Το Πολύεδρα τράβηξε την προσοχή των μαθηματικών και των επιστημόνων ακόμη και στην αρχαιότητα. Οι Αιγύπτιοι έχτισαν τις πυραμίδες. Και οι Έλληνες μελετούσαν «κανονικά πολύεδρα». Μερικές φορές ονομάζονται πλατωνικά στερεά. Τα "παραδοσιακά πολύεδρα" αποτελούνται από επίπεδες όψεις, ευθείες άκρες και κορυφές. Αλλά το κύριο ερώτημα ήταν πάντα ποιοι κανόνες πρέπει να πληρούν αυτά τα ξεχωριστά μέρη, καθώς και ποιες πρόσθετες παγκόσμιες προϋποθέσεις πρέπει να πληρούνται προκειμένου ένα αντικείμενο να χαρακτηριστεί ως πολύεδρο. Η απάντηση σε αυτήν την ερώτηση θα παρουσιαστεί στο άρθρο.
Προβλήματα στον ορισμό
Τι περιλαμβάνει αυτό το νούμερο; Ένα πολύεδρο είναι ένα κλειστό συμπαγές σχήμα που έχει επίπεδες όψεις και ευθείες άκρες. Επομένως, το πρώτο πρόβλημα του ορισμού του μπορεί να ονομαστεί ακριβώς οι πλευρές του σχήματος. Δεν είναι πάντα όλα τα πρόσωπα που βρίσκονται σε επίπεδα ένα σημάδι ενός πολύεδρου. Ας πάρουμε ως παράδειγμα τον «τριγωνικό κύλινδρο». Από τι αποτελείται; Μέρος της επιφάνειάς του τρία ανά ζεύγητα τεμνόμενα κατακόρυφα επίπεδα δεν μπορούν να θεωρηθούν πολύγωνα. Ο λόγος είναι ότι δεν έχει κορυφές. Η επιφάνεια ενός τέτοιου σχήματος σχηματίζεται με βάση τρεις ακτίνες που συναντώνται σε ένα σημείο.
Ένα ακόμη πρόβλημα - τα αεροπλάνα. Στην περίπτωση του «τριγωνικού κυλίνδρου» βρίσκεται στα απεριόριστα μέρη τους. Ένα σχήμα θεωρείται κυρτό εάν το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει οποιαδήποτε δύο σημεία του συνόλου βρίσκεται επίσης σε αυτό. Ας παρουσιάσουμε μια από τις σημαντικές ιδιότητές τους. Για τα κυρτά σύνολα, είναι ότι το σύνολο των κοινών σημείων στο σύνολο είναι το ίδιο. Υπάρχει άλλου είδους φιγούρες. Αυτά είναι μη κυρτά δισδιάστατα πολύεδρα που έχουν είτε εγκοπές είτε οπές.
Σχήματα που δεν είναι πολύεδρα
Ένα επίπεδο σύνολο σημείων μπορεί να είναι διαφορετικό (για παράδειγμα, μη κυρτό) και να μην ικανοποιεί τον συνηθισμένο ορισμό ενός πολυέδρου. Ακόμη και μέσα από αυτό, περιορίζεται από τμήματα γραμμών. Οι γραμμές ενός κυρτού πολυέδρου αποτελούνται από κυρτά σχήματα. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση στον ορισμό αποκλείει έναν αριθμό που πηγαίνει στο άπειρο. Ένα παράδειγμα αυτού θα ήταν τρεις ακτίνες που δεν συναντώνται στο ίδιο σημείο. Ταυτόχρονα όμως συνδέονται με τις κορυφές μιας άλλης φιγούρας. Παραδοσιακά, ήταν σημαντικό για ένα πολύεδρο να αποτελείται από επίπεδες επιφάνειες. Όμως με την πάροδο του χρόνου, η έννοια επεκτάθηκε, γεγονός που οδήγησε σε σημαντική βελτίωση στην κατανόηση της αρχικής «στενότερης» κατηγορίας των πολυέδρων, καθώς και στην εμφάνιση ενός νέου, ευρύτερου ορισμού.
Σωστό
Ας εισαγάγουμε έναν ακόμη ορισμό. Ένα κανονικό πολύεδρο είναι αυτό στο οποίο κάθε όψη είναι ένα ομοιόμορφο κανονικόκυρτά πολύγωνα και όλες οι κορυφές είναι "ίδιες". Αυτό σημαίνει ότι κάθε κορυφή έχει τον ίδιο αριθμό κανονικών πολυγώνων. Χρησιμοποιήστε αυτόν τον ορισμό. Έτσι, μπορείτε να βρείτε πέντε κανονικά πολύεδρα.
