Τα γεωμετρικά σχήματα στο χώρο αποτελούν αντικείμενο μελέτης της στερεομετρίας, το μάθημα της οποίας περνούν από μαθητές γυμνασίου. Αυτό το άρθρο είναι αφιερωμένο σε ένα τόσο τέλειο πολύεδρο όπως το πρίσμα. Ας εξετάσουμε λεπτομερέστερα τις ιδιότητες ενός πρίσματος και ας δώσουμε τους τύπους που χρησιμεύουν για την ποσοτική τους περιγραφή.
Τι είναι ένα πρίσμα;
Όλοι φαντάζονται πώς μοιάζει ένα κουτί ή ένας κύβος. Και οι δύο φιγούρες είναι πρίσματα. Ωστόσο, η κατηγορία των πρισμάτων είναι πολύ πιο διαφορετική. Στη γεωμετρία, σε αυτό το σχήμα δίνεται ο ακόλουθος ορισμός: πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο στο χώρο, το οποίο σχηματίζεται από δύο παράλληλες και πανομοιότυπες πολυγωνικές πλευρές και πολλά παραλληλόγραμμα. Οι ίδιες παράλληλες όψεις ενός σχήματος ονομάζονται βάσεις του (άνω και κάτω). Τα παραλληλόγραμμα είναι οι πλευρικές όψεις του σχήματος, που συνδέουν τις πλευρές της βάσης μεταξύ τους.
Αν η βάση αντιπροσωπεύεται από ένα n-γόνιο, όπου το n είναι ακέραιος, τότε το σχήμα θα αποτελείται από 2+n όψεις, 2n κορυφές και 3n ακμές. Τα πρόσωπα και οι άκρες αναφέρονται σεένας από τους δύο τύπους: είτε ανήκουν στην πλάγια επιφάνεια, είτε στις βάσεις. Όσο για τις κορυφές, είναι όλες ίσες και ανήκουν στις βάσεις του πρίσματος.
Τύποι αριθμών της υπό μελέτη τάξης
Μελετώντας τις ιδιότητες ενός πρίσματος, θα πρέπει να απαριθμήσετε τους πιθανούς τύπους αυτού του σχήματος:
- Κυρτό και κοίλο. Η διαφορά μεταξύ τους έγκειται στο σχήμα της πολυγωνικής βάσης. Αν είναι κοίλο, τότε θα είναι και τρισδιάστατο σχήμα και το αντίστροφο.
- Ίσια και λοξή. Για ένα ευθύ πρίσμα, οι πλευρικές όψεις είναι είτε ορθογώνιες είτε τετράγωνες. Σε ένα πλάγιο σχήμα, οι πλευρικές όψεις είναι παραλληλόγραμμα γενικού τύπου ή ρόμβοι.
- Λάθος και σωστό. Για να είναι σωστό το σχήμα που μελετάται, πρέπει να είναι ίσιο και να έχει τη σωστή βάση. Ένα παράδειγμα του τελευταίου είναι επίπεδες φιγούρες όπως ένα ισόπλευρο τρίγωνο ή ένα τετράγωνο.
Το όνομα του πρίσματος σχηματίζεται λαμβάνοντας υπόψη την αναφερόμενη ταξινόμηση. Για παράδειγμα, το ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο ή ο κύβος που αναφέραμε παραπάνω ονομάζεται κανονικό τετράγωνο πρίσμα. Τα κανονικά πρίσματα, λόγω της υψηλής συμμετρίας τους, είναι βολικά για μελέτη. Οι ιδιότητές τους εκφράζονται με τη μορφή συγκεκριμένων μαθηματικών τύπων.
Περιοχή πρίσματος
Όταν θεωρούμε μια τέτοια ιδιότητα ενός πρίσματος ως το εμβαδόν του, εννοούμε το συνολικό εμβαδόν όλων των όψεών του. Είναι πιο εύκολο να φανταστείτε αυτήν την τιμή εάν ξεδιπλώσετε το σχήμα, δηλαδή επεκτείνετε όλες τις όψεις σε ένα επίπεδο. Παρακάτω επάνωΤο σχήμα δείχνει ένα παράδειγμα σάρωσης δύο πρισμάτων.
Για ένα αυθαίρετο πρίσμα, ο τύπος για το εμβαδόν της σάρωσης του σε γενική μορφή μπορεί να γραφτεί ως εξής:
S=2So+ bPsr.
