Κατά την επίλυση προβλημάτων κινούμενων αντικειμένων, σε ορισμένες περιπτώσεις παραμελούνται οι χωρικές τους διαστάσεις, εισάγοντας την έννοια του υλικού σημείου. Για έναν άλλο τύπο προβλημάτων, στα οποία λαμβάνονται υπόψη τα σώματα σε ηρεμία ή τα περιστρεφόμενα σώματα, είναι σημαντικό να γνωρίζουμε τις παραμέτρους τους και τα σημεία εφαρμογής των εξωτερικών δυνάμεων. Στην περίπτωση αυτή, μιλάμε για τη ροπή των δυνάμεων γύρω από τον άξονα περιστροφής. Θα εξετάσουμε αυτό το ζήτημα στο άρθρο.
Η έννοια της ροπής δύναμης
Πριν δώσουμε τον τύπο για τη στιγμή της δύναμης σε σχέση με τον σταθερό άξονα περιστροφής, είναι απαραίτητο να διευκρινίσουμε ποιο φαινόμενο θα συζητηθεί. Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα κλειδί μήκους d, στο άκρο του ασκείται δύναμη F. Είναι εύκολο να φανταστεί κανείς ότι το αποτέλεσμα της δράσης του θα είναι η περιστροφή του κλειδιού αριστερόστροφα και το ξεβίδωμα του παξιμαδιού.
Σύμφωνα με τον ορισμό, η ροπή δύναμης γύρω από τον άξονα περιστροφής είναιτο γινόμενο του ώμου (d σε αυτήν την περίπτωση) και της δύναμης (F), δηλαδή, μπορεί να γραφεί η ακόλουθη έκφραση: M=dF. Θα πρέπει αμέσως να σημειωθεί ότι ο παραπάνω τύπος είναι γραμμένος σε βαθμωτή μορφή, δηλαδή σας επιτρέπει να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή της ροπής M. Όπως φαίνεται από τον τύπο, η μονάδα μέτρησης της εξεταζόμενης ποσότητας είναι newtons ανά μέτρο (Nm).
Η ροπή δύναμης είναι διανυσματική ποσότητα
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η στιγμή M είναι στην πραγματικότητα ένα διάνυσμα. Για να διευκρινίσετε αυτήν τη δήλωση, εξετάστε ένα άλλο σχήμα.
Εδώ βλέπουμε έναν μοχλό μήκους L, ο οποίος είναι στερεωμένος στον άξονα (που φαίνεται από το βέλος). Μια δύναμη F ασκείται στο άκρο του υπό γωνία Φ. Δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς ότι αυτή η δύναμη θα κάνει τον μοχλό να ανέβει. Ο τύπος για τη στιγμή σε διανυσματική μορφή σε αυτή την περίπτωση θα γραφτεί ως εξής: M¯=L¯F¯, εδώ η μπάρα πάνω από το σύμβολο σημαίνει ότι η εν λόγω ποσότητα είναι διάνυσμα. Θα πρέπει να διευκρινιστεί ότι το L¯ κατευθύνεται από τον άξονα περιστροφής στο σημείο εφαρμογής της δύναμης F¯.
Η παραπάνω έκφραση είναι γινόμενο διανύσματος. Το διάνυσμα που προκύπτει (M¯) θα είναι κάθετο στο επίπεδο που σχηματίζεται από τα L¯ και F¯. Για να προσδιορίσετε την κατεύθυνση της στιγμής M¯, υπάρχουν αρκετοί κανόνες (δεξί χέρι, διάφραγμα). Για να μην τα απομνημονεύσετε και να μην μπερδευτείτε με τη σειρά πολλαπλασιασμού των διανυσμάτων L¯ και F¯ (η κατεύθυνση του M¯ εξαρτάται από αυτό), θα πρέπει να θυμάστε ένα απλό πράγμα: η στιγμή της δύναμης θα κατευθυνθεί σε τέτοια έναν τρόπο που αν κοιτάξετε από το τέλος του διανύσματός του, τότε η δρούσα δύναμηΤο F¯ θα περιστρέψει το μοχλό αριστερόστροφα. Αυτή η κατεύθυνση της στιγμής λαμβάνεται υπό όρους ως θετική. Εάν το σύστημα περιστρέφεται δεξιόστροφα, τότε η ροπή δυνάμεων που προκύπτει έχει αρνητική τιμή.
Έτσι, στην εξεταζόμενη περίπτωση με το μοχλό L, η τιμή του M¯ κατευθύνεται προς τα πάνω (από την εικόνα στον αναγνώστη).
