Η ικανότητα υπολογισμού του όγκου των χωρικών σχημάτων είναι σημαντική για την επίλυση ορισμένων πρακτικών προβλημάτων στη γεωμετρία. Ένα από τα πιο κοινά σχήματα είναι η πυραμίδα. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε τους τύπους για τον όγκο της πυραμίδας, τόσο πλήρη όσο και περικομμένη.
Πυραμίδα ως τρισδιάστατο σχήμα
Όλοι γνωρίζουν για τις αιγυπτιακές πυραμίδες, επομένως έχουν μια καλή ιδέα για το ποια φιγούρα θα συζητηθεί. Ωστόσο, οι αιγυπτιακές πέτρινες κατασκευές είναι μόνο μια ειδική περίπτωση μιας τεράστιας κατηγορίας πυραμίδων.
Το θεωρούμενο γεωμετρικό αντικείμενο στη γενική περίπτωση είναι μια πολυγωνική βάση, κάθε κορυφή της οποίας συνδέεται με κάποιο σημείο του χώρου που δεν ανήκει στο επίπεδο βάσης. Αυτός ο ορισμός οδηγεί σε ένα σχήμα που αποτελείται από ένα n-gon και n τρίγωνα.
Οποιαδήποτε πυραμίδα αποτελείται από n+1 όψεις, 2n άκρες και n+1 κορυφές. Δεδομένου ότι το υπό εξέταση σχήμα είναι ένα τέλειο πολύεδρο, οι αριθμοί των σημειωμένων στοιχείων υπακούουν στην ισότητα του Euler:
2n=(n+1) + (n+1) - 2.
Το πολύγωνο στη βάση δίνει το όνομα της πυραμίδας,για παράδειγμα, τριγωνικό, πενταγωνικό και ούτω καθεξής. Ένα σύνολο από πυραμίδες με διαφορετικές βάσεις φαίνεται στην παρακάτω φωτογραφία.
Το σημείο στο οποίο συνδέονται n τρίγωνα του σχήματος ονομάζεται κορυφή της πυραμίδας. Εάν μια κάθετη χαμηλώσει από αυτήν στη βάση και την τέμνει στο γεωμετρικό κέντρο, τότε ένα τέτοιο σχήμα θα ονομάζεται ευθεία γραμμή. Εάν αυτή η προϋπόθεση δεν πληρούται, τότε υπάρχει μια κεκλιμένη πυραμίδα.
Ένα ευθύ σχήμα του οποίου η βάση σχηματίζεται από ένα ισόπλευρο (ισόγωνο) n-γόνιο ονομάζεται κανονικό.
Τύπος όγκου πυραμίδας
Για να υπολογίσουμε τον όγκο της πυραμίδας, χρησιμοποιούμε τον ολοκληρωτικό λογισμό. Για να γίνει αυτό, διαιρούμε το σχήμα με επίπεδα τομής παράλληλα με τη βάση σε έναν άπειρο αριθμό λεπτών στρωμάτων. Το παρακάτω σχήμα δείχνει μια τετράπλευρη πυραμίδα με ύψος h και μήκος πλευράς L, στην οποία ένα λεπτό στρώμα τομής σημειώνεται με ένα τετράπλευρο.
Η περιοχή κάθε τέτοιου στρώματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
A(z)=A0(h-z)2/h2.
Εδώ A0 είναι το εμβαδόν της βάσης, z είναι η τιμή της κατακόρυφης συντεταγμένης. Μπορεί να φανεί ότι αν z=0, τότε ο τύπος δίνει την τιμή A0.
Για να λάβετε τον τύπο για τον όγκο μιας πυραμίδας, θα πρέπει να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα σε όλο το ύψος του σχήματος, δηλαδή:
V=∫h0(A(z)dz).
Αντικαθιστώντας την εξάρτηση A(z) και υπολογίζοντας την αντιπαράγωγο, καταλήγουμε στην έκφραση:
V=-A0(ω-ζ)3/(3η2)| h0=1/3A0h.
Πήραμε τον τύπο για τον όγκο της πυραμίδας. Για να βρείτε την τιμή του V, αρκεί να πολλαπλασιάσετε το ύψος του σχήματος με το εμβαδόν της βάσης και, στη συνέχεια, να διαιρέσετε το αποτέλεσμα με το τρία.
Σημειώστε ότι η παράσταση που προκύπτει είναι έγκυρη για τον υπολογισμό του όγκου μιας πυραμίδας αυθαίρετου τύπου. Δηλαδή, μπορεί να είναι κεκλιμένο και η βάση του μπορεί να είναι ένα αυθαίρετο n-gon.