Ας εξηγήσουμε τη σημειογραφία. Η τιμή So είναι το εμβαδόν μιας βάσης, b είναι το μήκος της πλευρικής ακμής, Psr είναι η περίμετρος κοπής, η οποία είναι κάθετη στα πλευρικά παραλληλόγραμμα του σχήματος.
Ο γραπτός τύπος χρησιμοποιείται συχνά για τον προσδιορισμό των περιοχών των κεκλιμένων πρισμάτων. Στην περίπτωση ενός κανονικού πρίσματος, η έκφραση για το S θα πάρει μια συγκεκριμένη μορφή:
S=n/2a2ctg(pi/n) + nba.
Ο πρώτος όρος στην έκφραση αντιπροσωπεύει το εμβαδόν των δύο βάσεων ενός κανονικού πρίσματος, ο δεύτερος όρος είναι το εμβαδόν των πλευρικών ορθογωνίων. Εδώ το a είναι το μήκος της πλευράς ενός κανονικού n-γώνου. Σημειώστε ότι το μήκος της πλευρικής ακμής b για ένα κανονικό πρίσμα είναι επίσης το ύψος του h, επομένως στον τύπο b μπορεί να αντικατασταθεί από το h.
Πώς να υπολογίσετε τον όγκο ενός σχήματος;
Το Πρίσμα είναι ένα σχετικά απλό πολύεδρο με υψηλή συμμετρία. Επομένως, για να προσδιορίσετε τον όγκο του, υπάρχει ένας πολύ απλός τύπος. Μοιάζει με αυτό:
V=Soh.
Ο υπολογισμός του εμβαδού και του ύψους της βάσης μπορεί να είναι δύσκολος όταν κοιτάτε ένα λοξό ακανόνιστο σχήμα. Αυτό το πρόβλημα επιλύεται χρησιμοποιώντας διαδοχική γεωμετρική ανάλυση που περιλαμβάνει πληροφορίες σχετικά με τις δίεδρες γωνίες μεταξύ των πλευρικών παραλληλογραμμάτων και της βάσης.
Αν το πρίσμα είναι σωστό τότεο τύπος για το V γίνεται αρκετά συγκεκριμένος:
V=n/4a2ctg(pi/n)h.
Όπως μπορείτε να δείτε, η περιοχή S και ο όγκος V για ένα κανονικό πρίσμα καθορίζονται μοναδικά εάν είναι γνωστές δύο από τις γραμμικές του παραμέτρους.
Τριγωνικό κανονικό πρίσμα
Ας ολοκληρώσουμε το άρθρο εξετάζοντας τις ιδιότητες ενός κανονικού τριγωνικού πρίσματος. Σχηματίζεται από πέντε όψεις, εκ των οποίων οι τρεις είναι ορθογώνια (τετράγωνα), και οι δύο είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Ένα πρίσμα έχει έξι κορυφές και εννέα ακμές. Για αυτό το πρίσμα, οι τύποι όγκου και επιφάνειας γράφονται παρακάτω:
S3=√3/2a2+ 3ha
V3=√3/4a2ω.
Εκτός από αυτές τις ιδιότητες, είναι επίσης χρήσιμο να δώσουμε έναν τύπο για το απόθεμα της βάσης του σχήματος, που είναι το ύψος ha ενός ισόπλευρου τριγώνου:
ha=√3/2a.
Οι πλευρές του πρίσματος είναι πανομοιότυπα ορθογώνια. Τα μήκη των διαγωνίων τους d είναι:
d=√(a2+ h2).
Η γνώση των γεωμετρικών ιδιοτήτων ενός τριγωνικού πρίσματος έχει όχι μόνο θεωρητικό αλλά και πρακτικό ενδιαφέρον. Το γεγονός είναι ότι αυτό το σχήμα, κατασκευασμένο από οπτικό γυαλί, χρησιμοποιείται για τη μελέτη του φάσματος ακτινοβολίας των σωμάτων.
Περνώντας μέσα από ένα γυάλινο πρίσμα, το φως αποσυντίθεται σε έναν αριθμό συστατικών χρωμάτων ως αποτέλεσμα του φαινομένου της διασποράς, το οποίο δημιουργεί συνθήκες για τη μελέτη της φασματικής σύνθεσης μιας ηλεκτρομαγνητικής ροής.
