Στη μαθηματική περιγραφή της περιστροφικής κίνησης, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς τον άξονα. Στη γενική περίπτωση, η διαδικασία εύρεσης αυτής της ποσότητας περιλαμβάνει την υλοποίηση της διαδικασίας ολοκλήρωσης. Το λεγόμενο θεώρημα Steiner διευκολύνει τον υπολογισμό. Ας το εξετάσουμε πιο αναλυτικά στο άρθρο.
Τι είναι η ροπή αδράνειας;
Πριν δώσουμε τη διατύπωση του θεωρήματος του Steiner, είναι απαραίτητο να ασχοληθούμε με την ίδια την έννοια της ροπής αδράνειας. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο σώμα συγκεκριμένης μάζας και αυθαίρετου σχήματος. Αυτό το σώμα μπορεί να είναι είτε υλικό σημείο είτε οποιοδήποτε δισδιάστατο ή τρισδιάστατο αντικείμενο (ράβδος, κύλινδρος, μπάλα κ.λπ.). Εάν το εν λόγω αντικείμενο κάνει κυκλική κίνηση γύρω από κάποιον άξονα με σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α, τότε μπορεί να γραφεί η ακόλουθη εξίσωση:
M=Iα
Εδώ, η τιμή M αντιπροσωπεύει τη συνολική ροπή των δυνάμεων, η οποία δίνει επιτάχυνση α σε ολόκληρο το σύστημα. Ο συντελεστής αναλογικότητας μεταξύ τους - Ι, ονομάζεταιστιγμή αδράνειας. Αυτή η φυσική ποσότητα υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο γενικό τύπο:
I=∫m (r2dm)
Εδώ r είναι η απόσταση μεταξύ του στοιχείου με μάζα dm και του άξονα περιστροφής. Αυτή η έκφραση σημαίνει ότι είναι απαραίτητο να βρεθεί το άθροισμα των γινομένων των τετραγωνικών αποστάσεων r2 και της στοιχειώδους μάζας dm. Δηλαδή, η ροπή αδράνειας δεν είναι καθαρό χαρακτηριστικό του σώματος, κάτι που το διακρίνει από τη γραμμική αδράνεια. Εξαρτάται από την κατανομή της μάζας σε όλο το αντικείμενο που περιστρέφεται, καθώς και από την απόσταση από τον άξονα και από τον προσανατολισμό του σώματος σε σχέση με αυτόν. Για παράδειγμα, μια ράβδος θα έχει διαφορετικό I αν περιστραφεί γύρω από το κέντρο μάζας και περίπου στο άκρο.
Ροπή αδράνειας και θεώρημα Steiner
Ο διάσημος Ελβετός μαθηματικός, Jakob Steiner, απέδειξε το θεώρημα για τους παράλληλους άξονες και τη ροπή αδράνειας, που τώρα φέρει το όνομά του. Αυτό το θεώρημα υποστηρίζει ότι η ροπή αδράνειας για απολύτως οποιοδήποτε άκαμπτο σώμα αυθαίρετης γεωμετρίας σε σχέση με κάποιον άξονα περιστροφής είναι ίση με το άθροισμα της ροπής αδράνειας ως προς τον άξονα που τέμνει το κέντρο μάζας του σώματος και είναι παράλληλος με τον πρώτο, και το γινόμενο της μάζας σώματος επί το τετράγωνο της απόστασης μεταξύ αυτών των αξόνων. Μαθηματικά, αυτή η διατύπωση γράφεται ως εξής:
IZ=IO + ml2
IZ και IO - ροπές αδράνειας σχετικά με τον άξονα Ζ και τον άξονα Ο παράλληλος προς αυτόν, που περνά μέσω του κέντρου μάζας του σώματος, l - απόσταση μεταξύ των γραμμών Z και O.
Το θεώρημα επιτρέπει, γνωρίζοντας την τιμή του IO, να υπολογίσουμεοποιαδήποτε άλλη στιγμή IZ γύρω από έναν άξονα που είναι παράλληλος στο O.
