Κάθε μαθητής έχει ακούσει για έναν στρογγυλό κώνο και φαντάζεται πώς μοιάζει αυτή η τρισδιάστατη φιγούρα. Αυτό το άρθρο ορίζει την ανάπτυξη ενός κώνου, παρέχει τύπους που περιγράφουν τα χαρακτηριστικά του και περιγράφει τον τρόπο κατασκευής του χρησιμοποιώντας πυξίδα, μοιρογνωμόνιο και ευθεία.
Κυκλικός κώνος στη γεωμετρία
Ας δώσουμε έναν γεωμετρικό ορισμό αυτού του σχήματος. Ένας στρογγυλός κώνος είναι μια επιφάνεια που σχηματίζεται από ευθύγραμμα τμήματα που συνδέουν όλα τα σημεία ενός συγκεκριμένου κύκλου με ένα μόνο σημείο στο χώρο. Αυτό το μεμονωμένο σημείο δεν πρέπει να ανήκει στο επίπεδο στο οποίο βρίσκεται ο κύκλος. Αν πάρουμε έναν κύκλο αντί για έναν κύκλο, τότε αυτή η μέθοδος οδηγεί επίσης σε έναν κώνο.
Ο κύκλος ονομάζεται βάση του σχήματος, η περιφέρειά του είναι η ευθεία. Τα τμήματα που συνδέουν το σημείο με τον κατευθυντήρα ονομάζονται γεννήτριες ή γεννήτριες και το σημείο όπου τέμνονται είναι η κορυφή του κώνου.
Ο στρογγυλός κώνος μπορεί να είναι ίσιος και λοξός. Και τα δύο σχήματα φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Η διαφορά μεταξύ τους είναι η εξής: αν η κάθετη από την κορυφή του κώνου πέσει ακριβώς στο κέντρο του κύκλου, τότε ο κώνος θα είναι ευθύς. Για αυτόν, η κάθετη, που ονομάζεται ύψος του σχήματος, είναι μέρος του άξονά του. Στην περίπτωση ενός λοξού κώνου, το ύψος και ο άξονας σχηματίζουν οξεία γωνία.
Λόγω της απλότητας και της συμμετρίας του σχήματος, θα εξετάσουμε περαιτέρω τις ιδιότητες μόνο ενός δεξιού κώνου με στρογγυλή βάση.
Λήψη σχήματος με χρήση περιστροφής
Πριν εξετάσετε την ανάπτυξη της επιφάνειας ενός κώνου, είναι χρήσιμο να γνωρίζετε πώς μπορεί να ληφθεί αυτό το χωρικό σχήμα χρησιμοποιώντας την περιστροφή.
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές a, b, c. Τα δύο πρώτα από αυτά είναι πόδια, c είναι η υποτείνουσα. Ας βάλουμε ένα τρίγωνο στο πόδι α και ας αρχίσουμε να το περιστρέφουμε γύρω από το πόδι β. Η υποτείνουσα c θα περιγράψει τότε μια κωνική επιφάνεια. Αυτή η απλή τεχνική κώνου φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα.
Προφανώς, το σκέλος a θα είναι η ακτίνα της βάσης του σχήματος, το σκέλος b θα είναι το ύψος του και η υποτείνουσα c αντιστοιχεί στη γεννήτρια ενός στρογγυλού δεξιού κώνου.
Προβολή της ανάπτυξης του κώνου
Όπως μπορείτε να μαντέψετε, ο κώνος σχηματίζεται από δύο τύπους επιφανειών. Ένα από αυτά είναι ένας επίπεδος κύκλος βάσης. Ας υποθέσουμε ότι έχει ακτίνα r. Η δεύτερη επιφάνεια είναι πλευρική και ονομάζεται κωνική. Έστω η γεννήτριά του ίση με g.
Αν έχουμε χάρτινο χωνάκι, τότε μπορούμε να πάρουμε ψαλίδι και να κόψουμε τη βάση από αυτό. Στη συνέχεια, η κωνική επιφάνεια πρέπει να κοπείκατά μήκος οποιασδήποτε γεννήτριας και αναπτύξτε την στο αεροπλάνο. Με αυτόν τον τρόπο, αποκτήσαμε ανάπτυξη της πλευρικής επιφάνειας του κώνου. Οι δύο επιφάνειες, μαζί με τον αρχικό κώνο, φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα.
Ο βασικός κύκλος απεικονίζεται κάτω δεξιά. Η ξεδιπλωμένη κωνική επιφάνεια φαίνεται στο κέντρο. Αποδεικνύεται ότι αντιστοιχεί σε κάποιο κυκλικό τομέα του κύκλου, η ακτίνα του οποίου είναι ίση με το μήκος της γεννήτριας g.
Σάρωση γωνίας και περιοχής
Τώρα λαμβάνουμε τύπους που, χρησιμοποιώντας τις γνωστές παραμέτρους g και r, μας επιτρέπουν να υπολογίσουμε το εμβαδόν και τη γωνία του κώνου.
Προφανώς, το τόξο του κυκλικού τομέα που φαίνεται παραπάνω στο σχήμα έχει μήκος ίσο με την περιφέρεια της βάσης, δηλαδή:
l=2pir.
Αν ήταν κατασκευασμένος ολόκληρος ο κύκλος με ακτίνα g, τότε το μήκος του θα ήταν:
L=2pig.
