Η ποσοτική μελέτη της δυναμικής και της κινηματικής της περιστροφικής κίνησης απαιτεί γνώση της ροπής αδράνειας ενός υλικού σημείου και ενός άκαμπτου σώματος σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Θα εξετάσουμε στο άρθρο για ποια παράμετρο μιλάμε και θα δώσουμε επίσης έναν τύπο για τον προσδιορισμό της.
Γενικές πληροφορίες για τη φυσική ποσότητα
Αρχικά, ας ορίσουμε τη ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου και ενός άκαμπτου σώματος και, στη συνέχεια, ας δείξουμε πώς πρέπει να χρησιμοποιείται για την επίλυση πρακτικών προβλημάτων.
Κάτω από το υποδεικνυόμενο φυσικό χαρακτηριστικό για ένα σημείο με μάζα m, το οποίο περιστρέφεται γύρω από τον άξονα σε απόσταση r, νοείται η ακόλουθη τιμή:
I=mr².
Όπου προκύπτει ότι η μονάδα μέτρησης της παραμέτρου που μελετήθηκε είναι κιλά ανά τετραγωνικό μέτρο (kgm²).
Αν, αντί για ένα σημείο γύρω από έναν άξονα, περιστρέφεται ένα σώμα μιγαδικού σχήματος, το οποίο έχει αυθαίρετη κατανομή μάζας μέσα του, τότε προσδιορίζεται η ροπή αδράνειας τουοπότε:
I=∫m(r²dm)=ρ∫V(r²dV).
Όπου ρ είναι η πυκνότητα του σώματος. Χρησιμοποιώντας τον ολοκληρωτικό τύπο, μπορείτε να προσδιορίσετε την τιμή του I για απολύτως οποιοδήποτε σύστημα περιστροφής.
Η ροπή αδράνειας έχει ακριβώς την ίδια σημασία για την περιστροφή με τη μάζα για τη μεταφορική κίνηση. Για παράδειγμα, όλοι γνωρίζουν ότι είναι πιο εύκολο να περιστρέψετε μια σφουγγαρίστρα δαπέδου γύρω από έναν άξονα που διέρχεται από τη λαβή της παρά από μια κάθετη. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η ροπή αδράνειας στην πρώτη περίπτωση είναι πολύ μικρότερη από ό,τι στη δεύτερη.
τιμώ για σώματα διαφορετικών σχημάτων
Κατά την επίλυση προβλημάτων στη φυσική για περιστροφή, είναι συχνά απαραίτητο να γνωρίζουμε τη ροπή αδράνειας για ένα σώμα συγκεκριμένου γεωμετρικού σχήματος, για παράδειγμα, για έναν κύλινδρο, μπάλα ή ράβδο. Εάν εφαρμόσουμε τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω για το I, τότε είναι εύκολο να λάβουμε την αντίστοιχη έκφραση για όλα τα σημαδεμένα σώματα. Παρακάτω είναι οι τύποι για μερικούς από αυτούς:
ράβδος: I=1 / 12ML²;
κύλινδρος: I=1 / 2MR²;
σφαίρα: I=2 / 5MR².
Εδώ δίνομαι για τον άξονα περιστροφής, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος. Στην περίπτωση κυλίνδρου, ο άξονας είναι παράλληλος με τη γεννήτρια του σχήματος. Η ροπή αδράνειας για άλλα γεωμετρικά σώματα και οι επιλογές για τη θέση των αξόνων περιστροφής βρίσκονται στους αντίστοιχους πίνακες. Σημειώστε ότι για να προσδιορίσετε I διαφορετικά σχήματα, αρκεί να γνωρίζετε μόνο μία γεωμετρική παράμετρο και τη μάζα του σώματος.
Θεώρημα και τύπος του Steiner
Ροπή αδράνειας μπορεί να προσδιοριστεί εάν ο άξονας περιστροφής βρίσκεται σε κάποια απόσταση από το σώμα. Για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να γνωρίζετε το μήκος αυτού του τμήματος και την τιμή IO του σώματος σε σχέση με τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο της μάζας του, ο οποίος θα πρέπει να είναι παράλληλος με αυτόν κάτω από θεώρηση. Η δημιουργία μιας σύνδεσης μεταξύ της παραμέτρου IO και της άγνωστης τιμής I καθορίζεται στο θεώρημα του Steiner. Η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου και ενός άκαμπτου σώματος γράφεται μαθηματικά ως εξής:
I=IO+ Mh2.
