Αυτό το άρθρο θα εξηγήσει τον τύπο Black-Scholes με απλά λόγια. Το μοντέλο Black-Scholes είναι ένα μαθηματικό μοντέλο της δυναμικής μιας χρηματοπιστωτικής αγοράς που περιέχει παράγωγα επενδυτικά μέσα.
Από τη μερική διαφορική εξίσωση στο μοντέλο (γνωστή ως εξίσωση Black-Scholes), μπορεί να προκύψει ο τύπος Black-Scholes. Δίνει μια θεωρητική τιμή δικαιώματος προαίρεσης ευρωπαϊκού τύπου και δείχνει ότι το δικαίωμα προαίρεσης έχει μια μοναδική τιμή ανεξάρτητα από τον κίνδυνο του τίτλου και την αναμενόμενη απόδοση του (αντί να αντικαταστήσει την αναμενόμενη απόδοση του τίτλου με ένα επιτόκιο ουδέτερο ως προς τον κίνδυνο).
Ο τύπος οδήγησε σε έκρηξη στις συναλλαγές δικαιωμάτων προαίρεσης και έδωσε μαθηματική νομιμότητα στο Chicago Board Options Exchange και σε άλλες αγορές δικαιωμάτων προαίρεσης σε όλο τον κόσμο. Χρησιμοποιείται ευρέως, αν και συχνά με προσαρμογές και διορθώσεις, από συμμετέχοντες στην αγορά δικαιωμάτων προαίρεσης. Στις εικόνες αυτού του άρθρου μπορείτε να δείτε παραδείγματα του τύπου Black-Scholes.
Ιστορία και ουσία
Με βάση την εργασία που αναπτύχθηκε στο παρελθόν από ερευνητές και επαγγελματίεςαγορές όπως οι Louis Bachelier, Sheen Kassouf και Ed Thorpe, Fisher Black και Myron Scholes στα τέλη της δεκαετίας του 1960 απέδειξαν ότι η δυναμική αναθεώρηση του χαρτοφυλακίου εξάλειψε την αναμενόμενη απόδοση της ασφάλειας.
Το 1970, αφού προσπάθησαν να εφαρμόσουν τη φόρμουλα στις αγορές και υπέστησαν οικονομικές απώλειες λόγω της έλλειψης διαχείρισης κινδύνου στα επαγγέλματά τους, αποφάσισαν να επικεντρωθούν στον τομέα τους, τον ακαδημαϊκό χώρο. Μετά από τρία χρόνια προσπάθειας, η φόρμουλα, που πήρε το όνομά της από τη δημοσίευσή τους, δημοσιεύτηκε τελικά το 1973 σε ένα άρθρο με τίτλο «Προτιμήσεις Επιλογών και Εταιρικά Ομόλογα» στο Journal of Political Economy. Ο Robert S. Merton ήταν ο πρώτος που δημοσίευσε μια εργασία που επεκτείνει τη μαθηματική κατανόηση του μοντέλου τιμολόγησης δικαιωμάτων προαίρεσης και επινόησε τον όρο "Μοντέλο τιμολόγησης Black-Scholes".
Για τη δουλειά τους, ο Merton και ο Scholes έλαβαν το 1997 το Nobel Memorial Prize in Economics, επιτροπή, αναφέροντας την ανακάλυψη της δυναμικής αναθεώρησης ανεξάρτητα από τον κίνδυνο ως σημαντική ανακάλυψη που αποσυνδέει την επιλογή από τον υποκείμενο κίνδυνο ασφάλειας. Παρόλο που δεν έλαβε το βραβείο λόγω του θανάτου του το 1995, ο Μπλακ αναφέρθηκε από έναν Σουηδό ακαδημαϊκό ως συμμετέχοντα. Στην παρακάτω εικόνα μπορείτε να δείτε έναν τυπικό τύπο Black-Scholes.
Επιλογές
Η κύρια ιδέα αυτού του μοντέλου είναι η αντιστάθμιση ενός δικαιώματος προαίρεσης αγοράζοντας και πουλώντας σωστά το υποκείμενο περιουσιακό στοιχείο και, ως εκ τούτου, εξαλείφοντας τον κίνδυνο. Αυτός ο τύπος αντιστάθμισης κινδύνου ονομάζεται "συνεχώς ενημερωμένη αντιστάθμιση δέλτα". Αυτόςαποτελεί τη βάση για πιο σύνθετες στρατηγικές, όπως αυτές που χρησιμοποιούν οι επενδυτικές τράπεζες και τα αμοιβαία κεφάλαια κινδύνου.
