Ο υπολογισμός των όγκων των χωρικών σχημάτων είναι ένα από τα σημαντικά καθήκοντα της στερεομετρίας. Σε αυτό το άρθρο, θα εξετάσουμε το ζήτημα του προσδιορισμού του όγκου ενός τέτοιου πολυέδρου ως πυραμίδας και θα δώσουμε επίσης τον τύπο για τον όγκο μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας.
εξαγωνική πυραμίδα
Πρώτα, ας δούμε ποιο είναι το σχήμα, το οποίο θα συζητηθεί στο άρθρο.
Ας έχουμε ένα αυθαίρετο εξάγωνο του οποίου οι πλευρές δεν είναι απαραίτητα ίσες μεταξύ τους. Ας υποθέσουμε επίσης ότι έχουμε επιλέξει ένα σημείο στο χώρο που δεν βρίσκεται στο επίπεδο του εξαγώνου. Συνδέοντας όλες τις γωνίες του τελευταίου με το επιλεγμένο σημείο, παίρνουμε μια πυραμίδα. Δύο διαφορετικές πυραμίδες με εξαγωνική βάση φαίνονται στο παρακάτω σχήμα.
Μπορεί να φανεί ότι εκτός από το εξάγωνο, το σχήμα αποτελείται από έξι τρίγωνα, το σημείο σύνδεσης των οποίων ονομάζεται κορυφή. Η διαφορά μεταξύ των εικονιζόμενων πυραμίδων είναι ότι το ύψος h του δεξιού τους δεν τέμνει την εξαγωνική βάση στο γεωμετρικό της κέντρο και το ύψος του αριστερού σχήματος πέφτειακριβώς σε εκείνο το κέντρο. Χάρη σε αυτό το κριτήριο, η αριστερή πυραμίδα ονομάστηκε ευθεία και η δεξιά - λοξή.
Δεδομένου ότι η βάση του αριστερού σχήματος στο σχήμα σχηματίζεται από ένα εξάγωνο με ίσες πλευρές και γωνίες, ονομάζεται σωστή. Περαιτέρω στο άρθρο θα μιλήσουμε μόνο για αυτήν την πυραμίδα.
Όγκος της εξαγωνικής πυραμίδας
Για τον υπολογισμό του όγκου μιας αυθαίρετης πυραμίδας, ισχύει ο ακόλουθος τύπος:
V=1/3hSo
Εδώ h είναι το μήκος του ύψους του σχήματος, So είναι το εμβαδόν της βάσης του. Ας χρησιμοποιήσουμε αυτήν την έκφραση για να προσδιορίσουμε τον όγκο μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας.
Δεδομένου ότι το υπό εξέταση σχήμα βασίζεται σε ένα ισόπλευρο εξάγωνο, για να υπολογίσετε το εμβαδόν του, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την ακόλουθη γενική έκφραση για ένα n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)
Εδώ n είναι ένας ακέραιος αριθμός ίσος με τον αριθμό των πλευρών (γωνιών) του πολυγώνου, a είναι το μήκος της πλευράς του, η συνεφαπτομένη συνάρτηση υπολογίζεται χρησιμοποιώντας τους κατάλληλους πίνακες.
Εφαρμόζοντας την έκφραση για n=6, παίρνουμε:
S6=6/4a2 ctg(pi/6)=√3/2a 2
Τώρα απομένει να αντικαταστήσουμε αυτήν την έκφραση στον γενικό τύπο για τον τόμο V:
V6=S6h=√3/2ha2
Έτσι, για τον υπολογισμό του όγκου της υπό εξέταση πυραμίδας, είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις δύο γραμμικές της παραμέτρους: το μήκος της πλευράς της βάσης και το ύψος του σχήματος.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Ας δείξουμε πώς η ληφθείσα έκφραση για V6 μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την επίλυση του παρακάτω προβλήματος.
Είναι γνωστό ότι ο όγκος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας είναι 100 cm3. Είναι απαραίτητο να προσδιοριστεί η πλευρά της βάσης και το ύψος του σχήματος, εάν είναι γνωστό ότι σχετίζονται μεταξύ τους με την ακόλουθη ισότητα:
a=2h
Δεδομένου ότι μόνο το a και το h περιλαμβάνονται στον τύπο για τον όγκο, οποιαδήποτε από αυτές τις παραμέτρους μπορεί να αντικατασταθεί σε αυτόν, εκφραζόμενη ως προς την άλλη. Για παράδειγμα, αντικαταστήστε το a, παίρνουμε:
V6=√3/2h(2h)2=>
h=∛(V6/(2√3))
Για να βρείτε την τιμή του ύψους ενός σχήματος, πρέπει να πάρετε τη ρίζα του τρίτου βαθμού από τον όγκο, που αντιστοιχεί στη διάσταση του μήκους. Αντικαθιστούμε την τιμή όγκου V6της πυραμίδας από τη δήλωση προβλήματος, παίρνουμε το ύψος:
h=∛(100/(2√3)) ≈ 3,0676 cm
Δεδομένου ότι η πλευρά της βάσης, σύμφωνα με την κατάσταση του προβλήματος, είναι διπλάσια από την τιμή που βρέθηκε, παίρνουμε την τιμή για αυτήν:
a=2h=23, 0676=6, 1352cm
Ο όγκος μιας εξαγωνικής πυραμίδας μπορεί να βρεθεί όχι μόνο μέσω του ύψους του σχήματος και της τιμής της πλευράς της βάσης της. Αρκεί να γνωρίζουμε δύο διαφορετικές γραμμικές παραμέτρους της πυραμίδας για να την υπολογίσουμε, για παράδειγμα, το απότεμα και το μήκος της πλευρικής ακμής.
