Αεροπλάνο στο διάστημα. Τοποθεσία αεροπλάνων στο διάστημα

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Ένα επίπεδο είναι ένα γεωμετρικό αντικείμενο του οποίου οι ιδιότητες χρησιμοποιούνται κατά την κατασκευή προβολών σημείων και γραμμών, καθώς και κατά τον υπολογισμό αποστάσεων και διεδρικών γωνιών μεταξύ στοιχείων τρισδιάστατων σχημάτων. Ας εξετάσουμε σε αυτό το άρθρο ποιες εξισώσεις μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τη μελέτη της θέσης των επιπέδων στο διάστημα.

Ορισμός αεροπλάνου

Όλοι φαντάζονται διαισθητικά ποιο αντικείμενο θα συζητηθεί. Από γεωμετρική άποψη, ένα επίπεδο είναι μια συλλογή σημείων, οποιαδήποτε διανύσματα μεταξύ των οποίων πρέπει να είναι κάθετα σε κάποιο διάνυσμα. Για παράδειγμα, εάν υπάρχουν m διαφορετικά σημεία στο χώρο, τότε m(m-1) / 2 διαφορετικά διανύσματα μπορούν να κατασκευαστούν από αυτά, συνδέοντας τα σημεία σε ζεύγη. Εάν όλα τα διανύσματα είναι κάθετα σε κάποια διεύθυνση, τότε αυτή είναι μια επαρκής συνθήκη ώστε όλα τα σημεία m να ανήκουν στο ίδιο επίπεδο.

Γενική εξίσωση

Στη χωρική γεωμετρία, ένα επίπεδο περιγράφεται χρησιμοποιώντας εξισώσεις που περιέχουν γενικά τρεις άγνωστες συντεταγμένες που αντιστοιχούν στους άξονες x, y και z. Προς τηνπάρτε τη γενική εξίσωση σε επίπεδο συντεταγμένων στο χώρο, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει ένα διάνυσμα n¯(A; B; C) και ένα σημείο M(x₀; y₀; z_{0). Χρησιμοποιώντας αυτά τα δύο αντικείμενα, το επίπεδο μπορεί να οριστεί μοναδικά.}

Πράγματι, ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο δεύτερο σημείο P(x; y; z) του οποίου οι συντεταγμένες είναι άγνωστες. Σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε παραπάνω, το διάνυσμα MP¯ πρέπει να είναι κάθετο στο n¯, δηλαδή, το κλιμακωτό γινόμενο για αυτά είναι ίσο με μηδέν. Τότε μπορούμε να γράψουμε την ακόλουθη έκφραση:

(n¯MP¯)=0 ή

A(x-x₀) + B(y-y₀) + C(z-z₀₎₌₀

Ανοίγοντας τις αγκύλες και εισάγοντας έναν νέο συντελεστή D, παίρνουμε την έκφραση:

Ax + By + Cz + D=0 όπου D=-1(Ax₀+ By ₀ + Cz₀₎

Αυτή η έκφραση ονομάζεται γενική εξίσωση για το επίπεδο. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε ότι οι συντελεστές μπροστά από τα x, y και z σχηματίζουν τις συντεταγμένες του διανύσματος n¯(A; B; C) κάθετα στο επίπεδο. Συμπίπτει με το κανονικό και είναι οδηγός για το αεροπλάνο. Για τον προσδιορισμό της γενικής εξίσωσης, δεν έχει σημασία πού κατευθύνεται αυτό το διάνυσμα. Δηλαδή, τα επίπεδα που χτίζονται στα διανύσματα n¯ και -n¯ θα είναι τα ίδια.

Το παραπάνω σχήμα δείχνει ένα επίπεδο, ένα διάνυσμα κάθετο σε αυτό και μια ευθεία κάθετη στο επίπεδο.