Απόδειξη του θεωρήματος
Ο τύπος του θεωρήματος Steiner μπορεί να ληφθεί εύκολα μόνοι σας. Για να το κάνετε αυτό, σκεφτείτε ένα αυθαίρετο σώμα στο επίπεδο xy. Αφήστε την αρχή των συντεταγμένων να περάσει από το κέντρο μάζας αυτού του σώματος. Ας υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας IO που διέρχεται από την αρχή κάθετη στο επίπεδο xy. Εφόσον η απόσταση από οποιοδήποτε σημείο του σώματος εκφράζεται με τον τύπο r=√ (x2 + y2), τότε παίρνουμε το ολοκλήρωμα:
IO=∫m (r2dm)=∫ m ((x2+y2) ημ)
Τώρα ας μετακινήσουμε τον άξονα παράλληλο κατά μήκος του άξονα x κατά μια απόσταση l, για παράδειγμα, προς τη θετική κατεύθυνση, τότε ο υπολογισμός για τον νέο άξονα της ροπής αδράνειας θα μοιάζει με αυτό:
IZ=∫μ((x+l)2+y 2)δμ)
Αναπτύξτε το πλήρες τετράγωνο σε αγκύλες και διαιρέστε τα ολοκληρώματα, παίρνουμε:
IZ=∫μ ((x2+l 2+2xl+y2)δμ)=∫μ. ((x2 +y2)δμ) + 2l∫μ (xdm) + l 2∫μημ
Ο πρώτος από αυτούς τους όρους είναι η τιμή IO, ο τρίτος όρος, μετά την ολοκλήρωση, δίνει τον όρο l2m, και εδώ ο δεύτερος όρος είναι μηδέν. Ο μηδενισμός του καθορισμένου ολοκληρώματος οφείλεται στο γεγονός ότι λαμβάνεται από το γινόμενο των στοιχείων x και μάζας dm, το οποίο σεΟ μέσος όρος δίνει μηδέν, αφού το κέντρο μάζας βρίσκεται στην αρχή. Ως αποτέλεσμα, προκύπτει ο τύπος του θεωρήματος Steiner.
Η εξεταζόμενη περίπτωση στο επίπεδο μπορεί να γενικευτεί σε ένα τρισδιάστατο σώμα.
Έλεγχος του τύπου Steiner στο παράδειγμα μιας ράβδου
Ας δώσουμε ένα απλό παράδειγμα για να δείξουμε πώς να χρησιμοποιήσετε το παραπάνω θεώρημα.
Είναι γνωστό ότι για μια ράβδο μήκους L και μάζας m, η ροπή αδράνειας IO (ο άξονας διέρχεται από το κέντρο μάζας) είναι ίση με m L2 /12, και η στιγμή IZ (ο άξονας διέρχεται από το άκρο της ράβδου) είναι ίση με mL 2/3. Ας ελέγξουμε αυτά τα δεδομένα χρησιμοποιώντας το θεώρημα του Steiner. Εφόσον η απόσταση μεταξύ των δύο αξόνων είναι L/2, τότε παίρνουμε τη στιγμή IZ:
IZ=IO+ m(L/2)2=mL2/12 + mL2/4=4mL2 /12=mL2/3
Δηλαδή, ελέγξαμε τον τύπο Steiner και πήραμε την ίδια τιμή για το IZ όπως στην πηγή.
Παρόμοιοι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν και για άλλα σώματα (κύλινδρος, σφαίρα, δίσκος), ενώ λαμβάνονται οι απαραίτητες ροπές αδράνειας και χωρίς να πραγματοποιηθεί ολοκλήρωση.
Ροπή αδράνειας και κάθετοι άξονες
Το εξεταζόμενο θεώρημα αφορά παράλληλους άξονες. Για πληρότητα των πληροφοριών, είναι επίσης χρήσιμο να δοθεί ένα θεώρημα για κάθετους άξονες. Διατυπώνεται ως εξής: για ένα επίπεδο αντικείμενο αυθαίρετου σχήματος, η ροπή αδράνειας ως προς έναν άξονα κάθετο σε αυτό θα είναι ίση με το άθροισμα δύο ροπών αδράνειας για δύο αμοιβαία κάθετα και κείμενηστο επίπεδο του αντικειμένου των αξόνων, με τους τρεις άξονες να διέρχονται από το ίδιο σημείο. Μαθηματικά, αυτό γράφεται ως εξής:
Iz=Ix + Iy
Εδώ z, x, y είναι τρεις αμοιβαίοι κάθετοι άξονες περιστροφής.
Η ουσιαστική διαφορά μεταξύ αυτού του θεωρήματος και του θεωρήματος του Steiner είναι ότι εφαρμόζεται μόνο σε επίπεδα (δισδιάστατα) στερεά αντικείμενα. Ωστόσο, στην πράξη χρησιμοποιείται ευρέως, κόβοντας διανοητικά το σώμα σε ξεχωριστά στρώματα και στη συνέχεια προσθέτοντας τις λαμβανόμενες ροπές αδράνειας.
