Το μάθημα της σχολικής γεωμετρίας χωρίζεται σε δύο μεγάλες ενότητες: επιπεδομετρία και συμπαγή γεωμετρία. Η Στερεομετρία μελετά χωρικές μορφές και τα χαρακτηριστικά τους. Σε αυτό το άρθρο, θα δούμε τι είναι ένα ευθύ πρίσμα και θα δώσουμε τύπους που περιγράφουν τις ιδιότητές του, όπως μήκη διαγώνιου, όγκο και επιφάνεια.
Τι είναι ένα πρίσμα;
Όταν ζητείται από τους μαθητές να ονομάσουν τον ορισμό του πρίσματος, απαντούν ότι αυτό το σχήμα είναι δύο ίδια παράλληλα πολύγωνα, οι πλευρές των οποίων συνδέονται με παραλληλόγραμμα. Αυτός ο ορισμός είναι όσο το δυνατόν γενικότερος, αφού δεν επιβάλλει όρους στο σχήμα των πολυγώνων, στην αμοιβαία διάταξη τους σε παράλληλα επίπεδα. Επιπλέον, συνεπάγεται την παρουσία συνδετικών παραλληλογραμμών, η κατηγορία των οποίων περιλαμβάνει επίσης ένα τετράγωνο, έναν ρόμβο και ένα ορθογώνιο. Παρακάτω μπορείτε να δείτε τι είναι ένα τετράπλευρο πρίσμα.
Βλέπουμε ότι ένα πρίσμα είναι ένα πολύεδρο (πολύεδρο) που αποτελείται από n + 2πλευρές, 2 × n κορυφές και 3 × n ακμές, όπου n είναι ο αριθμός των πλευρών (κορυφών) ενός από τα πολύγωνα.
Και τα δύο πολύγωνα ονομάζονται συνήθως βάσεις του σχήματος, οι άλλες όψεις είναι οι πλευρές του πρίσματος.
Η έννοια του ευθύγραμμου πρίσματος
Υπάρχουν διάφορα είδη πρισμάτων. Μιλούν λοιπόν για κανονικές και ακανόνιστες μορφές, για τριγωνικά, πενταγωνικά και άλλα πρίσματα, υπάρχουν κυρτές και κοίλες μορφές και τέλος, είναι κεκλιμένες και ευθείες. Ας μιλήσουμε για το τελευταίο πιο αναλυτικά.
Ένα ορθό πρίσμα είναι ένα τέτοιο σχήμα της μελετημένης κατηγορίας των πολυέδρων, των οποίων όλα τα πλευρικά τετράγωνα έχουν ορθές γωνίες. Υπάρχουν μόνο δύο τύποι τέτοιων τετράπλευρων - ένα ορθογώνιο και ένα τετράγωνο.
Η θεωρούμενη μορφή του σχήματος έχει μια σημαντική ιδιότητα: το ύψος ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής του. Σημειώστε ότι όλες οι πλευρικές άκρες του σχήματος είναι ίσες μεταξύ τους. Όσο για τις πλευρικές όψεις, στη γενική περίπτωση δεν είναι ίσες μεταξύ τους. Η ισότητά τους είναι δυνατή εάν, εκτός από το γεγονός ότι το πρίσμα είναι ευθύ, θα είναι και σωστή.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα ευθύ σχήμα με πενταγωνική βάση. Μπορεί να φανεί ότι όλες οι πλευρικές του όψεις είναι ορθογώνια.
Διαγώνιοι πρίσματος και οι γραμμικές του παράμετροι
Τα κύρια γραμμικά χαρακτηριστικά οποιουδήποτε πρίσματος είναι το ύψος του h και τα μήκη των πλευρών της βάσης του ai, όπου i=1, …, n. Εάν η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε αρκεί να γνωρίζουμε το μήκος a μιας πλευράς για να περιγράψουμε τις ιδιότητές του. Η γνώση των επισημασμένων γραμμικών παραμέτρων μας επιτρέπει να το κάνουμε ξεκάθαραορίστε τέτοιες ιδιότητες ενός σχήματος ως τον όγκο ή την επιφάνειά του.
