Κάθε μαθητής στη μελέτη της στερεομετρίας στο γυμνάσιο συνάντησε έναν κώνο. Δύο σημαντικά χαρακτηριστικά αυτού του χωρικού σχήματος είναι η επιφάνεια και ο όγκος. Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε πώς να βρείτε τον όγκο ενός στρογγυλού κώνου.
Στρογγυλός κώνος ως σχήμα περιστροφής ορθογωνίου τριγώνου
Πριν πάτε απευθείας στο θέμα του άρθρου, είναι απαραίτητο να περιγράψετε τον κώνο από γεωμετρική άποψη.
Ας υπάρχει κάποιο ορθογώνιο τρίγωνο. Εάν το περιστρέψετε γύρω από οποιοδήποτε από τα πόδια, τότε το αποτέλεσμα αυτής της ενέργειας θα είναι το επιθυμητό σχήμα, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Εδώ, το σκέλος ΑΒ είναι μέρος του άξονα του κώνου και το μήκος του αντιστοιχεί στο ύψος του σχήματος. Το δεύτερο σκέλος (τμήμα CA) θα είναι η ακτίνα του κώνου. Κατά την περιστροφή, θα περιγράψει έναν κύκλο που οριοθετεί τη βάση του σχήματος. Η υποτείνουσα BC ονομάζεται γενέθλιος άξονας του σχήματος, ή γενεσιουργός του. Το σημείο Β είναι η μόνη κορυφή του κώνου.
Δεδομένων των ιδιοτήτων του τριγώνου ABC, μπορούμε να γράψουμε τη σχέση μεταξύ της γεννήτριας g, της ακτίνας r και του ύψους h ως εξήςισότητα:
g2=h2+ r2
Αυτός ο τύπος είναι χρήσιμος για την επίλυση πολλών γεωμετρικών προβλημάτων με το εν λόγω σχήμα.
Τύπος όγκου κώνου
Ο όγκος οποιουδήποτε χωρικού σχήματος είναι η περιοχή του χώρου, η οποία περιορίζεται από τις επιφάνειες αυτού του σχήματος. Υπάρχουν δύο τέτοιες επιφάνειες για έναν κώνο:
- Πλευρικό ή κωνικό. Σχηματίζεται από όλες τις γενετικές.
- Ίδρυμα. Σε αυτήν την περίπτωση, είναι ένας κύκλος.
Λάβετε τον τύπο για τον προσδιορισμό του όγκου ενός κώνου. Για να γίνει αυτό, το κόβουμε νοερά σε πολλές στρώσεις παράλληλα με τη βάση. Κάθε ένα από τα στρώματα έχει ένα πάχος dx, το οποίο τείνει στο μηδέν. Η περιοχή Sx του στρώματος σε απόσταση x από την κορυφή του σχήματος είναι ίση με την ακόλουθη παράσταση:
Sx=pir2x2/h 2
Η εγκυρότητα αυτής της έκφρασης μπορεί να επαληθευτεί διαισθητικά αντικαθιστώντας τις τιμές x=0 και x=h. Στην πρώτη περίπτωση, θα πάρουμε ένα εμβαδόν ίσο με μηδέν, στη δεύτερη περίπτωση, θα είναι ίσο με το εμβαδόν της στρογγυλής βάσης.
Για να προσδιορίσετε τον όγκο του κώνου, πρέπει να προσθέσετε μικρούς "όγκους" κάθε στρώσης, δηλαδή θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον ολοκληρωτικό λογισμό:
V=∫0h(pir2x 2/h2dx)=pir2/h2 ∫0h(x2dx)
Υπολογίζοντας αυτό το ολοκλήρωμα, καταλήγουμε στον τελικό τύπο για έναν στρογγυλό κώνο:
V=1/3pir2h
Είναι ενδιαφέρον να σημειωθεί ότι αυτός ο τύπος είναι εντελώς παρόμοιος με αυτόν που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου μιας αυθαίρετης πυραμίδας. Αυτή η σύμπτωση δεν είναι τυχαία, γιατί κάθε πυραμίδα γίνεται κώνος όταν ο αριθμός των άκρων της αυξάνεται στο άπειρο.
Πρόβλημα υπολογισμού όγκου
Είναι χρήσιμο να δώσουμε ένα παράδειγμα επίλυσης του προβλήματος, το οποίο θα δείξει τη χρήση του παραγόμενου τύπου για τον τόμο V.
Δίνεται ένας στρογγυλός κώνος του οποίου το εμβαδόν βάσης είναι 37 cm2, και η γεννήτρια του σχήματος είναι τριπλάσια της ακτίνας. Ποιος είναι ο όγκος του κώνου;
Έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τον τύπο όγκου αν γνωρίζουμε δύο ποσότητες: το ύψος h και την ακτίνα r. Ας βρούμε τους τύπους που τους καθορίζουν σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος.
Η ακτίνα r μπορεί να υπολογιστεί γνωρίζοντας το εμβαδόν του κύκλου So, έχουμε:
So=pir2=>
r=√(So/pi)
Χρησιμοποιώντας την συνθήκη του προβλήματος, γράφουμε την ισότητα για τη γεννήτρια g:
g=3r=3√(So/pi)
Γνωρίζοντας τους τύπους για τα r και g, υπολογίστε το ύψος h:
h=√(g2- r2)=√(9So /pi - So/pi)=√(8So/pi)
Βρήκαμε όλες τις απαραίτητες παραμέτρους. Τώρα ήρθε η ώρα να τα συνδέσετε στον τύπο για το V:
V=1/3pir2h=1/3piSo/pi√ (8So/pi)=So/3√(8So /pi)
Απομένει να γίνει αντικατάστασηπεριοχή βάσης So και υπολογίστε την τιμή όγκου: V=119,75 cm3.
