Κρίνοντας από τη δημοτικότητα του αιτήματος "Θεώρημα Fermat - μια σύντομη απόδειξη", αυτό το μαθηματικό πρόβλημα ενδιαφέρει πραγματικά πολλούς. Αυτό το θεώρημα διατυπώθηκε για πρώτη φορά από τον Pierre de Fermat το 1637 στην άκρη ενός αντιγράφου της Αριθμητικής, όπου ισχυρίστηκε ότι είχε μια λύση που ήταν πολύ μεγάλη για να χωρέσει στην άκρη.
Η πρώτη επιτυχημένη απόδειξη δημοσιεύθηκε το 1995 - ήταν η πλήρης απόδειξη του Θεωρήματος του Φερμά από τον Andrew Wiles. Έχει περιγραφεί ως "καταπληκτική πρόοδος" και οδήγησε τον Wiles να λάβει το βραβείο Abel το 2016. Αν και περιγράφηκε σχετικά σύντομα, η απόδειξη του θεωρήματος του Fermat απέδειξε επίσης μεγάλο μέρος του θεωρήματος της σπονδυλωτικότητας και άνοιξε νέες προσεγγίσεις σε πολλά άλλα προβλήματα και αποτελεσματικές μεθόδους για την άρση της σπονδυλωτικότητας. Αυτά τα επιτεύγματα έχουν προχωρήσει τα μαθηματικά 100 χρόνια στο μέλλον. Η απόδειξη του μικρού θεωρήματος του Fermat σήμερα δεν είναιείναι κάτι ασυνήθιστο.
Το άλυτο πρόβλημα τόνωσε την ανάπτυξη της αλγεβρικής θεωρίας των αριθμών τον 19ο αιώνα και την αναζήτηση μιας απόδειξης του θεωρήματος της σπονδυλωτικότητας τον 20ο αιώνα. Αυτό είναι ένα από τα πιο αξιοσημείωτα θεωρήματα στην ιστορία των μαθηματικών και μέχρι την πλήρη απόδειξη διαίρεσης του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, ήταν στο βιβλίο των ρεκόρ Γκίνες ως «το πιο δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα», ένα από τα χαρακτηριστικά του οποίου είναι ότι έχει τον μεγαλύτερο αριθμό ανεπιτυχών αποδείξεων.
Ιστορικό υπόβαθρο
Πυθαγόρεια εξίσωση x2 + y2=z2 έχει άπειρο αριθμό θετικών ακέραιες λύσεις για x, y και z. Αυτές οι λύσεις είναι γνωστές ως Πυθαγόρειες τριάδες. Γύρω στο 1637, ο Fermat έγραψε στην άκρη του βιβλίου ότι η πιο γενική εξίσωση a + b =cδεν έχει λύσεις σε φυσικούς αριθμούς αν το n είναι ακέραιος μεγαλύτερος από 2. Αν και ο ίδιος ο Fermat ισχυρίστηκε ότι είχε μια λύση στο πρόβλημά του, δεν άφησε λεπτομέρειες για την απόδειξή του. Η στοιχειώδης απόδειξη του θεωρήματος του Φερμά, που ισχυρίστηκε ο δημιουργός του, ήταν μάλλον η καυχησιολογική εφεύρεσή του. Το βιβλίο του μεγάλου Γάλλου μαθηματικού ανακαλύφθηκε 30 χρόνια μετά τον θάνατό του. Αυτή η εξίσωση, που ονομάζεται Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά, παρέμεινε άλυτη στα μαθηματικά για τρεισήμισι αιώνες.
Το θεώρημα έγινε τελικά ένα από τα πιο αξιοσημείωτα άλυτα προβλήματα στα μαθηματικά. Οι προσπάθειες να αποδειχθεί αυτό προκάλεσαν σημαντική ανάπτυξη της θεωρίας αριθμών και με το απόσπασμαχρόνο, το τελευταίο θεώρημα του Φερμά έγινε γνωστό ως ένα άλυτο πρόβλημα στα μαθηματικά.