Δεδομένου ότι το μήκος L αντιστοιχεί σε ακτίνια 2pi, τότε η γωνία στην οποία στηρίζεται το τόξο l μπορεί να προσδιοριστεί από την αντίστοιχη αναλογία:
L==>2pi;
l==> φ.
Τότε η άγνωστη γωνία φ θα είναι ίση με:
φ=2pil/L.
Αντικαθιστώντας τις εκφράσεις για τα μήκη l και L, καταλήγουμε στον τύπο για τη γωνία ανάπτυξης της πλευρικής επιφάνειας του κώνου:
φ=2pir/g.
Η γωνία φ εδώ εκφράζεται σε ακτίνια.
Για να προσδιορίσουμε την περιοχή Sb ενός κυκλικού τομέα, θα χρησιμοποιήσουμε την τιμή που βρέθηκε του φ. Κάνουμε μια ακόμη αναλογία, μόνο για τις περιοχές. Έχουμε:
2pi==>pig2;
φ==> Sb.
Από πού να εκφράσετε το Sb και μετά να αντικαταστήσετε την τιμή της γωνίας φ. Παίρνουμε:
Sb=φg2pi/(2pi)=2pir/gg 2/2=pirg.
Για το εμβαδόν μιας κωνικής επιφάνειας, έχουμε μια αρκετά συμπαγή φόρμουλα. Η τιμή του Sb είναι ίση με το γινόμενο τριών παραγόντων: pi, της ακτίνας του σχήματος και της γενεσιουργίας του.
Τότε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας του σχήματος θα είναι ίσο με το άθροισμα των Sb και So (κυκλική περιοχή βάσης). Παίρνουμε τον τύπο:
S=Sb+ So=pir(g + r).
Χτίζοντας ένα σκούπισμα κώνου σε χαρτί
Για να ολοκληρώσετε αυτήν την εργασία θα χρειαστείτε ένα κομμάτι χαρτί, ένα μολύβι, ένα μοιρογνωμόνιο, έναν χάρακα και μια πυξίδα.
Αρχικά, ας σχεδιάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές 3 cm, 4 cm και 5 cm. Η περιστροφή του γύρω από το πόδι κατά 3 cm θα δώσει τον επιθυμητό κώνο. Το σχήμα έχει r=3 cm, h=4 cm, g=5 cm.
Η δημιουργία μιας σάρωσης θα ξεκινήσει σχεδιάζοντας έναν κύκλο με ακτίνα r με μια πυξίδα. Το μήκος του θα είναι ίσο με 6pi εκ. Τώρα δίπλα του θα σχεδιάσουμε έναν άλλο κύκλο, αλλά με ακτίνα g. Το μήκος του θα αντιστοιχεί σε 10pi εκ. Τώρα πρέπει να κόψουμε έναν κυκλικό τομέα από έναν μεγάλο κύκλο. Η γωνία φ είναι:
φ=2pir/g=2pi3/5=216o.
Τώρα αφήνουμε στην άκρη αυτή τη γωνία με ένα μοιρογνωμόνιο σε έναν κύκλο με ακτίνα g και σχεδιάζουμε δύο ακτίνες που θα περιορίσουν τον κυκλικό τομέα.
ΛοιπόνΈτσι, δημιουργήσαμε μια ανάπτυξη του κώνου με τις καθορισμένες παραμέτρους της ακτίνας, του ύψους και της γεννήτριας.
Παράδειγμα επίλυσης γεωμετρικού προβλήματος
Δίνεται ένας στρογγυλός ίσιος κώνος. Είναι γνωστό ότι η γωνία της πλευρικής του σάρωσης είναι 120o. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η ακτίνα και η γενεαλογία αυτού του σχήματος, εάν είναι γνωστό ότι το ύψος h του κώνου είναι 10 cm.
Το έργο δεν είναι δύσκολο αν θυμηθούμε ότι ένας στρογγυλός κώνος είναι ένα σχήμα περιστροφής ενός ορθογωνίου τριγώνου. Από αυτό το τρίγωνο προκύπτει μια σαφής σχέση μεταξύ του ύψους, της ακτίνας και της γεννήτριας. Ας γράψουμε τον αντίστοιχο τύπο:
g2=h2+ r2.
Η δεύτερη έκφραση που χρησιμοποιείται κατά την επίλυση είναι ο τύπος για τη γωνία φ:
φ=2pir/g.
Έτσι, έχουμε δύο εξισώσεις που σχετίζονται με δύο άγνωστα μεγέθη (r και g).
Εκφράστε g από τον δεύτερο τύπο και αντικαταστήστε το αποτέλεσμα με τον πρώτο, παίρνουμε:
g=2pir/φ;
h2+ r2=4pi2r 2/φ2=>
r=h /√(4pi2/φ2 - 1).
Γωνία φ=120o σε ακτίνια είναι 2pi/3. Αντικαθιστούμε αυτήν την τιμή, παίρνουμε τους τελικούς τύπους για τα r και g:
r=h /√8;
g=3h /√8.
Απομένει να αντικαταστήσουμε την τιμή του ύψους και να λάβουμε την απάντηση στην προβληματική ερώτηση: r ≈ 3,54 cm, g ≈ 10,61 cm.
