Σώματα που κάνουν κυκλικές κινήσεις στη φυσική περιγράφονται συνήθως χρησιμοποιώντας τύπους που περιλαμβάνουν γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση, καθώς και μεγέθη όπως ροπές περιστροφής, δυνάμεις και αδράνεια. Ας ρίξουμε μια πιο προσεκτική ματιά σε αυτές τις έννοιες στο άρθρο.
Ροπή περιστροφής γύρω από τον άξονα
Αυτό το φυσικό μέγεθος ονομάζεται επίσης γωνιακή ορμή. Η λέξη "ροπή" σημαίνει ότι η θέση του άξονα περιστροφής λαμβάνεται υπόψη κατά τον προσδιορισμό του αντίστοιχου χαρακτηριστικού. Έτσι, η γωνιακή ορμή ενός σωματιδίου μάζας m, που περιστρέφεται με ταχύτητα v γύρω από τον άξονα Ο και βρίσκεται σε απόσταση r από τον τελευταίο, περιγράφεται με τον ακόλουθο τύπο:
L¯=r¯mv¯=r¯p¯, όπου p¯ είναι η ορμή του σωματιδίου.
Το σύμβολο "¯" υποδηλώνει τη διανυσματική φύση της αντίστοιχης ποσότητας. Η κατεύθυνση του διανύσματος γωνιακής ορμής L¯ καθορίζεται από τον κανόνα του δεξιού χεριού (τέσσερα δάχτυλα κατευθύνονται από το τέλος του διανύσματος r¯ στο τέλος του p¯ και ο αριστερός αντίχειρας δείχνει πού θα κατευθυνθεί το L¯). Οι οδηγίες όλων των ονομαζόμενων διανυσμάτων φαίνονται στην κύρια φωτογραφία του άρθρου.
ΠότεΌταν λύνουν πρακτικά προβλήματα, χρησιμοποιούν τον τύπο για τη γωνιακή ορμή με τη μορφή βαθμωτή. Επιπλέον, η γραμμική ταχύτητα αντικαθίσταται από τη γωνιακή. Σε αυτήν την περίπτωση, ο τύπος για το L θα μοιάζει με αυτό:
L=mr2ω, όπου ω=vr είναι η γωνιακή ταχύτητα.
Η τιμή mr2 συμβολίζεται με το γράμμα I και ονομάζεται ροπή αδράνειας. Χαρακτηρίζει τις αδρανειακές ιδιότητες του συστήματος περιστροφής. Γενικά, η έκφραση για το L γράφεται ως εξής:
L=Iω.
Αυτός ο τύπος ισχύει όχι μόνο για ένα περιστρεφόμενο σωματίδιο μάζας m, αλλά και για οποιοδήποτε σώμα αυθαίρετου σχήματος που κάνει κυκλικές κινήσεις γύρω από κάποιον άξονα.
Ροπή αδράνειας I
Σε γενική περίπτωση, η τιμή που εισήγαγα στην προηγούμενη παράγραφο υπολογίζεται με τον τύπο:
I=∑i(miri 2).
Εδώ i υποδηλώνει τον αριθμό του στοιχείου με μάζα mi που βρίσκεται σε απόσταση ri από τον άξονα περιστροφής. Αυτή η έκφραση σάς επιτρέπει να υπολογίζετε για ένα ανομοιογενές σώμα αυθαίρετου σχήματος. Για τα περισσότερα ιδανικά τρισδιάστατα γεωμετρικά σχήματα, αυτός ο υπολογισμός έχει ήδη γίνει και οι λαμβανόμενες τιμές της ροπής αδράνειας εισάγονται στον αντίστοιχο πίνακα. Για παράδειγμα, για έναν ομοιογενή δίσκο που κάνει κυκλικές κινήσεις γύρω από έναν άξονα κάθετο στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο μάζας, I=mr2/2.
Για να κατανοήσουμε τη φυσική σημασία της στιγμής αδράνειας περιστροφής I, θα πρέπει να απαντήσουμε στην ερώτηση σχετικά με τον άξονα που είναι ευκολότερο να περιστρέφεται η σφουγγαρίστρα: αυτή που τρέχει κατά μήκος της σφουγγαρίστραςΉ ένα που είναι κάθετο σε αυτό; Στη δεύτερη περίπτωση, θα πρέπει να ασκήσετε περισσότερη δύναμη, καθώς η ροπή αδράνειας για αυτή τη θέση της σφουγγαρίστρας είναι μεγάλη.
Νόμος διατήρησης του L
Η αλλαγή της ροπής με την πάροδο του χρόνου περιγράφεται από τον παρακάτω τύπο:
dL/dt=M, όπου M=rF.
Εδώ M είναι η στιγμή της προκύπτουσας εξωτερικής δύναμης F που εφαρμόζεται στον ώμο r γύρω από τον άξονα περιστροφής.
Ο τύπος δείχνει ότι αν M=0, τότε η μεταβολή της γωνιακής ορμής L δεν θα συμβεί, δηλαδή θα παραμείνει αμετάβλητη για αυθαίρετα μεγάλο χρονικό διάστημα, ανεξάρτητα από τις εσωτερικές αλλαγές στο σύστημα. Αυτή η περίπτωση γράφεται ως έκφραση:
I1ω1=I2ω 2.
Δηλαδή, οποιεσδήποτε αλλαγές εντός του συστήματος ροπής I θα οδηγήσουν σε αλλαγές στη γωνιακή ταχύτητα ω με τέτοιο τρόπο ώστε το γινόμενο τους να παραμένει σταθερό.
Παράδειγμα εκδήλωσης αυτού του νόμου είναι ένας αθλητής στο καλλιτεχνικό πατινάζ, ο οποίος, πετώντας τα χέρια του και πιέζοντάς τα στο σώμα, αλλάζει το εγώ του, το οποίο αντανακλάται σε μια αλλαγή στην ταχύτητα περιστροφής του ω.
Το πρόβλημα της περιστροφής της Γης γύρω από τον Ήλιο
Ας λύσουμε ένα ενδιαφέρον πρόβλημα: χρησιμοποιώντας τους παραπάνω τύπους, είναι απαραίτητο να υπολογίσουμε τη στιγμή περιστροφής του πλανήτη μας στην τροχιά του.
Δεδομένου ότι η βαρύτητα των υπολοίπων πλανητών μπορεί να παραμεληθεί, και επίσηςδεδομένου ότι η ροπή της βαρυτικής δύναμης που ενεργεί από τον Ήλιο στη Γη είναι ίση με μηδέν (ώμος r=0), τότε L=const. Για να υπολογίσουμε το L, χρησιμοποιούμε τις ακόλουθες εκφράσεις:
L=Iω; I=mr2; ω=2pi/T.
Εδώ υποθέσαμε ότι η Γη μπορεί να θεωρηθεί υλικό σημείο με μάζα m=5,9721024kg, αφού οι διαστάσεις της είναι πολύ μικρότερες από την απόσταση από τον Ήλιο r=149,6 εκατομμύρια km. T=365, 256 ημέρες - η περίοδος της επανάστασης του πλανήτη γύρω από το αστέρι του (1 έτος). Αντικαθιστώντας όλα τα δεδομένα στην παραπάνω παράσταση, παίρνουμε:
L=Iω=5, 9721024(149, 6109) 223, 14/(365, 256243600)=2, 661040kgm2 /s.
Η υπολογιζόμενη τιμή της γωνιακής ορμής είναι γιγαντιαία, λόγω της μεγάλης μάζας του πλανήτη, της υψηλής τροχιακής του ταχύτητας και της τεράστιας αστρονομικής απόστασης.
