Ένας κώνος είναι ένα από τα χωρικά σχήματα περιστροφής, τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του οποίου μελετώνται με στερεομετρία. Σε αυτό το άρθρο, θα ορίσουμε αυτό το σχήμα και θα εξετάσουμε τους βασικούς τύπους που συνδέουν τις γραμμικές παραμέτρους ενός κώνου με την επιφάνεια και τον όγκο του.
Τι είναι ένας κώνος;
Από την άποψη της γεωμετρίας, μιλάμε για ένα χωρικό σχήμα, το οποίο σχηματίζεται από ένα σύνολο ευθύγραμμων τμημάτων που συνδέουν ένα ορισμένο σημείο του χώρου με όλα τα σημεία μιας ομαλής επίπεδης καμπύλης. Αυτή η καμπύλη μπορεί να είναι κύκλος ή έλλειψη. Το παρακάτω σχήμα δείχνει έναν κώνο.
Το σχήμα που παρουσιάζεται δεν έχει όγκο, αφού τα τοιχώματα της επιφάνειάς του έχουν απειροελάχιστο πάχος. Ωστόσο, εάν είναι γεμάτο με μια ουσία και οριοθετείται από πάνω όχι από μια καμπύλη, αλλά από ένα επίπεδο σχήμα, για παράδειγμα, έναν κύκλο, τότε θα πάρουμε ένα συμπαγές ογκομετρικό σώμα, που συνήθως ονομάζεται επίσης κώνος.
Το σχήμα ενός κώνου μπορεί να βρεθεί συχνά στη ζωή. Έτσι, έχει ένα παγωτό χωνάκι ή ριγέ μαύρα και πορτοκαλί χωνάκια κυκλοφορίας που τοποθετούνται στο δρόμο για να τραβήξουν την προσοχή των συμμετεχόντων στην κυκλοφορία.
Στοιχεία ενός κώνου και οι τύποι του
Δεδομένου ότι ο κώνος δεν είναι πολύεδρο, ο αριθμός των στοιχείων που τον σχηματίζουν δεν είναι τόσο μεγάλος όσο για τα πολύεδρα. Στη γεωμετρία, ένας γενικός κώνος αποτελείται από τα ακόλουθα στοιχεία:
- βάση, η οριοθέτηση της οποίας ονομάζεται κατευθύντρια ή γεννήτρια;
- της πλευρικής επιφάνειας, η οποία είναι η συλλογή όλων των σημείων των ευθύγραμμων τμημάτων (γενετριών) που συνδέουν την κορυφή και τα σημεία της καμπύλης οδηγού·
- κορυφή, που είναι το σημείο τομής των γενετικών.
Σημειώστε ότι η κορυφή δεν πρέπει να βρίσκεται στο επίπεδο της βάσης, καθώς σε αυτήν την περίπτωση ο κώνος εκφυλίζεται σε επίπεδο σχήμα.
Αν σχεδιάσουμε ένα κάθετο τμήμα από την κορυφή προς τη βάση, θα πάρουμε το ύψος του σχήματος. Εάν η τελευταία βάση τέμνεται στο γεωμετρικό κέντρο, τότε είναι ένας ευθύς κώνος. Εάν η κάθετη δεν συμπίπτει με το γεωμετρικό κέντρο της βάσης, τότε το σχήμα θα είναι κεκλιμένο.
Οι ίσιοι και λοξοί κώνοι φαίνονται στο σχήμα. Εδώ, το ύψος και η ακτίνα της βάσης του κώνου συμβολίζονται με h και r, αντίστοιχα. Η γραμμή που συνδέει την κορυφή του σχήματος και το γεωμετρικό κέντρο της βάσης είναι ο άξονας του κώνου. Μπορεί να φανεί από το σχήμα ότι για ένα ευθύ σχήμα, το ύψος βρίσκεται σε αυτόν τον άξονα και για ένα κεκλιμένο σχήμα, το ύψος σχηματίζει γωνία με τον άξονα. Ο άξονας του κώνου υποδεικνύεται με το γράμμα a.
Ίσιος κώνος με στρογγυλή βάση
Ίσως, αυτός ο κώνος είναι ο πιο κοινός από την εξεταζόμενη κατηγορία σχημάτων. Αποτελείται από έναν κύκλο και μια πλευράεπιφάνειες. Δεν είναι δύσκολο να το αποκτήσεις με γεωμετρικές μεθόδους. Για να το κάνετε αυτό, πάρτε ένα ορθογώνιο τρίγωνο και περιστρέψτε το γύρω από έναν άξονα που συμπίπτει με ένα από τα πόδια. Προφανώς, αυτό το σκέλος θα γίνει το ύψος του σχήματος και το μήκος του δεύτερου σκέλους του τριγώνου σχηματίζει την ακτίνα της βάσης του κώνου. Το παρακάτω διάγραμμα δείχνει το περιγραφόμενο σχήμα για τη λήψη του εν λόγω σχήματος περιστροφής.