Πρώτα βήματα στο θεώρημα του Euler για τα πολύεδρα
Οι Έλληνες γνώριζαν για το πολύγωνο, που σήμερα ονομάζεται πεντάγραμμο. Αυτό το πολύγωνο θα μπορούσε να ονομαστεί κανονικό γιατί όλες οι πλευρές του έχουν ίσο μήκος. Υπάρχει επίσης μια άλλη σημαντική σημείωση. Η γωνία μεταξύ δύο διαδοχικών πλευρών είναι πάντα η ίδια. Ωστόσο, όταν σχεδιάζεται σε ένα επίπεδο, δεν ορίζει ένα κυρτό σύνολο και οι πλευρές του πολυέδρου τέμνονται μεταξύ τους. Ωστόσο, αυτό δεν συνέβαινε πάντα. Οι μαθηματικοί έχουν από καιρό εξετάσει την ιδέα των «μη κυρτών» κανονικών πολυεδρών. Το πεντάγραμμο ήταν ένα από αυτά. Επιτρέπονταν και «αστρικά πολύγωνα». Έχουν ανακαλυφθεί αρκετά νέα παραδείγματα «κανονικών πολύεδρων». Τώρα ονομάζονται πολύεδρα Kepler-Poinsot. Αργότερα, ο G. S. M. Coxeter και ο Branko Grünbaum επέκτειναν τους κανόνες και ανακάλυψαν άλλα "κανονικά πολύεδρα".
Πολυεδρικός τύπος
Η συστηματική μελέτη αυτών των στοιχείων ξεκίνησε σχετικά νωρίς στην ιστορία των μαθηματικών. Ο Leonhard Euler ήταν ο πρώτος που παρατήρησε ότι ένας τύπος που σχετίζει τον αριθμό των κορυφών, των όψεων και των άκρων τους ισχύει για κυρτά 3D πολύεδρα.
Μοιάζει κάπως έτσι:
V + F - E=2, όπου V είναι ο αριθμός των πολυεδρικών κορυφών, F είναι ο αριθμός των άκρων των πολύεδρων και E ο αριθμός των όψεων.
Ο Leonhard Euler είναι Ελβετόςμαθηματικός που θεωρείται ένας από τους μεγαλύτερους και πιο παραγωγικούς επιστήμονες όλων των εποχών. Ήταν τυφλός για το μεγαλύτερο μέρος της ζωής του, αλλά η απώλεια της όρασης του έδωσε έναν λόγο να γίνει ακόμα πιο παραγωγικός. Υπάρχουν διάφοροι τύποι που έχουν πάρει το όνομά του, και αυτός που μόλις εξετάσαμε ονομάζεται μερικές φορές τύπος των πολυεδρικών του Euler.
Υπάρχει μία διευκρίνιση. Ο τύπος του Euler, ωστόσο, λειτουργεί μόνο για πολύεδρα που ακολουθούν ορισμένους κανόνες. Βρίσκονται στο γεγονός ότι η φόρμα δεν πρέπει να έχει τρύπες. Και είναι απαράδεκτο να διασταυρώνεται. Ένα πολύεδρο επίσης δεν μπορεί να αποτελείται από δύο μέρη ενωμένα μεταξύ τους, όπως δύο κύβους με την ίδια κορυφή. Ο Euler ανέφερε το αποτέλεσμα της έρευνάς του σε μια επιστολή προς τον Christian Goldbach το 1750. Αργότερα, δημοσίευσε δύο εργασίες στις οποίες περιέγραψε πώς προσπαθούσε να βρει αποδείξεις για τη νέα του ανακάλυψη. Μάλιστα, υπάρχουν μορφές που δίνουν διαφορετική απάντηση στο V + F - E. Η απάντηση στο άθροισμα F + V - E=X ονομάζεται χαρακτηριστικό Euler. Έχει μια άλλη πτυχή. Ορισμένα σχήματα μπορεί ακόμη και να έχουν ένα χαρακτηριστικό Euler που είναι αρνητικό
Θεωρία Γραφημάτων