Τμήματα αποκομμένα από το επίπεδο στους άξονες και η αντίστοιχη εξίσωση

Η γενική εξίσωση επιτρέπει τη χρήση απλών μαθηματικών πράξεων για τον προσδιορισμό, σεσε ποια σημεία το επίπεδο θα τέμνει τους άξονες συντεταγμένων. Είναι σημαντικό να γνωρίζετε αυτές τις πληροφορίες για να έχετε μια ιδέα για τη θέση του αεροπλάνου στο χώρο, καθώς και όταν την απεικονίζετε στα σχέδια.

Για τον προσδιορισμό των ονομαζόμενων σημείων τομής, χρησιμοποιείται μια εξίσωση σε τμήματα. Ονομάζεται έτσι επειδή περιέχει ρητά τις τιμές των μηκών των τμημάτων που κόβονται από το επίπεδο στους άξονες των συντεταγμένων, κατά την μέτρηση από το σημείο (0; 0; 0). Ας πάρουμε αυτήν την εξίσωση.

Γράψτε τη γενική έκφραση για το επίπεδο ως εξής:

Ax + By + Cz=-D

Το αριστερό και το δεξί μέρος μπορούν να διαιρεθούν με -D χωρίς να παραβιάζεται η ισότητα. Έχουμε:

A/(-D)x + B/(-D)y + C/(-D)z=1 ή

x/(-D/A) + y/(-D/B) + z/(-D/C)=1

Σχεδιάστε τους παρονομαστές κάθε όρου με ένα νέο σύμβολο, παίρνουμε:

p=-D/A; q=-D/B; r=-D/C τότε

x/p + y/q + z/r=1

Αυτή είναι η εξίσωση που αναφέρεται παραπάνω σε τμήματα. Από αυτό προκύπτει ότι η τιμή του παρονομαστή κάθε όρου δηλώνει τη συντεταγμένη της τομής με τον αντίστοιχο άξονα του επιπέδου. Για παράδειγμα, τέμνει τον άξονα y στο σημείο (0; q; 0). Αυτό είναι εύκολο να γίνει κατανοητό αν αντικαταστήσετε τις συντεταγμένες μηδέν x και z στην εξίσωση.

Σημειώστε ότι εάν δεν υπάρχει μεταβλητή στην εξίσωση στα τμήματα, αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο δεν τέμνει τον αντίστοιχο άξονα. Για παράδειγμα, δίνεται η έκφραση:

x/p + y/q=1

Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο θα αποκόψει τα τμήματα p και q στους άξονες x και y, αντίστοιχα, αλλά θα είναι παράλληλο στον άξονα z.

Συμπέρασμα σχετικά με τη συμπεριφορά του αεροπλάνου ότανη απουσία κάποιας μεταβλητής στην εξίσωσή της ισχύει επίσης για μια έκφραση γενικού τύπου, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Διανυσματική παραμετρική εξίσωση

Υπάρχει ένα τρίτο είδος εξίσωσης που επιτρέπει την περιγραφή ενός επιπέδου στο διάστημα. Ονομάζεται παραμετρικό διάνυσμα επειδή δίνεται από δύο διανύσματα που βρίσκονται στο επίπεδο και δύο παραμέτρους που μπορούν να λάβουν αυθαίρετες ανεξάρτητες τιμές. Ας δείξουμε πώς μπορεί να ληφθεί αυτή η εξίσωση.

Ας υποθέσουμε ότι υπάρχουν μερικά γνωστά διανύσματα u ¯(a₁; b₁; c₁) και v¯(a₂; b₂; c₂). Εάν δεν είναι παράλληλες, τότε μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να ορίσετε ένα συγκεκριμένο επίπεδο καθορίζοντας την αρχή ενός από αυτά τα διανύσματα σε ένα γνωστό σημείο M(x₀; y₀; z_{0). Εάν ένα αυθαίρετο διάνυσμα MP¯ μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένας συνδυασμός γραμμικών διανυσμάτων u¯ και v¯, τότε αυτό σημαίνει ότι το σημείο P(x; y; z) ανήκει στο ίδιο επίπεδο με τα u¯, v¯. Έτσι, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα:}

MP¯=αu¯ + βv¯

Ή γράφοντας αυτήν την ισότητα ως προς τις συντεταγμένες, παίρνουμε:

(x; y; z)=(x₀; y₀; z₀) + α(a₁; b₁; c₁) + β(α ₂; β₂; c₂₎

Η παρουσιαζόμενη ισότητα είναι μια παραμετρική διανυσματική εξίσωση για το επίπεδο. ΣΤΟο διανυσματικός χώρος στο επίπεδο u¯ και v¯ ονομάζονται γεννήτριες.

