Η Πυραμίδα είναι ένα χωρικό πολύεδρο, ή πολύεδρο, που εμφανίζεται σε γεωμετρικά προβλήματα. Οι κύριες ιδιότητες αυτού του σχήματος είναι ο όγκος και η επιφάνειά του, τα οποία υπολογίζονται από τη γνώση οποιωνδήποτε δύο γραμμικών χαρακτηριστικών του. Ένα από αυτά τα χαρακτηριστικά είναι το απόθεμα της πυραμίδας. Θα συζητηθεί στο άρθρο.
Σχήμα πυραμίδας
Πριν δώσουμε τον ορισμό του αποθέματος της πυραμίδας, ας εξοικειωθούμε με το ίδιο το σχήμα. Η πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο, το οποίο σχηματίζεται από μία n-γωνική βάση και n τρίγωνα που αποτελούν την πλευρική επιφάνεια του σχήματος.
Κάθε πυραμίδα έχει μια κορυφή - το σημείο σύνδεσης όλων των τριγώνων. Η κάθετη που χαράσσεται από αυτή την κορυφή στη βάση ονομάζεται ύψος. Αν το ύψος τέμνει τη βάση στο γεωμετρικό κέντρο, τότε το σχήμα ονομάζεται ευθεία γραμμή. Μια ευθεία πυραμίδα με ισόπλευρη βάση ονομάζεται κανονική πυραμίδα. Το σχήμα δείχνει μια πυραμίδα με εξαγωνική βάση, η οποία φαίνεται από την πλευρά του προσώπου και της άκρης.
Απόθεμα της σωστής πυραμίδας
Την λένε και απότεμα. Εννοείται ως μια κάθετη που τραβιέται από την κορυφή της πυραμίδας προς την πλευρά της βάσης του σχήματος. Εξ ορισμού, αυτή η κάθετη αντιστοιχεί στο ύψος του τριγώνου που σχηματίζει την πλευρική όψη της πυραμίδας.
Δεδομένου ότι εξετάζουμε μια κανονική πυραμίδα με n-γωνική βάση, τότε όλα τα n αποθέματα για αυτήν θα είναι ίδια, αφού τέτοια είναι τα ισοσκελή τρίγωνα της πλευρικής επιφάνειας του σχήματος. Σημειώστε ότι τα πανομοιότυπα αποθέματα είναι ιδιότητα μιας κανονικής πυραμίδας. Για ένα σχήμα γενικού τύπου (λοξό με ακανόνιστο n-gon), όλα τα n αποθέματα θα είναι διαφορετικά.
Μια άλλη ιδιότητα μιας κανονικής αποθέματος πυραμίδας είναι ότι είναι ταυτόχρονα το ύψος, η διάμεσος και η διχοτόμος του αντίστοιχου τριγώνου. Αυτό σημαίνει ότι το χωρίζει σε δύο ίδια ορθογώνια τρίγωνα.
Τριγωνική πυραμίδα και τύποι για τον προσδιορισμό της αποθέματός της
Σε κάθε κανονική πυραμίδα, τα σημαντικά γραμμικά χαρακτηριστικά είναι το μήκος της πλευράς της βάσης της, το πλευρικό άκρο b, το ύψος h και το απόθεμα hb. Αυτές οι ποσότητες σχετίζονται μεταξύ τους με τους αντίστοιχους τύπους, οι οποίοι μπορούν να ληφθούν σχεδιάζοντας μια πυραμίδα και λαμβάνοντας υπόψη τα απαραίτητα ορθογώνια τρίγωνα.
Μια κανονική τριγωνική πυραμίδα αποτελείται από 4 τριγωνικές όψεις και η μία από αυτές (η βάση) πρέπει να είναι ισόπλευρη. Τα υπόλοιπα είναι ισοσκελές στη γενική περίπτωση. αποθεμαΗ τριγωνική πυραμίδα μπορεί να προσδιοριστεί ως προς άλλες ποσότητες χρησιμοποιώντας τους ακόλουθους τύπους:
hb=√(b2- a2/4);
hb=√(a2/12 + h2)
Η πρώτη από αυτές τις εκφράσεις ισχύει για μια πυραμίδα με οποιαδήποτε σωστή βάση. Η δεύτερη έκφραση είναι χαρακτηριστική μόνο για μια τριγωνική πυραμίδα. Δείχνει ότι το απόθεμα είναι πάντα μεγαλύτερο από το ύψος του σχήματος.
Μην συγχέετε το απόθεμα μιας πυραμίδας με αυτό ενός πολύεδρου. Στην τελευταία περίπτωση, το απόθεμα είναι ένα κάθετο τμήμα που τραβιέται στην πλευρά του πολύεδρου από το κέντρο του. Για παράδειγμα, το απόθεμα ενός ισόπλευρου τριγώνου είναι √3/6a.
Apothem task
Ας δοθεί μια κανονική πυραμίδα με ένα τρίγωνο στη βάση. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την απόθεσή του εάν είναι γνωστό ότι το εμβαδόν αυτού του τριγώνου είναι 34 cm2 και η ίδια η πυραμίδα αποτελείται από 4 όμοιες όψεις.
Σύμφωνα με την συνθήκη του προβλήματος, έχουμε να κάνουμε με ένα τετράεδρο που αποτελείται από ισόπλευρα τρίγωνα. Ο τύπος για την περιοχή ενός προσώπου είναι:
S=√3/4a2
Όπου λαμβάνουμε το μήκος της πλευράς a:
a=2√(S/√3)
Για να προσδιορίσουμε το απόθεμα hbχρησιμοποιούμε τον τύπο που περιέχει την πλευρική ακμή b. Στην περίπτωση που εξετάζουμε, το μήκος του είναι ίσο με το μήκος της βάσης, έχουμε:
hb=√(b2- a2/4)=√3/2 a
Αντικατάσταση της τιμής από a έως S,παίρνουμε τον τελικό τύπο:
hb=√3/22√(S/√3)=√(S√3)
Πήραμε έναν απλό τύπο στον οποίο το απόθεμα μιας πυραμίδας εξαρτάται μόνο από το εμβαδόν της βάσης της. Αν αντικαταστήσουμε την τιμή S από την συνθήκη του προβλήματος, παίρνουμε την απάντηση: hb≈ 7, 674 cm.