Μερικές φορές υποστηρίζεται ότι ο Descartes εξήγαγε το θεώρημα του Euler νωρίτερα. Αν και αυτός ο επιστήμονας ανακάλυψε στοιχεία για τα τρισδιάστατα πολύεδρα που θα του επέτρεπαν να εξαγάγει τον επιθυμητό τύπο, δεν έκανε αυτό το πρόσθετο βήμα. Σήμερα, στον Euler αποδίδεται ο «πατέρας» της θεωρίας γραφημάτων. Έλυσε το πρόβλημα της γέφυρας Konigsberg χρησιμοποιώντας τις ιδέες του. Αλλά ο επιστήμονας δεν εξέτασε το πολύεδρο στο πλαίσιοθεωρία γραφημάτων. Ο Euler προσπάθησε να αποδείξει έναν τύπο που βασίζεται στην αποσύνθεση ενός πολυέδρου σε πιο απλά μέρη. Αυτή η προσπάθεια υπολείπεται των σύγχρονων προτύπων απόδειξης. Αν και ο Euler δεν έδωσε την πρώτη σωστή αιτιολόγηση για τον τύπο του, δεν μπορεί κανείς να αποδείξει εικασίες που δεν έχουν γίνει. Ωστόσο, τα αποτελέσματα, που τεκμηριώθηκαν αργότερα, καθιστούν δυνατή τη χρήση του θεωρήματος του Euler και στην παρούσα στιγμή. Η πρώτη απόδειξη ελήφθη από τον μαθηματικό Adrian Marie Legendre.
Απόδειξη του τύπου του Euler
Ο Euler διατύπωσε για πρώτη φορά τον πολυεδρικό τύπο ως θεώρημα για τα πολύεδρα. Σήμερα αντιμετωπίζεται συχνά στο γενικότερο πλαίσιο των συνδεδεμένων γραφημάτων. Για παράδειγμα, ως δομές που αποτελούνται από σημεία και ευθύγραμμα τμήματα που τα συνδέουν, τα οποία βρίσκονται στο ίδιο τμήμα. Ο Augustin Louis Cauchy ήταν ο πρώτος άνθρωπος που βρήκε αυτή τη σημαντική σύνδεση. Χρησιμοποίησε ως απόδειξη του θεωρήματος του Euler. Ουσιαστικά, παρατήρησε ότι η γραφική παράσταση ενός κυρτού πολυέδρου (ή αυτό που σήμερα ονομάζεται τέτοιο) είναι τοπολογικά ομοιομορφικό με μια σφαίρα, έχει ένα επίπεδο συνδεδεμένο γράφημα. Τι είναι? Επίπεδο γράφημα είναι αυτό που έχει σχεδιαστεί στο επίπεδο με τέτοιο τρόπο ώστε οι άκρες του να συναντώνται ή να τέμνονται μόνο σε μια κορυφή. Εδώ βρέθηκε η σύνδεση μεταξύ του θεωρήματος του Euler και των γραφημάτων.
Μια ένδειξη της σημασίας του αποτελέσματος είναι ότι ο David Epstein κατάφερε να συγκεντρώσει δεκαεπτά διαφορετικά αποδεικτικά στοιχεία. Υπάρχουν πολλοί τρόποι για να δικαιολογήσετε τον πολυεδρικό τύπο του Euler. Κατά μία έννοια, οι πιο προφανείς αποδείξεις είναι μέθοδοι που χρησιμοποιούν μαθηματική επαγωγή. Το αποτέλεσμα μπορεί να αποδειχθείσχεδιάζοντάς το κατά μήκος του αριθμού των άκρων, των όψεων ή των κορυφών του γραφήματος.
Απόδειξη Rademacher και Toeplitz
Ιδιαίτερα ελκυστική είναι η παρακάτω απόδειξη των Rademacher και Toeplitz, βασισμένη στην προσέγγιση του Von Staudt. Για να δικαιολογήσουμε το θεώρημα του Euler, ας υποθέσουμε ότι το G είναι ένα συνδεδεμένο γράφημα ενσωματωμένο σε ένα επίπεδο. Εάν έχει σχήματα, είναι δυνατό να εξαιρεθεί ένα άκρο από καθένα από αυτά με τέτοιο τρόπο ώστε να διατηρηθεί η ιδιότητα που παραμένει συνδεδεμένη. Υπάρχει μια αντιστοιχία ένα προς ένα μεταξύ των τμημάτων που αφαιρέθηκαν για μετάβαση στο συνδεδεμένο γράφημα χωρίς κλείσιμο και εκείνων που δεν αποτελούν άπειρο άκρο. Αυτή η έρευνα οδήγησε στην ταξινόμηση των «προσανατολιζόμενων επιφανειών» ως προς το λεγόμενο χαρακτηριστικό Euler.