Εδώ M είναι η μάζα του σώματος, h είναι η απόσταση από το κέντρο μάζας στον άξονα περιστροφής, σε σχέση με τον οποίο είναι απαραίτητο να υπολογιστεί το I. Αυτή η έκφραση είναι εύκολο να ληφθεί από μόνος σας εάν χρησιμοποιήστε τον ολοκληρωτικό τύπο για το I και λάβετε υπόψη ότι όλα τα σημεία του σώματος βρίσκονται σε αποστάσεις r=r0 + h.
Το θεώρημα του Steiner απλοποιεί σημαντικά τον ορισμό του I για πολλές πρακτικές καταστάσεις. Για παράδειγμα, εάν πρέπει να βρείτε το I για μια ράβδο μήκους L και μάζας M ως προς έναν άξονα που διέρχεται από το άκρο της, τότε η εφαρμογή του θεωρήματος Steiner σάς επιτρέπει να γράψετε:
I=IO+ M(L / 2)2=1 / 12ML 2+ ML2 / 4=ML2 / 3.
Μπορείτε να ανατρέξετε στον αντίστοιχο πίνακα και να δείτε ότι περιέχει ακριβώς αυτόν τον τύπο για μια λεπτή ράβδο με άξονα περιστροφής στο άκρο της.
Εξίσωση ροπής
Στη φυσική της περιστροφής υπάρχει ένας τύπος που ονομάζεται εξίσωση των ροπών. Μοιάζει με αυτό:
M=Iα.
Εδώ M είναι η στιγμή της δύναμης, α είναι η γωνιακή επιτάχυνση. Όπως μπορείτε να δείτε, η ροπή αδράνειας ενός υλικού σημείου και ενός άκαμπτου σώματος και η ροπή δύναμης σχετίζονται γραμμικά μεταξύ τους. Η τιμή M καθορίζει τη δυνατότητα κάποιας δύναμης F να δημιουργήσει μια περιστροφική κίνηση με επιτάχυνση α στο σύστημα. Για να υπολογίσετε το M, χρησιμοποιήστε την ακόλουθη απλή έκφραση:
M=Fd.
Όπου d είναι ο ώμος της ροπής, που ισούται με την απόσταση από το διάνυσμα δύναμης F έως τον άξονα περιστροφής. Όσο μικρότερος είναι ο βραχίονας d, τόσο λιγότερη ικανότητα θα έχει η δύναμη να δημιουργήσει περιστροφή του συστήματος.
Η εξίσωση των ροπών στη σημασία της είναι πλήρως συνεπής με τον δεύτερο νόμο του Νεύτωνα. Σε αυτήν την περίπτωση, παίζω το ρόλο της αδρανειακής μάζας.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Ας φανταστούμε ένα σύστημα που είναι ένας κύλινδρος στερεωμένος σε κατακόρυφο άξονα με μια αβαρή οριζόντια ράβδο. Είναι γνωστό ότι ο άξονας περιστροφής και ο κύριος άξονας του κυλίνδρου είναι παράλληλοι μεταξύ τους και η απόσταση μεταξύ τους είναι 30 εκ. Η μάζα του κυλίνδρου είναι 1 κιλό και η ακτίνα του 5 εκ. Δύναμη 10 Το N που εφάπτεται στην τροχιά περιστροφής δρα στο σχήμα, το διάνυσμα του οποίου διέρχεται από τον κύριο άξονα του κυλίνδρου. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η γωνιακή επιτάχυνση του σχήματος, την οποία θα προκαλέσει αυτή η δύναμη.
Αρχικά, ας υπολογίσουμε τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου I. Για να το κάνετε αυτό, εφαρμόστε το θεώρημα Steiner, έχουμε:
I=IO+ M d²=1 / 2MR² + Md²=1 / 210,05² + 10, 3²=0,09125 kgm².
Πριν χρησιμοποιήσετε την εξίσωση ροπής, πρέπειπροσδιορίστε τη ροπή της δύναμης M. Σε αυτή την περίπτωση, έχουμε:
M=Fd=100, 3=3 Nm.
Τώρα μπορείτε να προσδιορίσετε την επιτάχυνση:
α=M/I=3/0,09125 ≈ 32,9 rad/s².
Η υπολογισμένη γωνιακή επιτάχυνση δείχνει ότι κάθε δευτερόλεπτο η ταχύτητα του κυλίνδρου θα αυξάνεται κατά 5,2 στροφές ανά δευτερόλεπτο.
