Η Στερεομετρία, ως κλάδος της γεωμετρίας στο διάστημα, μελετά τις ιδιότητες των πρισμάτων, των κυλίνδρων, των κώνων, των σφαιρών, των πυραμίδων και άλλων τρισδιάστατων μορφών. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο σε μια λεπτομερή ανασκόπηση των χαρακτηριστικών και των ιδιοτήτων μιας εξαγωνικής κανονικής πυραμίδας.
Ποια πυραμίδα θα μελετηθεί
Μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα είναι ένα σχήμα στο διάστημα, το οποίο περιορίζεται από ένα ισόπλευρο και ισόπλευρο εξάγωνο και έξι όμοια ισοσκελή τρίγωνα. Αυτά τα τρίγωνα μπορούν επίσης να είναι ισόπλευρα υπό ορισμένες συνθήκες. Αυτή η πυραμίδα φαίνεται παρακάτω.
Το ίδιο σχήμα φαίνεται εδώ, μόνο στη μία περίπτωση είναι στραμμένο με την πλευρική του όψη προς τον αναγνώστη και στην άλλη - με την πλευρική του άκρη.
Μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα έχει 7 όψεις, οι οποίες αναφέρθηκαν παραπάνω. Έχει επίσης 7 κορυφές και 12 άκρες. Σε αντίθεση με τα πρίσματα, όλες οι πυραμίδες έχουν μια ειδική κορυφή, η οποία σχηματίζεται από την τομή των πλευρικώντρίγωνα. Για μια κανονική πυραμίδα παίζει σημαντικό ρόλο, αφού η κάθετη που χαμηλώνει από αυτήν στη βάση του σχήματος είναι το ύψος. Επιπλέον, το ύψος θα συμβολίζεται με το γράμμα h.
Η εικονιζόμενη πυραμίδα ονομάζεται σωστή για δύο λόγους:
- στη βάση του είναι ένα εξάγωνο με ίσα μήκη πλευρών a και ίσες γωνίες 120o;
- Το ύψος της πυραμίδας h τέμνει το εξάγωνο ακριβώς στο κέντρο της (το σημείο τομής βρίσκεται στην ίδια απόσταση από όλες τις πλευρές και από όλες τις κορυφές του εξαγώνου).
Επιφάνεια
Οι ιδιότητες μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας θα ληφθούν υπόψη από τον ορισμό του εμβαδού της. Για να γίνει αυτό, είναι πρώτα χρήσιμο να ξεδιπλώσετε το σχήμα σε ένα επίπεδο. Μια σχηματική αναπαράστασή του φαίνεται παρακάτω.
Μπορεί να φανεί ότι το εμβαδόν της σάρωσης, και επομένως ολόκληρη η επιφάνεια του υπό εξέταση σχήματος, είναι ίσο με το άθροισμα των εμβαδών έξι όμοιων τριγώνων και ενός εξαγώνου.
Για να προσδιορίσετε την περιοχή ενός εξαγώνου S6, χρησιμοποιήστε τον γενικό τύπο για ένα κανονικό n-gon:
S=n/4a2ctg(pi/n)=>
S6=3√3/2a2.
Όπου a είναι το μήκος της πλευράς του εξαγώνου.
Το εμβαδόν ενός τριγώνου S3 της πλευρικής πλευράς μπορεί να βρεθεί εάν γνωρίζετε την τιμή του ύψους του hb:
S3=1/2hba.
Επειδή και τα έξιτα τρίγωνα είναι ίσα μεταξύ τους, τότε παίρνουμε μια έκφραση εργασίας για τον προσδιορισμό του εμβαδού μιας εξαγωνικής πυραμίδας με τη σωστή βάση:
S=S6+ 6S3=3√3/2a2 + 61/2hba=3a(√3/2a + hb).
Τόμος πυραμίδας
Ακριβώς όπως η περιοχή, ο όγκος μιας εξαγωνικής κανονικής πυραμίδας είναι η σημαντική ιδιότητά της. Αυτός ο όγκος υπολογίζεται με τον γενικό τύπο για όλες τις πυραμίδες και τους κώνους. Ας το γράψουμε:
V=1/3Soh.
Εδώ, το σύμβολο So είναι το εμβαδόν της εξαγωνικής βάσης, δηλ. So=S 6.
Αντικαθιστώντας την παραπάνω έκφραση με S6 στον τύπο για V, καταλήγουμε στην τελική ισότητα για τον προσδιορισμό του όγκου μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας:
V=√3/2a2h.
Παράδειγμα γεωμετρικού προβλήματος
Σε μια κανονική εξαγωνική πυραμίδα, το πλευρικό άκρο είναι διπλάσιο από το μήκος της πλευράς της βάσης. Γνωρίζοντας ότι το τελευταίο είναι 7 cm, είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την επιφάνεια και τον όγκο αυτού του σχήματος.
Όπως μπορείτε να μαντέψετε, η λύση αυτού του προβλήματος περιλαμβάνει τη χρήση των εκφράσεων που λήφθηκαν παραπάνω για τα S και V. Ωστόσο, δεν θα είναι δυνατή η χρήση τους αμέσως, καθώς δεν γνωρίζουμε το απόθεμα και το ύψος μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας. Ας τα υπολογίσουμε.
Το απόθεμα hb μπορεί να προσδιοριστεί λαμβάνοντας υπόψη ένα ορθογώνιο τρίγωνο χτισμένο στις πλευρές b, a/2 και hb. Εδώ b είναι το μήκος της πλευρικής ακμής. Χρησιμοποιώντας την συνθήκη του προβλήματος, παίρνουμε:
hb=√(b2-a2/4)=√(14 2-72/4)=13, 555 εκ.
Το ύψος h της πυραμίδας μπορεί να προσδιοριστεί με τον ίδιο ακριβώς τρόπο όπως ένα απόθεμα, αλλά τώρα θα πρέπει να εξετάσουμε ένα τρίγωνο με πλευρές h, b και a, που βρίσκεται μέσα στην πυραμίδα. Το ύψος θα είναι:
h=√(b2- a2)=√(142- 7 2)=12, 124 cm.
Μπορεί να φανεί ότι η υπολογιζόμενη τιμή ύψους είναι μικρότερη από αυτή για την απόθεμα, η οποία ισχύει για οποιαδήποτε πυραμίδα.
Τώρα μπορείτε να χρησιμοποιήσετε εκφράσεις για τον όγκο και την περιοχή:
S=3a(√3/2a + hb)=37(√3/27 + 13, 555)=411, 96cm2;
V=√3/2a2h=√3/27212, 124=514, 48cm3.
Έτσι, για να προσδιορίσετε με σαφήνεια οποιοδήποτε χαρακτηριστικό μιας κανονικής εξαγωνικής πυραμίδας, πρέπει να γνωρίζετε οποιεσδήποτε δύο από τις γραμμικές παραμέτρους της.