Διαχείριση κινδύνου
Οι υποθέσεις του μοντέλου έχουν χαλαρώσει και γενικευθεί προς πολλές κατευθύνσεις, με αποτέλεσμα μια ποικιλία μοντέλων που χρησιμοποιούνται επί του παρόντος στην τιμολόγηση των παραγώγων και στη διαχείριση κινδύνου. Είναι η κατανόηση του μοντέλου, όπως φαίνεται στον τύπο Black-Scholes, που χρησιμοποιείται συχνά από τους συμμετέχοντες στην αγορά, σε αντίθεση με τις πραγματικές τιμές. Αυτές οι λεπτομέρειες δεν περιλαμβάνουν όρια αρμπιτράζ και ουδέτερη τιμολόγηση κινδύνου (λόγω συνεχούς αναθεώρησης). Επιπλέον, η εξίσωση Black-Scholes, η μερική διαφορική εξίσωση που καθορίζει την τιμή ενός δικαιώματος επιλογής, επιτρέπει τον αριθμητικό προσδιορισμό των τιμών όταν δεν είναι δυνατός ένας σαφής τύπος.
Volatility
Ο τύπος Black-Scholes έχει μόνο μία παράμετρο που δεν μπορεί να παρατηρηθεί άμεσα στην αγορά: τη μέση μελλοντική μεταβλητότητα του υποκείμενου περιουσιακού στοιχείου, αν και μπορεί να βρεθεί στην τιμή άλλων επιλογών. Καθώς η τιμή μιας παραμέτρου (είτε τίθεται είτε κληθεί) αυξάνεται σε αυτήν την παράμετρο, μπορεί να αναστραφεί για να δημιουργήσει μια "επιφάνεια αστάθειας" η οποία στη συνέχεια χρησιμοποιείται για τη βαθμονόμηση άλλων μοτίβων, όπως τα παράγωγα OTC.
Έχοντας αυτές τις παραδοχές υπόψη, υποθέστε ότι αυτή η αγορά διαπραγματεύεται επίσης παράγωγα. Υποδεικνύουμε ότι αυτός ο τίτλος θα έχει μια συγκεκριμένη πληρωμή σε μια συγκεκριμένη ημερομηνία στο μέλλον, ανάλογα με την αξία που αναλαμβάνει η μετοχή.πριν από αυτή την ημερομηνία. Παραδόξως, η τιμή του παραγώγου είναι πλέον πλήρως καθορισμένη, αν και δεν γνωρίζουμε ποιο δρόμο θα ακολουθήσει η τιμή της μετοχής στο μέλλον.
Για μια ειδική περίπτωση ενός ευρωπαϊκού δικαιώματος αγοράς ή πώλησης, οι Black and Scholes έδειξαν ότι ήταν δυνατό να δημιουργηθεί μια αντισταθμισμένη θέση που αποτελείται από μια θέση long σε μια μετοχή και μια θέση short σε ένα δικαίωμα, η αξία της οποίας δεν θα εξαρτηθεί από την τιμή της μετοχής. Η δυναμική τους στρατηγική αντιστάθμισης οδήγησε σε μια μερική διαφορική εξίσωση που καθόρισε την τιμή του δικαιώματος. Η λύση του δίνεται από τον τύπο Black-Scholes.
Διαφορά όρων
Ο τύπος Black-Scholes για το excel μπορεί να ερμηνευθεί διαχωρίζοντας πρώτα την επιλογή κλήσης στη διαφορά δύο δυαδικών επιλογών. Ένα δικαίωμα αγοράς ανταλλάσσει μετρητά με ένα περιουσιακό στοιχείο κατά τη λήξη, ενώ ένα περιουσιακό στοιχείο αγοράς με ή χωρίς περιουσιακό στοιχείο απλώς αποδίδει ένα περιουσιακό στοιχείο (χωρίς μετρητά σε αντάλλαγμα) και μια κλήση χωρίς μετρητά απλώς επιστρέφει τα χρήματα (χωρίς ανταλλαγή περιουσιακού στοιχείου)). Ο τύπος Black-Scholes για μια επιλογή είναι η διαφορά δύο όρων και αυτοί οι δύο όροι είναι ίσοι με την τιμή των δυαδικών δικαιωμάτων προαίρεσης. Αυτές οι δυαδικές επιλογές διαπραγματεύονται πολύ λιγότερο συχνά από τις επιλογές βανίλιας, αλλά είναι πιο εύκολο να αναλυθούν.