Καμπύλη Ιορδανίας. Θεώρημα
Η κύρια διατριβή, η οποία χρησιμοποιείται άμεσα ή έμμεσα στην απόδειξη του τύπου των πολύεδρων του θεωρήματος Euler για γραφήματα, εξαρτάται από την καμπύλη Jordan. Αυτή η ιδέα σχετίζεται με τη γενίκευση. Λέει ότι οποιαδήποτε απλή κλειστή καμπύλη χωρίζει το επίπεδο σε τρία σύνολα: σημεία πάνω του, μέσα και έξω από αυτό. Καθώς το ενδιαφέρον για την πολυεδρική φόρμουλα του Euler αναπτύχθηκε τον δέκατο ένατο αιώνα, έγιναν πολλές προσπάθειες να γενικευθεί. Αυτή η έρευνα έθεσε τα θεμέλια για την ανάπτυξη της αλγεβρικής τοπολογίας και τη συνέδεσε με την άλγεβρα και τη θεωρία αριθμών.
ομάδα Moebius
Σύντομα ανακαλύφθηκε ότι ορισμένες επιφάνειες μπορούσαν να "προσανατολιστούν" μόνο με συνεπή τρόπο τοπικά, όχι σε παγκόσμιο επίπεδο. Η γνωστή ομάδα Möbius χρησιμεύει ως παράδειγμα αυτούεπιφάνειες. Ανακαλύφθηκε λίγο νωρίτερα από τον Johann Listing. Αυτή η έννοια περιλαμβάνει την έννοια του γένους ενός γραφήματος: ο ελάχιστος αριθμός περιγραφών g. Πρέπει να προστεθεί στην επιφάνεια της σφαίρας και μπορεί να ενσωματωθεί στην εκτεταμένη επιφάνεια με τέτοιο τρόπο ώστε οι άκρες να συναντώνται μόνο στις κορυφές. Αποδεικνύεται ότι οποιαδήποτε προσανατολισμένη επιφάνεια στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί να θεωρηθεί ως σφαίρα με ορισμένο αριθμό λαβών.
διάγραμμα Euler
Ο επιστήμονας έκανε μια άλλη ανακάλυψη, η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα. Αυτό το λεγόμενο διάγραμμα Euler είναι μια γραφική αναπαράσταση κύκλων, που χρησιμοποιείται συνήθως για την απεικόνιση των σχέσεων μεταξύ συνόλων ή ομάδων. Τα γραφήματα συνήθως περιλαμβάνουν χρώματα που αναμειγνύονται σε περιοχές όπου οι κύκλοι επικαλύπτονται. Τα σετ αντιπροσωπεύονται με ακρίβεια με κύκλους ή οβάλ, αν και μπορούν να χρησιμοποιηθούν και άλλες φιγούρες για αυτά. Μια συμπερίληψη αντιπροσωπεύεται από μια επικάλυψη ελλείψεων που ονομάζονται κύκλοι Euler.
Αντιπροσωπεύουν σύνολα και υποσύνολα. Η εξαίρεση είναι οι μη επικαλυπτόμενοι κύκλοι. Τα διαγράμματα Euler συνδέονται στενά με άλλες γραφικές αναπαραστάσεις. Συχνά μπερδεύονται. Αυτή η γραφική αναπαράσταση ονομάζεται διαγράμματα Venn. Ανάλογα με τα εν λόγω σετ, και οι δύο εκδόσεις μπορεί να φαίνονται ίδια. Ωστόσο, στα διαγράμματα Venn, οι επικαλυπτόμενοι κύκλοι δεν υποδεικνύουν απαραίτητα κοινότητα μεταξύ των συνόλων, αλλά μόνο μια πιθανή λογική σχέση εάν οι ετικέτες τους δεν είναιτεμνόμενος κύκλος. Και οι δύο επιλογές υιοθετήθηκαν για τη διδασκαλία της θεωρίας συνόλων ως μέρος της νέας μαθηματικής κίνησης της δεκαετίας του 1960.