Σύντομο ιστορικό αποδεικτικών στοιχείων
Αν n=4, όπως απέδειξε ο ίδιος ο Fermat, αρκεί να αποδειχθεί το θεώρημα για τους δείκτες n που είναι πρώτοι αριθμοί. Κατά τους επόμενους δύο αιώνες (1637-1839) η εικασία αποδείχθηκε μόνο για τους πρώτους 3, 5 και 7, αν και η Sophie Germain ενημέρωσε και απέδειξε μια προσέγγιση που ίσχυε για ολόκληρη την κατηγορία των πρώτων. Στα μέσα του 19ου αιώνα, ο Ernst Kummer επέκτεινε αυτό και απέδειξε το θεώρημα για όλους τους κανονικούς πρώτους, όπου οι ακανόνιστοι πρώτοι αναλύονταν ξεχωριστά. Με βάση την εργασία του Kummer και χρησιμοποιώντας εξελιγμένη έρευνα υπολογιστή, άλλοι μαθηματικοί μπόρεσαν να επεκτείνουν τη λύση του θεωρήματος, με στόχο να καλύψουν όλους τους κύριους εκθέτες έως και τέσσερα εκατομμύρια, αλλά η απόδειξη για όλους τους εκθέτες δεν ήταν ακόμα διαθέσιμη (που σημαίνει ότι οι μαθηματικοί συνήθως θεωρούν τη λύση του θεωρήματος αδύνατη, εξαιρετικά δύσκολη ή ανέφικτη με την τρέχουσα γνώση).
Το έργο των Shimura και Taniyama
Το 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Goro Shimura και Yutaka Taniyama υποψιάστηκαν ότι υπήρχε σύνδεση μεταξύ ελλειπτικών καμπυλών και σπονδυλωτών μορφών, δύο πολύ διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών. Γνωστό εκείνη την εποχή ως εικασία Taniyama-Shimura-Weyl και (τελικά) ως θεώρημα σπονδυλωτότητας, υπήρχε από μόνο του, χωρίς προφανή σύνδεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Το ίδιο θεωρήθηκε ευρέως ως ένα σημαντικό μαθηματικό θεώρημα, αλλά θεωρήθηκε (όπως το θεώρημα του Fermat) αδύνατο να αποδειχθεί. Σε αυτόΤαυτόχρονα, η απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά (με διαίρεση και εφαρμογή σύνθετων μαθηματικών τύπων) πραγματοποιήθηκε μόλις μισό αιώνα αργότερα.
Το 1984, ο Gerhard Frey παρατήρησε μια προφανή σύνδεση μεταξύ αυτών των δύο προηγουμένως άσχετων και άλυτων προβλημάτων. Μια πλήρης επιβεβαίωση ότι τα δύο θεωρήματα ήταν στενά συνδεδεμένα δημοσιεύτηκε το 1986 από τον Ken Ribet, ο οποίος βασίστηκε σε μια μερική απόδειξη του Jean-Pierre Serra, ο οποίος απέδειξε όλα εκτός από ένα μέρος, γνωστή ως «υπόθεση έψιλον». Με απλά λόγια, αυτές οι εργασίες των Frey, Serra και Ribe έδειξαν ότι εάν το θεώρημα της σπονδυλωτικότητας μπορούσε να αποδειχθεί, τουλάχιστον για μια ημιστειρή κατηγορία ελλειπτικών καμπυλών, τότε αργά ή γρήγορα θα ανακαλυφθεί και η απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Οποιαδήποτε λύση μπορεί να έρχεται σε αντίθεση με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για να αντικρούσει το θεώρημα της σπονδυλωτικότητας. Επομένως, εάν το θεώρημα της σπονδυλωτικότητας αποδειχτεί αληθινό, τότε εξ ορισμού δεν μπορεί να υπάρξει λύση που να έρχεται σε αντίθεση με το τελευταίο θεώρημα του Φερμά, πράγμα που σημαίνει ότι θα έπρεπε να είχε αποδειχθεί σύντομα.
Αν και και τα δύο θεωρήματα ήταν δύσκολα προβλήματα στα μαθηματικά, θεωρούνται άλυτα, το έργο των δύο Ιαπώνων ήταν η πρώτη πρόταση για το πώς το τελευταίο θεώρημα του Φερμά θα μπορούσε να επεκταθεί και να αποδειχθεί για όλους τους αριθμούς, όχι μόνο για μερικούς. Σημαντικό για τους ερευνητές που επέλεξαν το θέμα της μελέτης ήταν το γεγονός ότι, σε αντίθεση με το τελευταίο θεώρημα του Fermat, το θεώρημα της σπονδυλαρότητας ήταν ο κύριος ενεργός τομέας έρευνας, για τον οποίοΑναπτύχθηκαν στοιχεία, και όχι μόνο ιστορικές παραξενιές, οπότε ο χρόνος που αφιερώθηκε στη δουλειά της θα μπορούσε να δικαιολογηθεί από επαγγελματική άποψη. Ωστόσο, η γενική συναίνεση ήταν ότι η επίλυση της εικασίας Taniyama-Shimura αποδείχθηκε ακατάλληλη.
