Η περιοχή ενός κόλουρου κώνου. Παράδειγμα τύπου και προβλήματος

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Στα σχήματα της επανάστασης στη γεωμετρία δίνεται ιδιαίτερη προσοχή κατά τη μελέτη των χαρακτηριστικών και των ιδιοτήτων τους. Ένα από αυτά είναι ένας κόλουρος κώνος. Αυτό το άρθρο στοχεύει να απαντήσει στο ερώτημα ποιος τύπος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κόλουρου κώνου.

Για ποια φιγούρα μιλάμε;

Πριν από την περιγραφή της περιοχής ενός κόλουρου κώνου, είναι απαραίτητο να δοθεί ένας ακριβής γεωμετρικός ορισμός αυτού του σχήματος. Περικομμένος είναι ένας τέτοιος κώνος, ο οποίος λαμβάνεται ως αποτέλεσμα της αποκοπής της κορυφής ενός συνηθισμένου κώνου από ένα επίπεδο. Σε αυτόν τον ορισμό, θα πρέπει να τονιστεί ένας αριθμός αποχρώσεων. Πρώτον, το επίπεδο τομής πρέπει να είναι παράλληλο με το επίπεδο της βάσης του κώνου. Δεύτερον, το αρχικό σχήμα πρέπει να είναι ένας κυκλικός κώνος. Φυσικά, μπορεί να είναι μια ελλειπτική, υπερβολική και άλλου τύπου φιγούρα, αλλά σε αυτό το άρθρο θα περιοριστούμε στο να εξετάσουμε μόνο έναν κυκλικό κώνο. Το τελευταίο φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

Είναι εύκολο να μαντέψει κανείς ότι μπορεί να επιτευχθεί όχι μόνο με τη βοήθεια ενός τμήματος από ένα αεροπλάνο, αλλά και με τη βοήθεια μιας λειτουργίας περιστροφής. ΓιαΓια να το κάνετε αυτό, πρέπει να πάρετε ένα τραπεζοειδές που έχει δύο ορθές γωνίες και να το περιστρέψετε γύρω από την πλευρά που βρίσκεται δίπλα σε αυτές τις ορθές γωνίες. Ως αποτέλεσμα, οι βάσεις του τραπεζοειδούς θα γίνουν οι ακτίνες των βάσεων του κόλουρου κώνου και η πλευρική κεκλιμένη πλευρά του τραπεζοειδούς θα περιγράφει την κωνική επιφάνεια.

Ανάπτυξη σχήματος

Λαμβάνοντας υπόψη την επιφάνεια ενός κόλουρου κώνου, είναι χρήσιμο να φέρουμε την ανάπτυξή του, δηλαδή την εικόνα της επιφάνειας μιας τρισδιάστατης φιγούρας σε ένα επίπεδο. Ακολουθεί μια σάρωση του μελετημένου σχήματος με αυθαίρετες παραμέτρους.

Μπορεί να φανεί ότι η περιοχή του σχήματος σχηματίζεται από τρία στοιχεία: δύο κύκλους και ένα κολοβωμένο κυκλικό τμήμα. Προφανώς, για να προσδιοριστεί η απαιτούμενη περιοχή, είναι απαραίτητο να αθροιστούν τα εμβαδά όλων των ονομαζόμενων σχημάτων. Ας λύσουμε αυτό το πρόβλημα στην επόμενη παράγραφο.

Περιοχή περικομμένου κώνου

Για να γίνει πιο εύκολη η κατανόηση του ακόλουθου συλλογισμού, εισάγουμε τον ακόλουθο συμβολισμό:

• r1, r2 - ακτίνες των μεγάλων και μικρών βάσεων αντίστοιχα;
• h - ύψος φιγούρας;
• g - γένεση του κώνου (το μήκος της λοξής πλευράς του τραπεζοειδούς).