Σε βαθμωτή μορφή, ο τύπος για τη στιγμή γράφεται ως: M=LFsin(180-Φ) ή M=LFsin(Φ) (sin(180-Φ)=sin (Φ)). Σύμφωνα με τον ορισμό του ημιτόνου, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα: M=dF, όπου d=Lsin(Φ) (δείτε το σχήμα και το αντίστοιχο ορθογώνιο τρίγωνο). Ο τελευταίος τύπος είναι παρόμοιος με αυτόν που δίνεται στην προηγούμενη παράγραφο.
Οι παραπάνω υπολογισμοί δείχνουν πώς να εργάζεστε με διανυσματικές και κλιμακωτές ποσότητες ροπών δυνάμεων προκειμένου να αποφύγετε λάθη.
Σωματική σημασία του M¯
Δεδομένου ότι οι δύο περιπτώσεις που εξετάστηκαν στις προηγούμενες παραγράφους σχετίζονται με περιστροφική κίνηση, μπορούμε να μαντέψουμε τι νόημα έχει η ροπή δύναμης. Εάν η δύναμη που ασκείται σε ένα υλικό σημείο είναι μέτρο της αύξησης της ταχύτητας της γραμμικής μετατόπισης του τελευταίου, τότε η ροπή της δύναμης είναι ένα μέτρο της περιστροφικής του ικανότητας σε σχέση με το υπό εξέταση σύστημα.
Ας δώσουμε ένα ενδεικτικό παράδειγμα. Οποιοδήποτε άτομο ανοίγει την πόρτα κρατώντας το χερούλι της. Μπορεί επίσης να γίνει πιέζοντας την πόρτα στην περιοχή της λαβής. Γιατί δεν το ανοίγει κανείς πιέζοντας στην περιοχή του μεντεσέ; Πολύ απλό: όσο πιο κοντά ασκείται η δύναμη στους μεντεσέδες, τόσο πιο δύσκολο είναι να ανοίξει η πόρτα και το αντίστροφο. Συμπέρασμα της προηγούμενης πρότασηςπροκύπτει από τον τύπο για τη στιγμή (M=dF), που δείχνει ότι στο M=const, οι τιμές d και F σχετίζονται αντιστρόφως.
Η ροπή δύναμης είναι μια αθροιστική ποσότητα
Σε όλες τις περιπτώσεις που εξετάστηκαν παραπάνω, υπήρχε μόνο μία ενεργούσα δύναμη. Κατά την επίλυση πραγματικών προβλημάτων, η κατάσταση είναι πολύ πιο περίπλοκη. Συνήθως τα συστήματα που περιστρέφονται ή βρίσκονται σε ισορροπία υπόκεινται σε πολλές δυνάμεις στρέψης, καθεμία από τις οποίες δημιουργεί τη δική της ροπή. Σε αυτή την περίπτωση, η λύση των προβλημάτων περιορίζεται στην εύρεση της συνολικής ροπής των δυνάμεων σε σχέση με τον άξονα περιστροφής.
Η συνολική ροπή βρίσκεται αθροίζοντας απλώς τις μεμονωμένες ροπές για κάθε δύναμη, ωστόσο θυμηθείτε να χρησιμοποιήσετε το σωστό πρόσημο για κάθε δύναμη.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Για την εδραίωση της αποκτηθείσας γνώσης, προτείνεται να λυθεί το ακόλουθο πρόβλημα: είναι απαραίτητο να υπολογιστεί η συνολική ροπή δύναμης για το σύστημα που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Βλέπουμε ότι τρεις δυνάμεις (F1, F2, F3) δρουν σε έναν μοχλό μήκους 7 m και έχουν διαφορετικά σημεία εφαρμογής σε σχέση με τον άξονα περιστροφής. Δεδομένου ότι η κατεύθυνση των δυνάμεων είναι κάθετη στον μοχλό, δεν χρειάζεται να χρησιμοποιηθεί διανυσματική έκφραση για τη στιγμή στρέψης. Είναι δυνατό να υπολογίσετε τη συνολική ροπή M χρησιμοποιώντας έναν βαθμωτό τύπο και θυμηθείτε να ορίσετε το επιθυμητό πρόσημο. Δεδομένου ότι οι δυνάμεις F1 και F3 τείνουν να περιστρέφουν το μοχλό αριστερόστροφα και F2 - δεξιόστροφα, η στιγμή περιστροφής για το πρώτο θα είναι θετική και για το δεύτερο - αρνητική. Έχουμε: M=F17-F25+F33=140-50+75=165 Nm. Δηλαδή, η συνολική στιγμή είναι θετική και κατευθύνεται προς τα πάνω (στον αναγνώστη).