Τελευταίο θεώρημα της φάρμας: απόδειξη του Wiles
Έχοντας μάθει ότι ο Ribet είχε αποδείξει τη θεωρία του Frey σωστή, ο Άγγλος μαθηματικός Andrew Wiles, ο οποίος ενδιαφέρεται για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat από την παιδική του ηλικία και έχει εμπειρία στην εργασία με ελλειπτικές καμπύλες και παρακείμενους τομείς, αποφάσισε να προσπαθήσει να αποδείξει την Taniyama-Shimura Εικασία ως τρόπος να αποδειχθεί το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά. Το 1993, έξι χρόνια μετά την ανακοίνωση του στόχου του, ενώ εργαζόταν κρυφά στο πρόβλημα της επίλυσης του θεωρήματος, ο Wiles κατάφερε να αποδείξει μια σχετική εικασία, η οποία με τη σειρά του θα τον βοηθούσε να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat. Το έγγραφο του Wiles ήταν τεράστιο σε μέγεθος και εύρος.
Ανακαλύφθηκε ένα ελάττωμα σε ένα μέρος της αρχικής του εργασίας κατά τη διάρκεια της αξιολόγησης από ομοτίμους και χρειάστηκε άλλος ένας χρόνος συνεργασίας με τον Richard Taylor για την από κοινού επίλυση του θεωρήματος. Ως αποτέλεσμα, η τελική απόδειξη του Wiles για το Τελευταίο Θεώρημα του Fermat δεν άργησε να έρθει. Το 1995, δημοσιεύτηκε σε πολύ μικρότερη κλίμακα από την προηγούμενη μαθηματική εργασία του Wiles, δείχνοντας ότι δεν έκανε λάθος στα προηγούμενα συμπεράσματά του σχετικά με τη δυνατότητα απόδειξης του θεωρήματος. Το επίτευγμα του Wiles δημοσιοποιήθηκε ευρέως στο δημοφιλές Τύπο και διαδόθηκε σε βιβλία και τηλεοπτικά προγράμματα. Τα υπόλοιπα μέρη της εικασίας Taniyama-Shimura-Weil, τα οποία έχουν πλέον αποδειχθεί καιγνωστό ως θεώρημα σπονδυλωτότητας, αποδείχθηκαν στη συνέχεια από άλλους μαθηματικούς που βασίστηκαν στο έργο του Wiles μεταξύ 1996 και 2001. Για το επίτευγμά του, ο Wiles έχει τιμηθεί και έχει λάβει πολλά βραβεία, συμπεριλαμβανομένου του βραβείου Abel 2016.
Η απόδειξη του Wiles για το τελευταίο θεώρημα του Fermat είναι μια ειδική περίπτωση επίλυσης του θεωρήματος της σπονδυλωτικότητας για ελλειπτικές καμπύλες. Ωστόσο, αυτή είναι η πιο διάσημη περίπτωση μιας τόσο μεγάλης κλίμακας μαθηματικής πράξης. Μαζί με την επίλυση του θεωρήματος του Ribe, ο Βρετανός μαθηματικός απέκτησε επίσης μια απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat. Το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά και το Θεώρημα Αρθρότητας θεωρήθηκαν σχεδόν παγκοσμίως αναπόδεικτα από τους σύγχρονους μαθηματικούς, αλλά ο Andrew Wiles μπόρεσε να αποδείξει στον επιστημονικό κόσμο ότι ακόμη και οι ειδικοί μπορεί να κάνουν λάθος.
Ο Γουάιλς ανακοίνωσε για πρώτη φορά την ανακάλυψή του την Τετάρτη 23 Ιουνίου 1993 σε μια διάλεξη στο Κέιμπριτζ με τίτλο "Modular Forms, Elliptic Curves and Galois Representations". Ωστόσο, τον Σεπτέμβριο του 1993, διαπιστώθηκε ότι οι υπολογισμοί του περιείχαν λάθος. Ένα χρόνο αργότερα, στις 19 Σεπτεμβρίου 1994, σε αυτό που θα αποκαλούσε «την πιο σημαντική στιγμή της επαγγελματικής του ζωής», ο Wiles έπεσε πάνω σε μια αποκάλυψη που του επέτρεψε να διορθώσει τη λύση του προβλήματος σε σημείο που θα μπορούσε να ικανοποιήσει τα μαθηματικά κοινότητα.