Το εμβαδόν των βάσεων ενός κόλουρου κώνου είναι εύκολο να υπολογιστεί. Ας γράψουμε τις αντίστοιχες εκφράσεις:

S_o1=pir₁²;

S_o2=pir₂².

Η περιοχή ενός τμήματος ενός κυκλικού τμήματος είναι κάπως πιο δύσκολο να προσδιοριστεί. Αν φανταστούμε ότι το κέντρο αυτού του κυκλικού τομέα δεν είναι αποκομμένο, τότε η ακτίνα του θα είναι ίση με την τιμή G. Δεν είναι δύσκολο να το υπολογίσουμε αν λάβουμε υπόψη το αντίστοιχοπαρόμοια ορθογώνια κωνικά τρίγωνα. Είναι ίσο με:

G=r₁g/(r₁-r₂1

-r2).

Τότε το εμβαδόν ολόκληρου του κυκλικού τομέα, που είναι χτισμένο στην ακτίνα G και που βασίζεται σε τόξο μήκους 2pir₁, θα είναι ίσο προς:

S₁=pir₁G=pir₁ ²g/(r₁-r₂).

Τώρα ας προσδιορίσουμε το εμβαδόν του μικρού κυκλικού τομέα S₂, το οποίο θα πρέπει να αφαιρεθεί από το S₁. Είναι ίσο με:

S₂=pir₂(G - g)=pir_{2 (r}1_g/(r1_-r2_{) - g)=pir}22^g/(r1_-r2 _).

Το εμβαδόν της κωνικής κόλουρης επιφάνειας S_bείναι ίσο με τη διαφορά μεταξύ S₁ και S ₂. Παίρνουμε:

S_b=S₁- S₂=pir ₁²g/(r₁-r₂) - pi r₂²g/(r₁-r_2)=pig(r1_+r2_).

Παρά μερικούς δυσκίνητους υπολογισμούς, πήραμε μια αρκετά απλή έκφραση για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του σχήματος.

Προσθέτοντας τις περιοχές των βάσεων και S_b, καταλήγουμε στον τύπο για το εμβαδόν ενός κόλουρου κώνου:

S=S_o1+ S_o2+ S_b=pir 12 ^{+ pir}22 ^{+ pig (r}1_+r2_).

Έτσι, για να υπολογίσετε την τιμή του S του μελετημένου σχήματος, πρέπει να γνωρίζετε τις τρεις γραμμικές παραμέτρους του.

Παράδειγμα προβλήματος

Κυκλικός ευθύς κώνοςμε ακτίνα 10 cm και ύψος 15 cm αποκόπηκε με ένα επίπεδο έτσι ώστε να προκύψει ένας κανονικός κόλουρος κώνος. Γνωρίζοντας ότι η απόσταση μεταξύ των βάσεων του κολοβωμένου σχήματος είναι 10 cm, είναι απαραίτητο να βρεθεί το εμβαδόν της επιφάνειάς του.

Για να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για την περιοχή ενός κόλουρου κώνου, πρέπει να βρείτε τρεις από τις παραμέτρους του. Ένα που γνωρίζουμε:

r₁=10 cm.

Τα άλλα δύο είναι εύκολο να υπολογιστούν αν λάβουμε υπόψη παρόμοια ορθογώνια τρίγωνα, τα οποία λαμβάνονται ως αποτέλεσμα της αξονικής τομής του κώνου. Λαμβάνοντας υπόψη την κατάσταση του προβλήματος, παίρνουμε:

r₂=105/15=3,33 cm.

Τέλος, ο οδηγός του κόλουρου κώνου g θα είναι:

g=√(10²+ (r₁-r₂) ²)=12,02 cm.

Τώρα μπορείτε να αντικαταστήσετε τις τιμές r₁, r₂ και g στον τύπο για το S:

S=pir₁²+ pir₂ 2^{+ pig(r}1_+r2_{)=851,93 cm} 2.

Η επιθυμητή επιφάνεια του σχήματος είναι περίπου 852 cm².