Στην πράξη, ορισμένες τιμές ευαισθησίας συνήθως συντομεύονται για να ταιριάζουν στην κλίμακα των πιθανών αλλαγών παραμέτρων. Για παράδειγμα, αναφέρεται συχνά το rho διαιρούμενο με 10000 (μεταβολή κατά 1 μονάδα βάσης), vega με 100 (αλλαγή κατά 1 μονάδα όγκου) και θήτα με 365.ή 252 (ανάληψη 1 ημέρας βάσει είτε ημερολογιακών ημερών είτε ημερών διαπραγμάτευσης ανά έτος).
Το παραπάνω μοντέλο μπορεί να επεκταθεί για μεταβλητά (αλλά ντετερμινιστικά) ποσοστά και μεταβλητότητα. Το μοντέλο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την αποτίμηση των ευρωπαϊκών επιλογών για μέσα πληρωμής μερισμάτων. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι διαθέσιμες λύσεις κλειστής μορφής εάν το μέρισμα είναι ένα γνωστό ποσοστό της τιμής της μετοχής. Τα αμερικανικά και τα δικαιώματα προαίρεσης μετοχών που πληρώνουν ένα γνωστό μέρισμα σε μετρητά (πιο ρεαλιστικό από ένα αναλογικό μέρισμα βραχυπρόθεσμα) είναι πιο δύσκολο να αποτιμηθούν και είναι διαθέσιμη μια επιλογή μεθόδων λύσης (π.χ. δικτυωτά δίκτυα και πλέγματα).
Προσέγγιση
Χρήσιμη προσέγγιση: αν και η αστάθεια δεν είναι σταθερή, τα αποτελέσματα του μοντέλου συχνά βοηθούν στον καθορισμό της αντιστάθμισης στις σωστές αναλογίες για την ελαχιστοποίηση του κινδύνου. Ακόμα κι αν τα αποτελέσματα δεν είναι απολύτως ακριβή, χρησιμεύουν ως μια πρώτη προσέγγιση στην οποία μπορούν να γίνουν προσαρμογές.
Βασικό για καλύτερα μοντέλα: Το μοντέλο Black-Scholes είναι στιβαρό με την έννοια ότι μπορεί να προσαρμοστεί για να αντιμετωπίσει ορισμένες από τις αστοχίες του. Αντί να αντιμετωπίζουμε ορισμένες παραμέτρους (όπως η αστάθεια ή τα επιτόκια) ως σταθερές, τις αντιμετωπίζουμε ως μεταβλητές και έτσι προσθέτουμε πηγές κινδύνου.
Αυτό αντικατοπτρίζεται στα ελληνικά (αλλαγή της τιμής επιλογής για αλλαγή αυτών των παραμέτρων ή ισοδύναμο με τα μερικά παράγωγα σε σχέση με αυτές τις μεταβλητές) και αντιστάθμιση αυτών των ελληνικώνμειώνει τον κίνδυνο που προκαλείται από τη μεταβλητή φύση αυτών των παραμέτρων. Ωστόσο, άλλα ελαττώματα δεν μπορούν να εξαλειφθούν με την αλλαγή του μοντέλου, ιδίως τον κίνδυνο ουράς και τον κίνδυνο ρευστότητας, και αντ' αυτού αντιμετωπίζονται εκτός του μοντέλου, κυρίως με την ελαχιστοποίηση αυτών των κινδύνων και την προσομοίωση ακραίων καταστάσεων.
Ρητή μοντελοποίηση
Ρητή μοντελοποίηση: Αυτή η δυνατότητα σημαίνει ότι αντί να υποθέτετε εκ των προτέρων την αστάθεια και να υπολογίζετε τις τιμές από αυτήν, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε ένα μοντέλο για να προσδιορίσετε τη μεταβλητότητα που δίνει την σιωπηρή μεταβλητότητα της επιλογής σε δεδομένες τιμές, χρόνους και τιμές προειδοποίησης. Επιλύοντας την αστάθεια σε ένα δεδομένο σύνολο διάρκειων και τιμών απεργίας, μπορεί να δημιουργηθεί μια επιφάνεια υπονοούμενης μεταβλητότητας.
Σε αυτήν την εφαρμογή του μοντέλου Black-Scholes, λαμβάνεται ένας μετασχηματισμός των συντεταγμένων από την περιοχή τιμής στην περιοχή μεταβλητότητας. Αντί να αναφέρονται οι τιμές των δικαιωμάτων προαίρεσης σε δολάρια ανά μονάδα (που είναι δύσκολο να συγκριθούν με βάση τις απεργίες, τις διάρκειες και τη συχνότητα κουπονιών), οι τιμές των δικαιωμάτων μπορούν να αναφέρονται με όρους τεκμαρτής μεταβλητότητας, που οδηγεί σε διαπραγμάτευση αστάθειας στις αγορές δικαιωμάτων προαίρεσης.