Περιγραφή εργασίας
Η Απόδειξη του Θεωρήματος του Φερμά από τον Andrew Wiles χρησιμοποιεί πολλές μεθόδους από την αλγεβρική γεωμετρία και τη θεωρία αριθμών και έχει πολλές διακλαδώσεις σε αυτέςτομείς των μαθηματικών. Χρησιμοποιεί επίσης τις τυπικές κατασκευές της σύγχρονης αλγεβρικής γεωμετρίας, όπως την κατηγορία των σχημάτων και τη θεωρία Iwasawa, καθώς και άλλες μεθόδους του 20ου αιώνα που δεν ήταν διαθέσιμες στον Pierre de Fermat.
Τα δύο άρθρα που περιέχουν τα στοιχεία είναι 129 σελίδων και γράφτηκαν σε διάστημα επτά ετών. Ο Τζον Κόουτς περιέγραψε αυτή την ανακάλυψη ως ένα από τα μεγαλύτερα επιτεύγματα της θεωρίας αριθμών και ο Τζον Κόνγουεϊ την αποκάλεσε το σημαντικότερο μαθηματικό επίτευγμα του 20ού αιώνα. Ο Wiles, προκειμένου να αποδείξει το τελευταίο θεώρημα του Fermat αποδεικνύοντας το θεώρημα σπονδυλωτότητας για την ειδική περίπτωση ημισταθήσιμων ελλειπτικών καμπυλών, ανέπτυξε ισχυρές μεθόδους για την ανύψωση της σπονδυλωτότητας και άνοιξε νέες προσεγγίσεις σε πολλά άλλα προβλήματα. Για την επίλυση του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά, ονομάστηκε ιππότης και έλαβε άλλα βραβεία. Όταν έγινε γνωστό ότι ο Wiles είχε κερδίσει το βραβείο Abel, η Νορβηγική Ακαδημία Επιστημών περιέγραψε το επίτευγμά του ως «μια ευχάριστη και στοιχειώδη απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Fermat».
Πώς ήταν
Ένας από τους ανθρώπους που εξέτασαν το αρχικό χειρόγραφο του Wiles με τη λύση του θεωρήματος ήταν ο Nick Katz. Κατά τη διάρκεια της ανασκόπησής του, έθεσε στον Βρετανό μια σειρά από διευκρινιστικές ερωτήσεις που οδήγησαν τον Wiles να παραδεχτεί ότι το έργο του περιέχει σαφώς ένα κενό. Σε ένα κρίσιμο μέρος της απόδειξης, έγινε ένα σφάλμα που έδωσε μια εκτίμηση για την τάξη μιας συγκεκριμένης ομάδας: το σύστημα Euler που χρησιμοποιήθηκε για την επέκταση της μεθόδου Kolyvagin και Flach ήταν ατελές. Το λάθος, ωστόσο, δεν έκανε το έργο του άχρηστο - κάθε έργο του Wiles ήταν πολύ σημαντικό και καινοτόμο από μόνο του, όπως και πολλάεξελίξεις και μεθόδους που δημιούργησε στην πορεία του έργου του και οι οποίες επηρέασαν μόνο ένα μέρος του χειρογράφου. Ωστόσο, αυτό το πρωτότυπο έργο, που δημοσιεύτηκε το 1993, δεν είχε στην πραγματικότητα απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά.
Ο Γουάιλς πέρασε σχεδόν ένα χρόνο προσπαθώντας να ξαναβρεί μια λύση στο θεώρημα, πρώτα μόνος του και μετά σε συνεργασία με τον πρώην μαθητή του Ρίτσαρντ Τέιλορ, αλλά όλα φαινόταν να ήταν μάταια. Μέχρι το τέλος του 1993, είχαν κυκλοφορήσει φήμες ότι η απόδειξη του Wiles είχε αποτύχει στις δοκιμές, αλλά το πόσο σοβαρή ήταν αυτή η αποτυχία δεν ήταν γνωστό. Οι μαθηματικοί άρχισαν να πιέζουν τον Wiles να αποκαλύψει τις λεπτομέρειες της δουλειάς του, είτε έγινε είτε όχι, ώστε η ευρύτερη κοινότητα των μαθηματικών να μπορεί να εξερευνήσει και να χρησιμοποιήσει ό,τι μπορούσε να πετύχει. Αντί να διορθώσει γρήγορα το λάθος του, ο Γουάιλς ανακάλυψε μόνο πρόσθετες δύσκολες πτυχές στην απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά και τελικά συνειδητοποίησε πόσο δύσκολο ήταν.