Στη συνέχεια, κατά την επίλυση του προβλήματος, θα φανεί πώς αυτή η εξίσωση μπορεί να αναχθεί σε μια γενική μορφή για ένα επίπεδο.

Γωνία μεταξύ των επιπέδων στο διάστημα

Διαισθητικά, τα επίπεδα στον τρισδιάστατο χώρο μπορούν είτε να τέμνονται είτε όχι. Στην πρώτη περίπτωση, έχει ενδιαφέρον να βρεθεί η γωνία μεταξύ τους. Ο υπολογισμός αυτής της γωνίας είναι πιο δύσκολος από τη γωνία μεταξύ των γραμμών, αφού μιλάμε για ένα δίεδρο γεωμετρικό αντικείμενο. Ωστόσο, το ήδη αναφερόμενο διάνυσμα οδηγού για το αεροπλάνο έρχεται στη διάσωση.

Είναι γεωμετρικά αποδεδειγμένο ότι η διεδρική γωνία μεταξύ δύο τεμνόμενων επιπέδων είναι ακριβώς ίση με τη γωνία μεταξύ των διανυσμάτων οδηγών τους. Ας υποδηλώσουμε αυτά τα διανύσματα ως n₁¯(a₁; b₁; c_{1) και n}2_¯(a2_{; b}2_{; c}2_{). Το συνημίτονο της μεταξύ τους γωνίας προσδιορίζεται από το βαθμωτό γινόμενο. Δηλαδή, η ίδια η γωνία στο διάστημα μεταξύ των επιπέδων μπορεί να υπολογιστεί με τον τύπο:}

φ=arccos(|(n₁¯n₂¯)|/(|n₁ ¯||n_2¯|))

Εδώ ο συντελεστής στον παρονομαστή χρησιμοποιείται για την απόρριψη της τιμής της αμβλείας γωνίας (μεταξύ τεμνόμενων επιπέδων είναι πάντα μικρότερη ή ίση με 90o).

Σε μορφή συντεταγμένων, αυτή η έκφραση μπορεί να ξαναγραφτεί ως εξής:

φ=arccos(|a₁a₂ + b₁b ₂ +c₁c₂|/(√(a₁² + β₁² + c₁²)√(a₂² + b₂² + c ₂²⁾⁾⁾

Επίπεδα κάθετα και παράλληλα

Αν τα επίπεδα τέμνονται και η δίεδρη γωνία που σχηματίζεται από αυτά είναι 90o, τότε θα είναι κάθετα. Ένα παράδειγμα τέτοιων επιπέδων είναι ένα ορθογώνιο πρίσμα ή ένας κύβος. Αυτές οι φιγούρες σχηματίζονται από έξι επίπεδα. Σε κάθε κορυφή των ονομαζόμενων σχημάτων υπάρχουν τρία επίπεδα κάθετα μεταξύ τους.

Για να μάθετε εάν τα θεωρούμενα επίπεδα είναι κάθετα, αρκεί να υπολογίσετε το βαθμωτό γινόμενο των κανονικών διανυσμάτων τους. Μια επαρκής συνθήκη για την καθετότητα στο χώρο των επιπέδων είναι η μηδενική τιμή αυτού του γινομένου.

