Ακόμη και στην αρχαία Αίγυπτο εμφανίστηκε η επιστήμη, με τη βοήθεια της οποίας ήταν δυνατό να μετρηθούν όγκοι, εμβαδά και άλλες ποσότητες. Το έναυσμα για αυτό ήταν η κατασκευή των πυραμίδων. Περιλάμβανε σημαντικό αριθμό πολύπλοκων υπολογισμών. Και εκτός από την κατασκευή, ήταν σημαντικό να μετρηθεί σωστά η γη. Εξ ου και η επιστήμη της "γεωμετρίας" εμφανίστηκε από τις ελληνικές λέξεις "γεός" - γη και "μέτριο" - μετράω.
Η μελέτη των γεωμετρικών μορφών διευκολύνθηκε από την παρατήρηση αστρονομικών φαινομένων. Και ήδη τον 17ο αιώνα π. Χ. μι. βρέθηκαν οι αρχικές μέθοδοι για τον υπολογισμό του εμβαδού ενός κύκλου, του όγκου μιας μπάλας και η πιο σημαντική ανακάλυψη ήταν το Πυθαγόρειο θεώρημα.
Η πρόταση του θεωρήματος για έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο είναι η εξής:
Μόνο ένας κύκλος μπορεί να εγγραφεί σε ένα τρίγωνο.
Με αυτήν τη διάταξη, ο κύκλος είναι εγγεγραμμένος και το τρίγωνο περιγράφεται κοντά στον κύκλο.
Η πρόταση του θεωρήματος για το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο είναι η εξής:
Κεντρικό σημείο ενός κύκλου που εγγράφεται μέσατρίγωνο, υπάρχει ένα σημείο τομής των διχοτόμων αυτού του τριγώνου.
Κύκλος εγγεγραμμένος σε ισοσκελές τρίγωνο
Ένας κύκλος θεωρείται εγγεγραμμένος σε ένα τρίγωνο εάν αγγίζει όλες τις πλευρές του με τουλάχιστον ένα σημείο.
Η παρακάτω φωτογραφία δείχνει έναν κύκλο μέσα σε ένα ισοσκελές τρίγωνο. Η συνθήκη του θεωρήματος σχετικά με έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο πληρούται - αγγίζει όλες τις πλευρές του τριγώνου AB, BC και CA στα σημεία R, S, Q, αντίστοιχα.
Μία από τις ιδιότητες ενός ισοσκελούς τριγώνου είναι ότι ο εγγεγραμμένος κύκλος διχοτομεί τη βάση κατά το σημείο επαφής (BS=SC) και η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου είναι το ένα τρίτο του ύψους αυτού του τριγώνου (SP=AS/3).
Ιδιότητες του θεωρήματος του τριγώνου περικύκλωσης:
- Τα τμήματα που προέρχονται από τη μία κορυφή του τριγώνου στα σημεία επαφής με τον κύκλο είναι ίσα. Στην εικόνα AR=AQ, BR=BS, CS=CQ.
- Η ακτίνα ενός κύκλου (εγγεγραμμένη) είναι το εμβαδόν που διαιρείται με τη μισή περίμετρο του τριγώνου. Για παράδειγμα, πρέπει να σχεδιάσετε ένα ισοσκελές τρίγωνο με τους ίδιους χαρακτηρισμούς γραμμάτων όπως στην εικόνα, με τις ακόλουθες διαστάσεις: λαμβάνονται βάση BC \u003d 3 cm, ύψος AS \u003d 2 cm, πλευρές AB \u003d BC, αντίστοιχα. κατά 2,5 cm το καθένα. Σχεδιάζουμε μια διχοτόμο από κάθε γωνία και συμβολίζουμε το σημείο τομής τους ως P. Εγγράφουμε έναν κύκλο με ακτίνα PS, το μήκος του οποίου πρέπει να βρεθεί. Μπορείτε να μάθετε το εμβαδόν ενός τριγώνου πολλαπλασιάζοντας το 1/2 της βάσης με το ύψος: S=1/2DCAS=1/232=3 cm2 . Ημιπερίμετροςτρίγωνο είναι ίσο με το 1/2 του αθροίσματος όλων των πλευρών: P \u003d (AB + BC + SA) / 2 \u003d (2,5 + 3 + 2,5) / 2 \u003d 4 cm. PS=S/P=3/4=0,75 cm2, το οποίο είναι απολύτως αληθές όταν μετριέται με χάρακα. Αντίστοιχα, η ιδιότητα του θεωρήματος για έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο είναι αληθής.
Κύκλος εγγεγραμμένος σε ορθογώνιο τρίγωνο
Για ένα τρίγωνο με ορθή γωνία, ισχύουν οι ιδιότητες του θεωρήματος του εγγεγραμμένου κύκλου τριγώνου. Και, επιπλέον, προστίθεται η ικανότητα επίλυσης προβλημάτων με τα αξιώματα του Πυθαγόρειου θεωρήματος.
Η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μπορεί να προσδιοριστεί ως εξής: προσθέστε τα μήκη των ποδιών, αφαιρέστε την τιμή της υποτείνουσας και διαιρέστε την τιμή που προκύπτει με 2.
Υπάρχει ένας καλός τύπος που θα σας βοηθήσει να υπολογίσετε το εμβαδόν ενός τριγώνου - πολλαπλασιάστε την περίμετρο με την ακτίνα του κύκλου που εγγράφεται σε αυτό το τρίγωνο.
Διατύπωση του θεωρήματος του κύκλου
Θεωρήματα σχετικά με εγγεγραμμένα και περιγεγραμμένα σχήματα είναι σημαντικά στην επιπεδομετρία. Ένα από αυτά ακούγεται κάπως έτσι:
Το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε ένα τρίγωνο είναι το σημείο τομής των διχοτόμων από τις γωνίες του.
Το παρακάτω σχήμα δείχνει την απόδειξη αυτού του θεωρήματος. Εμφανίζεται η ισότητα των γωνιών και, κατά συνέπεια, η ισότητα των γειτονικών τριγώνων.
Θεώρημα για το κέντρο ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο
Οι ακτίνες ενός κύκλου εγγεγραμμένου σε τρίγωνο,που έλκονται στα εφαπτομενικά σημεία είναι κάθετα στις πλευρές του τριγώνου.
Η εργασία "διατύπωση του θεωρήματος σχετικά με έναν κύκλο εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο" δεν πρέπει να εκπλαγεί, επειδή αυτή είναι μια από τις θεμελιώδεις και απλούστερες γνώσεις στη γεωμετρία που πρέπει να κατανοήσετε πλήρως για να λύσετε πολλά πρακτικά προβλήματα σε πραγματική ζωή.
