Όταν εξετάζουμε σχήματα στο διάστημα, συχνά προκύπτουν προβλήματα στον προσδιορισμό της επιφάνειας τους. Ένα τέτοιο σχήμα είναι ο κώνος. Σκεφτείτε στο άρθρο ποια είναι η πλευρική επιφάνεια ενός κώνου με στρογγυλή βάση, καθώς και ενός κόλουρου κώνου.
Κώνος με στρογγυλή βάση
Πριν προχωρήσουμε στην εξέταση της πλευρικής επιφάνειας του κώνου, θα δείξουμε τι είδους σχήμα είναι και πώς να το αποκτήσουμε χρησιμοποιώντας γεωμετρικές μεθόδους.
Πάρτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο ABC, όπου τα AB και AC είναι σκέλη. Ας βάλουμε αυτό το τρίγωνο στο πόδι AC και ας το περιστρέψουμε γύρω από το πόδι AB. Ως αποτέλεσμα, οι πλευρές AC και BC περιγράφουν δύο επιφάνειες του σχήματος που φαίνεται παρακάτω.
Το σχήμα που προκύπτει με περιστροφή ονομάζεται στρογγυλός ευθύς κώνος. Είναι στρογγυλό γιατί η βάση του είναι κύκλος και ίσιο γιατί μια κάθετη που τραβιέται από την κορυφή του σχήματος (σημείο Β) τέμνει τον κύκλο στο κέντρο του. Το μήκος αυτής της καθέτου ονομάζεται ύψος. Προφανώς, ισούται με το πόδι ΑΒ. Το ύψος συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα h.
Εκτός από το ύψος, ο εξεταζόμενος κώνος περιγράφεται από δύο ακόμη γραμμικά χαρακτηριστικά:
- generating, ή generatrix (υποτένουσα BC);
- ακτίνα βάσης (πόδι AC).
Η ακτίνα θα συμβολίζεται με το γράμμα r και η γεννήτρια με το g. Στη συνέχεια, λαμβάνοντας υπόψη το Πυθαγόρειο θεώρημα, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα που είναι σημαντική για το υπό εξέταση σχήμα:
g2=h2+ r2
Κωνική επιφάνεια
Το σύνολο όλων των γενετικών στοιχείων σχηματίζει μια κωνική ή πλευρική επιφάνεια ενός κώνου. Εμφανισιακά, είναι δύσκολο να πει κανείς σε ποια επίπεδη φιγούρα αντιστοιχεί. Το τελευταίο είναι σημαντικό να γνωρίζετε κατά τον προσδιορισμό της περιοχής μιας κωνικής επιφάνειας. Για την επίλυση αυτού του προβλήματος, χρησιμοποιείται η μέθοδος σάρωσης. Συνίσταται στα εξής: μια επιφάνεια κόβεται νοερά κατά μήκος μιας αυθαίρετης γεννήτριας και στη συνέχεια ξεδιπλώνεται σε ένα επίπεδο. Με αυτή τη μέθοδο λήψης μιας σάρωσης, σχηματίζεται το ακόλουθο επίπεδο σχήμα.
Όπως μπορείτε να μαντέψετε, ο κύκλος αντιστοιχεί στη βάση, αλλά ο κυκλικός τομέας είναι μια κωνική επιφάνεια, η περιοχή της οποίας μας ενδιαφέρει. Ο τομέας οριοθετείται από δύο γεννήτριες και ένα τόξο. Το μήκος του τελευταίου είναι ακριβώς ίσο με την περίμετρο (μήκος) της περιφέρειας της βάσης. Αυτά τα χαρακτηριστικά καθορίζουν μοναδικά όλες τις ιδιότητες του κυκλικού τομέα. Δεν θα δώσουμε ενδιάμεσους μαθηματικούς υπολογισμούς, αλλά αμέσως θα γράψουμε τον τελικό τύπο, χρησιμοποιώντας τον οποίο μπορείτε να υπολογίσετε την περιοχή της πλευρικής επιφάνειας του κώνου. Ο τύπος είναι:
Sb=pigr
Το εμβαδόν μιας κωνικής επιφάνειας Sbείναι ίσο με το γινόμενο δύο παραμέτρων και το Pi.
Κολομμένος κώνος και η επιφάνειά του
Αν πάρουμε έναν συνηθισμένο κώνο και κόψουμε την κορυφή του με ένα παράλληλο επίπεδο, το υπόλοιπο σχήμα θα είναι ένας κόλουρος κώνος. Η πλευρική του επιφάνεια περιορίζεται από δύο στρογγυλές βάσεις. Ας συμβολίσουμε τις ακτίνες τους ως R και r. Συμβολίζουμε το ύψος του σχήματος με h και τη γεννήτρια με g. Παρακάτω είναι μια αποκοπή χαρτιού για αυτήν την εικόνα.
Φαίνεται ότι η πλευρική επιφάνεια δεν είναι πλέον κυκλικός τομέας, είναι μικρότερη σε εμβαδόν, αφού το κεντρικό τμήμα ήταν αποκομμένο από αυτήν. Η ανάπτυξη περιορίζεται σε τέσσερις γραμμές, δύο από αυτές είναι ευθύγραμμα τμήματα-γεννήτριες, οι άλλες δύο είναι τόξα με τα μήκη των αντίστοιχων κύκλων των βάσεων του κόλουρου κώνου.
Πλάγια επιφάνεια Sbυπολογίζεται ως εξής:
Sb=pig(r + R)
Η γεννήτρια, οι ακτίνες και το ύψος σχετίζονται με την ακόλουθη ισότητα:
g2=h2+ (R - r)2
Το πρόβλημα με την ισότητα των περιοχών των σχημάτων
Δίνεται ένας κώνος με ύψος 20 cm και ακτίνα βάσης 8 cm. Είναι απαραίτητο να βρείτε το ύψος ενός κόλουρου κώνου του οποίου η πλευρική επιφάνεια θα έχει την ίδια επιφάνεια με αυτόν τον κώνο. Η κολοβωμένη φιγούρα είναι χτισμένη στην ίδια βάση και η ακτίνα της άνω βάσης είναι 3 cm.
Αρχικά, ας γράψουμε την συνθήκη ισότητας των εμβαδών του κώνου και του περικομμένου σχήματος. Έχουμε:
Sb1=Sb2=>
pig1R=pig2(r + R)
Τώρα ας γράψουμε τις εκφράσεις για τις γενετικές δομές κάθε σχήματος:
g1=√(R2+ h12);
g2=√((R-r)2 + h2 2)
Αντικαταστήστε τα g1 και g2 στον τύπο για ίσα εμβαδά και τετραγωνίστε την αριστερή και τη δεξιά πλευρά, παίρνουμε:
R2(R2+ h12)=((R-r)2+ h22)(r + R)2
Όπου παίρνουμε την έκφραση για h2:
h2=√(R2(R2+ h 12)/(r + R)2- (R - r)2 )
Δεν θα απλοποιήσουμε αυτήν την ισότητα, αλλά απλώς θα αντικαταστήσουμε τα δεδομένα που είναι γνωστά από την συνθήκη:
h2=√(82(82+ 202)/(3 + 8)2- (8 - 3)2) ≈ 14,85 εκ.
Έτσι, για να εξισωθούν τα εμβαδά των πλευρικών επιφανειών των σχημάτων, ο κόλουρος κώνος πρέπει να έχει τις παραμέτρους: R=8 cm, r=3 cm, h2≈ 14, 85 εκ.