Παράλληλα ονομάζονται μη τεμνόμενα επίπεδα. Μερικές φορές λέγεται επίσης ότι παράλληλα επίπεδα τέμνονται στο άπειρο. Η συνθήκη του παραλληλισμού στο χώρο των επιπέδων συμπίπτει με αυτή τη συνθήκη για τα διανύσματα κατεύθυνσης n₁¯ και n_{2¯. Μπορείτε να το ελέγξετε με δύο τρόπους:}

1. Υπολογίστε το συνημίτονο της διεδρικής γωνίας (cos(φ)) χρησιμοποιώντας το βαθμωτό γινόμενο. Εάν τα επίπεδα είναι παράλληλα, τότε η τιμή θα είναι 1.
2. Προσπαθήστε να αναπαραστήσετε ένα διάνυσμα μέσω ενός άλλου πολλαπλασιάζοντας με κάποιον αριθμό, π.χ. n₁¯=kn_{2¯. Εάν αυτό μπορεί να γίνει, τότε τα αντίστοιχα επίπεδα είναιπαράλληλα.}

Το σχήμα δείχνει δύο παράλληλα επίπεδα.

Τώρα ας δώσουμε παραδείγματα επίλυσης δύο ενδιαφέροντων προβλημάτων χρησιμοποιώντας τις μαθηματικές γνώσεις που αποκτήθηκαν.

Πώς να λάβετε μια γενική μορφή από μια διανυσματική εξίσωση;

Αυτή είναι μια παραμετρική διανυσματική έκφραση για ένα επίπεδο. Για να κατανοήσετε ευκολότερα τη ροή των πράξεων και τα μαθηματικά κόλπα που χρησιμοποιούνται, εξετάστε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα:

(x; y; z)=(1; 2; 0) + α(2; -1; 1) + β(0; 1; 3)

Αναπτύξτε αυτήν την έκφραση και εκφράστε τις άγνωστες παραμέτρους:

x=1 + 2α;

y=2 - α + β;

z=α + 3β

Τότε:

α=(x - 1)/2;

β=y - 2 + (x - 1)/2;

z=(x - 1)/2 + 3(y - 2 + (x - 1)/2)

Ανοίγοντας τις αγκύλες στην τελευταία έκφραση, παίρνουμε:

z=2x-2 + 3y - 6 ή

2x + 3y - z - 8=0

Έχουμε λάβει τη γενική μορφή της εξίσωσης για το επίπεδο που καθορίζεται στη δήλωση προβλήματος σε διανυσματική μορφή

Πώς να φτιάξετε ένα αεροπλάνο με τρία σημεία;

Είναι δυνατό να σχεδιάσετε ένα μόνο επίπεδο σε τρία σημεία εάν αυτά τα σημεία δεν ανήκουν σε κάποια ευθεία γραμμή. Ο αλγόριθμος για την επίλυση αυτού του προβλήματος αποτελείται από την ακόλουθη σειρά ενεργειών:

• βρείτε τις συντεταγμένες δύο διανυσμάτων συνδέοντας κατά ζεύγη γνωστά σημεία;
• υπολογίστε το διασταυρούμενο γινόμενο τους και λάβετε ένα διάνυσμα κανονικό στο επίπεδο;
• γράψτε τη γενική εξίσωση χρησιμοποιώντας το διάνυσμα που βρέθηκε καιοποιοδήποτε από τα τρία σημεία.

Ας πάρουμε ένα συγκεκριμένο παράδειγμα. Δόθηκαν πόντοι:

R(1; 2; 0), P(0; -3; 4), Q(1; -2; 2)

Οι συντεταγμένες των δύο διανυσμάτων είναι:

RP¯(-1; -5; 4), PQ¯(1; 1; -2)

Το διασταυρούμενο προϊόν τους θα είναι:

n¯=[RP¯PQ¯]=(6; 2; 4)

Λαμβάνοντας τις συντεταγμένες του σημείου R, παίρνουμε την απαιτούμενη εξίσωση:

6x + 2y + 4z -10=0 ή

3x + y + 2z -5=0

Συνιστάται να ελέγξετε την ορθότητα του αποτελέσματος αντικαθιστώντας τις συντεταγμένες των υπολοίπων δύο σημείων σε αυτήν την έκφραση:

για P: 30 + (-3) + 24 -5=0;

για Q: 31 + (-2) + 22 -5=0

Σημειώστε ότι ήταν δυνατό να μην βρεθεί το γινόμενο του διανύσματος, αλλά καταγράψτε αμέσως την εξίσωση για το επίπεδο σε μια παραμετρική διανυσματική μορφή.