Ο Ο Wyles δηλώνει ότι το πρωί της 19ης Σεπτεμβρίου 1994, ήταν στα πρόθυρα να τα παρατήσει και να τα παρατήσει, και σχεδόν παραιτήθηκε από την αποτυχία. Ήταν έτοιμος να δημοσιεύσει το ημιτελές έργο του για να μπορέσουν οι άλλοι να χτίσουν πάνω σε αυτό και να βρουν πού έκανε λάθος. Ο Άγγλος μαθηματικός αποφάσισε να δώσει στον εαυτό του μια τελευταία ευκαιρία και ανέλυσε το θεώρημα για τελευταία φορά για να προσπαθήσει να καταλάβει τους κύριους λόγους για τους οποίους η προσέγγισή του δεν λειτούργησε, όταν ξαφνικά συνειδητοποίησε ότι η προσέγγιση Kolyvagin-Flac δεν θα λειτουργούσε μέχρι ναθα συμπεριλάβει επίσης τη θεωρία του Iwasawa στη διαδικασία απόδειξης, ώστε να λειτουργήσει.
Στις 6 Οκτωβρίου, ο Wiles ζήτησε από τρεις συναδέλφους (συμπεριλαμβανομένου του F altins) να αναθεωρήσουν τη νέα του δουλειά και στις 24 Οκτωβρίου 1994, υπέβαλε δύο χειρόγραφα - "Modular eliptic curves and Fermat's last theorem" και "Theoretical properties of the δαχτυλίδι από μερικές άλγεβρες Hecke", η δεύτερη από τις οποίες ο Wiles συνέγραψε με τον Taylor και απέδειξε ότι πληρούνταν ορισμένες προϋποθέσεις για να δικαιολογηθεί το διορθωμένο βήμα στο κύριο άρθρο.
Αυτές οι δύο εργασίες εξετάστηκαν και τελικά δημοσιεύθηκαν ως πλήρης έκδοση κειμένου στα Annals of Mathematics του Μαΐου 1995. Οι νέοι υπολογισμοί του Andrew αναλύθηκαν ευρέως και τελικά έγιναν αποδεκτοί από την επιστημονική κοινότητα. Σε αυτές τις εργασίες, καθιερώθηκε το θεώρημα της σπονδυλωτότητας για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες - το τελευταίο βήμα προς την απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά, 358 χρόνια μετά τη δημιουργία του.
Ιστορία του Μεγάλου Προβλήματος
Η επίλυση αυτού του θεωρήματος θεωρείται το μεγαλύτερο πρόβλημα στα μαθηματικά εδώ και πολλούς αιώνες. Το 1816 και το 1850 η Γαλλική Ακαδημία Επιστημών προσέφερε ένα βραβείο για μια γενική απόδειξη του Τελευταίου Θεωρήματος του Φερμά. Το 1857, η Ακαδημία απένειμε 3.000 φράγκα και ένα χρυσό μετάλλιο στον Kummer για την έρευνά του σχετικά με τους ιδανικούς αριθμούς, αν και δεν έκανε αίτηση για το βραβείο. Ένα άλλο βραβείο του προσφέρθηκε το 1883 από την Ακαδημία των Βρυξελλών.
Βραβείο Wolfskell
Το 1908, ο Γερμανός βιομήχανος και ερασιτέχνης μαθηματικός Paul Wolfskel κληροδότησε 100.000 χρυσά μάρκα (ένα μεγάλο ποσό για εκείνη την εποχή)Ακαδημία Επιστημών του Γκέτινγκεν, ώστε αυτά τα χρήματα να γίνουν βραβείο για την πλήρη απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά. Στις 27 Ιουνίου 1908, η Ακαδημία δημοσίευσε εννέα κανόνες απονομής. Μεταξύ άλλων, αυτοί οι κανόνες απαιτούσαν τη δημοσίευση της απόδειξης σε περιοδικό με κριτές. Το βραβείο επρόκειτο να απονεμηθεί μόνο δύο χρόνια μετά τη δημοσίευσή του. Ο διαγωνισμός επρόκειτο να λήξει στις 13 Σεπτεμβρίου 2007 - περίπου έναν αιώνα μετά την έναρξή του. Στις 27 Ιουνίου 1997, ο Wiles έλαβε το χρηματικό έπαθλο του Wolfschel και στη συνέχεια άλλα 50.000 δολάρια. Τον Μάρτιο του 2016, έλαβε 600.000 ευρώ από τη νορβηγική κυβέρνηση ως μέρος του βραβείου Abel για «μια καταπληκτική απόδειξη του τελευταίου θεωρήματος του Φερμά με τη βοήθεια της εικασίας σπονδυλωτών για ημισταθερές ελλειπτικές καμπύλες, ανοίγοντας μια νέα εποχή στη θεωρία αριθμών». Ήταν ο παγκόσμιος θρίαμβος του ταπεινού Άγγλου.