Το εικονιζόμενο τρίγωνο μπορεί να περιστραφεί γύρω από ένα άλλο πόδι, κάτι που θα έχει ως αποτέλεσμα έναν κώνο με μεγαλύτερη ακτίνα βάσης και χαμηλότερο ύψος από το πρώτο.
Για να προσδιορίσουμε με σαφήνεια όλες τις παραμέτρους ενός στρογγυλού ευθύγραμμου κώνου, θα πρέπει να γνωρίζουμε δύο από τα γραμμικά χαρακτηριστικά του. Ανάμεσά τους διακρίνονται η ακτίνα r, το ύψος h ή το μήκος της γεννήτριας g. Όλα αυτά τα μεγέθη είναι τα μήκη των πλευρών του θεωρούμενου ορθογώνιου τριγώνου, επομένως, το Πυθαγόρειο θεώρημα ισχύει για τη σύνδεσή τους:
g2=r2+ h2.
Επιφάνεια
Όταν μελετάτε την επιφάνεια οποιασδήποτε τρισδιάστατης φιγούρας, είναι βολικό να χρησιμοποιείτε την ανάπτυξή της σε ένα επίπεδο. Ο κώνος δεν αποτελεί εξαίρεση. Για έναν στρογγυλό κώνο, η ανάπτυξη φαίνεται παρακάτω.
Βλέπουμε ότι το ξεδίπλωμα του σχήματος αποτελείται από δύο μέρη:
- Ο κύκλος που σχηματίζει τη βάση του κώνου.
- Ο τομέας του κύκλου, που είναι η κωνική επιφάνεια του σχήματος.
Το εμβαδόν ενός κύκλου είναι εύκολο να βρεθεί και ο αντίστοιχος τύπος είναι γνωστός σε κάθε μαθητή. Μιλώντας για τον κυκλικό τομέα, σημειώνουμε ότιείναι μέρος ενός κύκλου με ακτίνα g (το μήκος της γεννήτριας του κώνου). Το μήκος του τόξου αυτού του τομέα είναι ίσο με την περιφέρεια της βάσης. Αυτές οι παράμετροι καθιστούν δυνατό τον ξεκάθαρο προσδιορισμό της περιοχής του. Ο αντίστοιχος τύπος είναι:
S=pir2+ pirg.
Ο πρώτος και ο δεύτερος όρος στην έκφραση είναι ο κώνος της βάσης και η πλευρική επιφάνεια της περιοχής, αντίστοιχα.
Αν το μήκος της γεννήτριας g είναι άγνωστο, αλλά δίνεται το ύψος h του σχήματος, τότε ο τύπος μπορεί να ξαναγραφτεί ως:
S=pir2+ pir√(r2+ h2).
Ο όγκος του σχήματος
Αν πάρουμε μια ευθεία πυραμίδα και αυξήσουμε τον αριθμό των πλευρών της βάσης της στο άπειρο, τότε το σχήμα της βάσης θα τείνει σε κύκλο και η πλευρική επιφάνεια της πυραμίδας θα πλησιάσει την κωνική επιφάνεια. Αυτές οι σκέψεις μας επιτρέπουν να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για τον όγκο μιας πυραμίδας κατά τον υπολογισμό μιας παρόμοιας τιμής για έναν κώνο. Ο όγκος ενός κώνου μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο:
V=1/3hSo.
Αυτός ο τύπος είναι πάντα αληθινός, ανεξάρτητα από το ποια είναι η βάση του κώνου, έχοντας εμβαδόν So. Επιπλέον, ο τύπος ισχύει και για τον λοξό κώνο.
Δεδομένου ότι μελετάμε τις ιδιότητες ενός ευθύγραμμου σχήματος με στρογγυλή βάση, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την ακόλουθη έκφραση για να προσδιορίσουμε τον όγκο του:
V=1/3hpir2.
Ο τύπος είναι προφανής.
Το πρόβλημα της εύρεσης της επιφάνειας και του όγκου
Ας δοθεί ένας κώνος, του οποίου η ακτίνα είναι 10 cm και το μήκος της γεννήτριας είναι 20βλέπε Ανάγκη προσδιορισμού όγκου και επιφάνειας για αυτό το σχήμα.
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν S, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε αμέσως τον τύπο που γράφτηκε παραπάνω. Έχουμε:
S=pir2+ pirg=942 cm2.
Για να προσδιορίσετε τον όγκο, πρέπει να γνωρίζετε το ύψος h του σχήματος. Το υπολογίζουμε χρησιμοποιώντας τη σχέση μεταξύ των γραμμικών παραμέτρων του κώνου. Παίρνουμε:
h=√(g2- r2)=√(202- 102) ≈ 17, 32 εκ.
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για το V:
V=1/3hpir2=1/317, 323, 14102 ≈ 1812, 83cm3.
Σημειώστε ότι ο όγκος ενός στρογγυλού κώνου είναι το ένα τρίτο του κυλίνδρου στον οποίο είναι εγγεγραμμένος.