Θεωρήματα Fermat και Euler
Ο Ο Euler άφησε ένα αξιοσημείωτο σημάδι στη μαθηματική επιστήμη. Η αλγεβρική θεωρία αριθμών εμπλουτίστηκε από ένα θεώρημα που πήρε το όνομά του. Είναι επίσης συνέπεια μιας άλλης σημαντικής ανακάλυψης. Αυτό είναι το λεγόμενο γενικό αλγεβρικό θεώρημα Lagrange. Το όνομα του Euler συνδέεται επίσης με το μικρό θεώρημα του Fermat. Λέει ότι αν το p είναι πρώτος αριθμός και ο a είναι ένας ακέραιος που δεν διαιρείται με το p, τότε:
ap-1 - Το 1 διαιρείται με το p.
Μερικές φορές η ίδια ανακάλυψη έχει διαφορετικό όνομα, που συναντάται συχνότερα στην ξένη λογοτεχνία. Ακούγεται σαν το θεώρημα των Χριστουγέννων του Φερμά. Το θέμα είναι ότι η ανακάλυψη έγινε γνωστή χάρη σε μια επιστολή ενός επιστήμονα που εστάλη την παραμονή της 25ης Δεκεμβρίου 1640. Αλλά η ίδια η δήλωση έχει συναντηθεί στο παρελθόν. Χρησιμοποιήθηκε από έναν άλλο επιστήμονα ονόματι Albert Girard. Ο Φερμά προσπάθησε μόνο να αποδείξει τη θεωρία του. Ο συγγραφέας σε άλλη επιστολή του υπαινίσσεται ότι εμπνεύστηκε τη μέθοδο της άπειρης καθόδου. Όμως δεν προσκόμισε κανένα στοιχείο. Αργότερα, ο Έιντερ στράφηκε επίσης στην ίδια μέθοδο. Και μετά από αυτόν - πολλοί άλλοι διάσημοι επιστήμονες, συμπεριλαμβανομένων των Lagrange, Gauss και Minkosky.
Χαρακτηριστικά των ταυτοτήτων
Το Μικρό Θεώρημα του Fermat ονομάζεται επίσης ειδική περίπτωση ενός θεωρήματος από τη θεωρία αριθμών λόγω του Euler. Σε αυτή τη θεωρία, η συνάρτηση ταυτότητας Euler μετράει θετικούς ακέραιους μέχρι έναν δεδομένο ακέραιο αριθμό n. Είναι coprime σε σχέση μεn. Το θεώρημα του Euler στη θεωρία αριθμών γράφεται χρησιμοποιώντας το ελληνικό γράμμα φ και μοιάζει με φ(n). Μπορεί να οριστεί πιο τυπικά ως ο αριθμός των ακεραίων k στην περιοχή 1 ≦ k ≦ n για τους οποίους ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης gcd(n, k) είναι 1. Ο συμβολισμός φ(n) μπορεί επίσης να ονομαστεί συνάρτηση phi του Euler. Οι ακέραιοι k αυτής της μορφής μερικές φορές ονομάζονται ολικοί. Στην καρδιά της θεωρίας αριθμών, η συνάρτηση ταυτότητας Euler είναι πολλαπλασιαστική, που σημαίνει ότι αν δύο αριθμοί m και n είναι συμπρώτοι, τότε φ(mn)=φ(m)φ(n). Διαδραματίζει επίσης βασικό ρόλο στον καθορισμό του συστήματος κρυπτογράφησης RSA.
Η συνάρτηση Euler εισήχθη το 1763. Ωστόσο, εκείνη την εποχή ο μαθηματικός δεν επέλεξε κάποιο συγκεκριμένο σύμβολο για αυτήν. Σε μια δημοσίευση του 1784, ο Euler μελέτησε αυτή τη συνάρτηση με περισσότερες λεπτομέρειες και επέλεξε το ελληνικό γράμμα π για να την αντιπροσωπεύσει. Ο James Sylvester επινόησε τον όρο "total" για αυτό το χαρακτηριστικό. Ως εκ τούτου, αναφέρεται επίσης ως σύνολο του Euler. Το σύνολο φ(n) ενός θετικού ακέραιου n μεγαλύτερου από 1 είναι ο αριθμός των θετικών ακεραίων μικρότερων από n που είναι σχετικά πρώτοι μέχρι το n.φ(1) ορίζεται ως 1. Η συνάρτηση Euler ή η συνάρτηση phi(φ) είναι μια πολύ σημαντική θεωρία αριθμών μια συνάρτηση που σχετίζεται βαθιά με τους πρώτους αριθμούς και τη λεγόμενη τάξη των ακεραίων.
