου είναι ένα τμήμα που διέρχεται από το κέντρο του σχήματος και συνδέει συμμετρικές κορυφές. Ένα κανονικό εξάεδρο έχει 4 διαγώνιους και θα είναι όλες ίσες. Είναι πολύ σημαντικό να μην συγχέουμε τη διαγώνιο του ίδιου του σχήματος με τη διαγώνιο του προσώπου του ή το τετράγωνο που βρίσκεται στη βάση του. Η διαγώνιος της όψης του κύβου διέρχεται από το κέντρο της όψης και συνδέει τις απέναντι κορυφές του τετραγώνου.
Ο τύπος για την εύρεση της διαγωνίου ενός κύβου
Η διαγώνιος ενός κανονικού πολυέδρου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας έναν πολύ απλό τύπο που πρέπει να θυμόμαστε. D=a√3, όπου το D δηλώνει τη διαγώνιο ενός κύβου και είναι μια ακμή. Ας δώσουμε ένα παράδειγμα ενός προβλήματος όπου είναι απαραίτητο να βρείτε μια διαγώνιο εάν είναι γνωστό ότι το μήκος της άκρης της είναι 2 εκ. Εδώ όλα είναι απλά D=2√3, δεν χρειάζεται καν να μετρήσετε τίποτα. Στο δεύτερο παράδειγμα, αφήστε την άκρη του κύβου να είναι √3 cm, τότε παίρνουμεD=√3√3=√9=3. Απάντηση: Το D είναι 3 cm.
Ο τύπος για την εύρεση της διαγωνίου μιας όψης κύβου
Diago
Τα
τελικά πρόσωπα μπορούν επίσης να βρεθούν από τον τύπο. Υπάρχουν μόνο 12 διαγώνιοι που βρίσκονται στα πρόσωπα και είναι όλες ίσες μεταξύ τους. Τώρα θυμηθείτε d=a√2, όπου d είναι η διαγώνιος του τετραγώνου και είναι επίσης η άκρη του κύβου ή η πλευρά του τετραγώνου. Είναι πολύ εύκολο να καταλάβει κανείς από πού προήλθε αυτή η φόρμουλα. Άλλωστε, οι δύο πλευρές του τετραγώνου και η διαγώνιος σχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Σε αυτό το τρίο, η διαγώνιος παίζει το ρόλο της υποτείνουσας και οι πλευρές του τετραγώνου είναι τα πόδια, τα οποία έχουν το ίδιο μήκος. Θυμηθείτε το Πυθαγόρειο θεώρημα και όλα θα μπουν αμέσως στη θέση τους. Τώρα το πρόβλημα: η άκρη του εξάεδρου είναι √8 cm, πρέπει να βρείτε τη διαγώνιο της όψης του. Εισάγουμε στον τύπο και παίρνουμε d=√8 √2=√16=4. Απάντηση: η διαγώνιος της όψης του κύβου είναι 4 cm.
Αν η διαγώνιος της όψης του κύβου είναι γνωστή
Σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, μας δίνεται μόνο η διαγώνιος της όψης ενός κανονικού πολυέδρου, η οποία ισούται, ας πούμε, με √2 cm, και πρέπει να βρούμε τη διαγώνιο του κύβου. Ο τύπος για την επίλυση αυτού του προβλήματος είναι ελαφρώς πιο περίπλοκος από τον προηγούμενο. Αν γνωρίζουμε το d, τότε μπορούμε να βρούμε την άκρη του κύβου με βάση τον δεύτερο τύπο μας d=a√2. Παίρνουμε a=d/√2=√2/√2=1cm (αυτή είναι η άκρη μας). Και αν αυτή η τιμή είναι γνωστή, τότε δεν θα είναι δύσκολο να βρεθεί η διαγώνιος του κύβου: D=1√3=√3. Έτσι λύσαμε το πρόβλημά μας.
Εάν η επιφάνεια είναι γνωστή
Επόμενοο αλγόριθμος λύσης βασίζεται στην εύρεση της διαγωνίου κατά μήκος της επιφάνειας του κύβου. Ας υποθέσουμε ότι είναι 72cm2. Αρχικά, ας βρούμε το εμβαδόν ενός προσώπου και είναι συνολικά 6. Άρα, το 72 πρέπει να διαιρεθεί με το 6, παίρνουμε 12 cm2. Αυτή είναι η περιοχή του ενός προσώπου. Για να βρείτε την άκρη ενός κανονικού πολυέδρου, πρέπει να θυμάστε τον τύπο S=a2, άρα a=√S. Αντικαταστήστε και λάβετε a=√12 (ακμή κύβου). Και αν γνωρίζουμε αυτήν την τιμή, τότε δεν είναι δύσκολο να βρούμε τη διαγώνιο D=a√3=√12 √3=√36=6. Απάντηση: η διαγώνιος ενός κύβου είναι 6 cm2.
Αν το μήκος των άκρων του κύβου είναι γνωστό
Υπάρχουν περιπτώσεις που στο πρόβλημα δίνεται μόνο το μήκος όλων των άκρων του κύβου. Στη συνέχεια, πρέπει να διαιρέσετε αυτήν την τιμή με το 12. Αυτό είναι πόσες πλευρές υπάρχουν σε ένα κανονικό πολύεδρο. Για παράδειγμα, αν το άθροισμα όλων των ακμών είναι 40, τότε η μία πλευρά θα είναι ίση με 40/12=3, 333. Εισαγάγετε στον πρώτο μας τύπο και λάβετε την απάντηση!