Οι διαγώνιοι ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι τμήματα που συνδέουν οποιεσδήποτε δύο μη γειτονικές κορυφές. Τέτοιες διαγώνιοι μπορούν να είναι τριών τύπων:
- ξαπλωμένος στα επίπεδα βάσης;
- βρίσκεται στα επίπεδα των πλευρικών ορθογωνίων;
- φιγούρες που ανήκουν στον τόμο.
Τα μήκη αυτών των διαγωνίων που σχετίζονται με τη βάση θα πρέπει να καθορίζονται ανάλογα με τον τύπο του n-gon.
Οι διαγώνιες των πλευρικών ορθογωνίων υπολογίζονται χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
d1i=√(ai2+ h2).
Για να προσδιορίσετε τις διαγώνιες όγκου, πρέπει να γνωρίζετε την τιμή του μήκους της αντίστοιχης διαγωνίου βάσης και του ύψους. Εάν κάποια διαγώνιος της βάσης συμβολίζεται με το γράμμα d0i, τότε η διαγώνιος όγκου d2i υπολογίζεται ως εξής:
d2i=√(d0i2+ h2).
Για παράδειγμα, στην περίπτωση ενός κανονικού τετραγωνικού πρίσματος, το μήκος της διαγωνίου όγκου θα είναι:
d2=√(2 × a2+ h2).
Σημειώστε ότι ένα ορθογώνιο τριγωνικό πρίσμα έχει μόνο έναν από τους τρεις ονομαζόμενους τύπους διαγωνίων: την πλευρική διαγώνιο.
Επιφάνεια της υπό μελέτη κατηγορίας σχημάτων
Εμβαδόν επιφάνειας είναι το άθροισμα των εμβαδών όλων των όψεων ενός σχήματος. Για να απεικονίσετε όλα τα πρόσωπα, θα πρέπει να κάνετε μια σάρωση του πρίσματος. Για παράδειγμα, μια τέτοια σάρωση για ένα πενταγωνικό σχήμα φαίνεται παρακάτω.
Βλέπουμε ότι ο αριθμός των επίπεδων σχημάτων είναι n + 2, και n είναι ορθογώνια. Για να υπολογίσετε το εμβαδόν ολόκληρης της σάρωσης, προσθέστε τα εμβαδά δύο όμοιων βάσεων και τα εμβαδά όλων των ορθογωνίων. Τότε ο αντίστοιχος τύπος θα μοιάζει με:
S=2 × So+ h × ∑i=1n (ai).
Αυτή η ισότητα δείχνει ότι η πλευρική επιφάνεια για τον μελετημένο τύπο πρισμάτων είναι ίση με το γινόμενο του ύψους του σχήματος και της περιμέτρου της βάσης του.
Το εμβαδόν βάσης του So μπορεί να υπολογιστεί εφαρμόζοντας τον κατάλληλο γεωμετρικό τύπο. Για παράδειγμα, αν η βάση ενός ορθού πρίσματος είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο, τότε παίρνουμε:
So=a1 × a2 / 2.
Όπου ένα1 και ένα2 είναι τα σκέλη του τριγώνου.
Αν η βάση είναι ένα n-gon με ίσες γωνίες και πλευρές, τότε ο ακόλουθος τύπος θα είναι δίκαιος:
So=n / 4 × ctg (pi / n) × a2.
Τύπος όγκου
Ο προσδιορισμός του όγκου ενός πρίσματος οποιουδήποτε είδους δεν είναι δύσκολο έργο αν είναι γνωστά το εμβαδόν βάσης του So και το ύψος h. Πολλαπλασιάζοντας αυτές τις τιμές μαζί, παίρνουμε τον όγκο V του σχήματος, δηλαδή:
V=So × h.
Δεδομένου ότι η παράμετρος h ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι ίση με το μήκος της πλευρικής ακμής, το όλο πρόβλημα του υπολογισμού του όγκου έγκειται στον υπολογισμό της περιοχής So. Πάνω από εμάςέχουν ήδη πει μερικές λέξεις και έχουν δώσει δύο τύπους για να προσδιορίσουν το So. Εδώ σημειώνουμε μόνο ότι στην περίπτωση μιας βάσης αυθαίρετου σχήματος, θα πρέπει να τη χωρίσετε σε απλά τμήματα (τρίγωνα, ορθογώνια), να υπολογίσετε το εμβαδόν του καθενός και στη συνέχεια να προσθέσετε όλες τις περιοχές για να λάβετε S o.