Πριν από την απόδειξη του Wiles, το θεώρημα του Fermat, όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, θεωρούνταν απολύτως άλυτο για αιώνες. Χιλιάδες εσφαλμένα στοιχεία σε διάφορες χρονικές στιγμές παρουσιάστηκαν στην επιτροπή Wolfskell, που αντιστοιχούσαν σε περίπου 10 πόδια (3 μέτρα) αλληλογραφία. Μόνο τον πρώτο χρόνο ύπαρξης του βραβείου (1907-1908) υποβλήθηκαν 621 αιτήσεις που διεκδικούσαν την επίλυση του θεωρήματος, αν και μέχρι τη δεκαετία του 1970 ο αριθμός τους είχε μειωθεί σε περίπου 3-4 αιτήσεις το μήνα. Σύμφωνα με τον F. Schlichting, κριτή του Wolfschel, τα περισσότερα στοιχεία βασίζονταν σε στοιχειώδεις μεθόδους που διδάσκονταν στα σχολεία και συχνά παρουσιάζονταν ως «άτομα με τεχνικό υπόβαθρο αλλά αποτυχημένη σταδιοδρομία». Σύμφωνα με τον ιστορικό των μαθηματικών Howard Aves, ο τελευταίοςΤο θεώρημα του Φερμά έχει σημειώσει ένα είδος ρεκόρ - αυτό είναι το θεώρημα με τον μεγαλύτερο αριθμό εσφαλμένων αποδείξεων.
Οι δάφνες της φάρμας πήγαν στους Ιάπωνες
Όπως αναφέρθηκε προηγουμένως, γύρω στο 1955, οι Ιάπωνες μαθηματικοί Goro Shimura και Yutaka Taniyama ανακάλυψαν μια πιθανή σύνδεση μεταξύ δύο φαινομενικά εντελώς διαφορετικών κλάδων των μαθηματικών - των ελλειπτικών καμπυλών και των αρθρωτών μορφών. Το προκύπτον θεώρημα αρθρωτότητας (τότε γνωστό ως εικασία Taniyama-Shimura) δηλώνει ότι κάθε ελλειπτική καμπύλη είναι σπονδυλωτή, που σημαίνει ότι μπορεί να συσχετιστεί με μια μοναδική σπονδυλωτή μορφή.
Η θεωρία αρχικά απορρίφθηκε ως απίθανη ή άκρως εικαστική, αλλά λήφθηκε πιο σοβαρά όταν ο θεωρητικός αριθμών André Weil βρήκε στοιχεία που υποστηρίζουν τα ιαπωνικά συμπεράσματα. Ως αποτέλεσμα, η υπόθεση έχει συχνά αναφερθεί ως υπόθεση Taniyama-Shimura-Weil. Έγινε μέρος του προγράμματος Langlands, το οποίο είναι μια λίστα με σημαντικές υποθέσεις που πρέπει να αποδειχθούν στο μέλλον.
Ακόμη και μετά από σοβαρό έλεγχο, η εικασία έχει αναγνωριστεί από τους σύγχρονους μαθηματικούς ως εξαιρετικά δύσκολη ή ίσως απρόσιτη για απόδειξη. Τώρα το συγκεκριμένο θεώρημα περιμένει τον Andrew Wiles του, ο οποίος θα μπορούσε να εκπλήξει ολόκληρο τον κόσμο με τη λύση του.
Θεώρημα Fermat: Η απόδειξη του Perelman
Παρά τον δημοφιλή μύθο, ο Ρώσος μαθηματικός Γκριγκόρι Πέρελμαν, παρ' όλη την ιδιοφυΐα του, δεν έχει καμία σχέση με το θεώρημα του Φερμά. Κάτι που όμως σε καμία περίπτωση δεν το μειώνει.πολυάριθμες συνεισφορές στην επιστημονική κοινότητα.