Η σωστή πυραμίδα και ο όγκος της
Ο γενικός τύπος για τον όγκο που λαμβάνεται στην παραπάνω παράγραφο μπορεί να βελτιωθεί στην περίπτωση μιας πυραμίδας με τη σωστή βάση. Το εμβαδόν μιας τέτοιας βάσης υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
A0=n/4L2ctg(pi/n).
Εδώ L είναι το μήκος πλευράς ενός κανονικού πολυγώνου με n κορυφές. Το σύμβολο pi είναι ο αριθμός pi.
Αντικαθιστώντας την έκφραση A0 στον γενικό τύπο, παίρνουμε τον όγκο μιας κανονικής πυραμίδας:
V=1/3n/4L2hctg(pi/n)=n/12 L2hctg(pi/n).
Για παράδειγμα, για μια τριγωνική πυραμίδα, αυτός ο τύπος οδηγεί στην ακόλουθη έκφραση:
V3=3/12L2hctg(60o)=√3/12L2h.
Για μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα, ο τύπος όγκου γίνεται:
V4=4/12L2hctg(45o)=1/3L2h.
Ο προσδιορισμός του όγκου των κανονικών πυραμίδων απαιτεί τη γνώση της πλευράς της βάσης τους και του ύψους του σχήματος.
Κοτεμμένη πυραμίδα
Ας υποθέσουμε ότι πήραμεμια αυθαίρετη πυραμίδα και έκοψε ένα τμήμα της πλευρικής της επιφάνειας που περιέχει την κορυφή. Το υπόλοιπο σχήμα ονομάζεται κολοβωμένη πυραμίδα. Ήδη αποτελείται από δύο n-γωνικές βάσεις και n τραπεζοειδή που τις συνδέουν. Εάν το επίπεδο κοπής ήταν παράλληλο με τη βάση του σχήματος, τότε σχηματίζεται μια κολοβωμένη πυραμίδα με παράλληλες παρόμοιες βάσεις. Δηλαδή, τα μήκη των πλευρών μιας από αυτές μπορούν να ληφθούν πολλαπλασιάζοντας τα μήκη της άλλης με κάποιο συντελεστή k.
Η παραπάνω εικόνα δείχνει μια κολοβωμένη κανονική εξαγωνική πυραμίδα. Φαίνεται ότι η πάνω βάση του, όπως και η κάτω, σχηματίζεται από ένα κανονικό εξάγωνο.
Ο τύπος για τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, ο οποίος μπορεί να εξαχθεί χρησιμοποιώντας έναν ολοκληρωτικό λογισμό παρόμοιο με αυτόν που δίνεται, είναι:
V=1/3h(A0+ A1+ √(A0 A1)).
Όπου A0 και A1 είναι οι περιοχές της κάτω (μεγάλης) και της άνω (μικρής) βάσης, αντίστοιχα. Η μεταβλητή h είναι το ύψος της κολοβωμένης πυραμίδας.
Ο όγκος της πυραμίδας του Χέοπα
Είναι ενδιαφέρον να λύσουμε το πρόβλημα του προσδιορισμού του όγκου που περιέχει η μεγαλύτερη αιγυπτιακή πυραμίδα.
Το 1984, οι Βρετανοί Αιγυπτιολόγοι Mark Lehner και Jon Goodman καθόρισαν τις ακριβείς διαστάσεις της πυραμίδας του Χέοπα. Το αρχικό του ύψος ήταν 146,50 μέτρα (σήμερα περίπου 137 μέτρα). Το μέσο μήκος καθεμιάς από τις τέσσερις πλευρές της κατασκευής ήταν 230.363 μέτρα. Η βάση της πυραμίδας είναι τετράγωνη με μεγάλη ακρίβεια.
Ας χρησιμοποιήσουμε τα δεδομένα για να προσδιορίσουμε τον όγκο αυτού του πέτρινου γίγαντα. Εφόσον η πυραμίδα είναι κανονική τετράγωνη, τότε ισχύει ο τύπος για αυτήν:
V4=1/3L2h.
Αντικαταστήστε τους αριθμούς, παίρνουμε:
V4=1/3(230, 363)2146, 5 ≈ 2591444 m 3.
Ο όγκος της πυραμίδας του Χέοπα είναι σχεδόν 2,6 εκατομμύρια m3. Για σύγκριση, σημειώνουμε ότι η Ολυμπιακή πισίνα έχει όγκο 2,5 χιλιάδων m3. Δηλαδή, για να γεμίσει ολόκληρη η πυραμίδα του Χέοπα, θα χρειαστούν περισσότερες από 1000 από αυτές τις πισίνες!
