Η γεωμετρία είναι όμορφη γιατί, σε αντίθεση με την άλγεβρα, όπου δεν είναι πάντα ξεκάθαρο τι σκέφτεσαι και γιατί, δίνει ορατότητα στο αντικείμενο. Αυτός ο υπέροχος κόσμος των διαφόρων σωμάτων είναι διακοσμημένος με κανονικά πολύεδρα.
Γενικές πληροφορίες για τα κανονικά πολύεδρα
Σύμφωνα με πολλούς, τα κανονικά πολύεδρα, ή όπως ονομάζονται επίσης πλατωνικά στερεά, έχουν μοναδικές ιδιότητες. Πολλές επιστημονικές υποθέσεις σχετίζονται με αυτά τα αντικείμενα. Όταν ξεκινάτε να μελετάτε αυτά τα γεωμετρικά σώματα, καταλαβαίνετε ότι δεν γνωρίζετε σχεδόν τίποτα για μια τέτοια έννοια όπως τα κανονικά πολύεδρα. Η παρουσίαση αυτών των αντικειμένων στο σχολείο δεν είναι πάντα ενδιαφέρουσα, έτσι πολλοί δεν θυμούνται καν πώς ονομάζονται. Οι περισσότεροι άνθρωποι θυμούνται μόνο τον κύβο. Κανένα από τα σώματα στη γεωμετρία δεν είναι τόσο τέλειο όσο τα κανονικά πολύεδρα. Όλα τα ονόματα αυτών των γεωμετρικών σωμάτων προέρχονται από την Αρχαία Ελλάδα. Σημαίνουν τον αριθμό των όψεων: τετράεδρο - τετράπλευρο, εξάεδρο - εξάπλευρο, οκτάεδρο - οκτάεδρο, δωδεκάεδρο - δωδεκάπλευρο, εικοσάεδρο - είκοσι όψεων. Όλα αυτά τα γεωμετρικά σώματακατείχε σημαντική θέση στην αντίληψη του Πλάτωνα για το σύμπαν. Τέσσερα από αυτά προσωποποιούσαν τα στοιχεία ή τις οντότητες: το τετράεδρο - φωτιά, το εικοσάεδρο - νερό, ο κύβος - γη, το οκτάεδρο - αέρας. Το δωδεκάεδρο ενσάρκωσε όλα όσα υπάρχουν. Θεωρήθηκε το κύριο, γιατί ήταν σύμβολο του σύμπαντος.
Γενίκευση της έννοιας του πολυέδρου
Ένα πολύεδρο είναι μια συλλογή πεπερασμένου αριθμού πολυγώνων έτσι ώστε:
- κάθε μία από τις πλευρές οποιουδήποτε από τα πολύγωνα είναι ταυτόχρονα η πλευρά ενός μόνο άλλου πολυγώνου στην ίδια πλευρά;
- από κάθε ένα από τα πολύγωνα μπορείτε να φτάσετε στα άλλα περνώντας κατά μήκος των πολυγώνων που βρίσκονται δίπλα του.
Τα πολύγωνα που αποτελούν ένα πολύεδρο είναι οι όψεις του και οι πλευρές τους είναι οι ακμές. Οι κορυφές των πολύεδρων είναι οι κορυφές των πολυγώνων. Εάν η έννοια του πολυγώνου κατανοηθεί ως επίπεδες κλειστές διακεκομμένες γραμμές, τότε καταλήγουμε σε έναν ορισμό του πολυέδρου. Στην περίπτωση που αυτή η έννοια σημαίνει ένα τμήμα του επιπέδου που περιορίζεται από διακεκομμένες γραμμές, τότε θα πρέπει να γίνει κατανοητή μια επιφάνεια που αποτελείται από πολυγωνικά κομμάτια. Ένα κυρτό πολύεδρο είναι ένα σώμα που βρίσκεται στη μία πλευρά ενός επιπέδου δίπλα στο πρόσωπό του.
Ένας άλλος ορισμός του πολυέδρου και των στοιχείων του
Ένα πολύεδρο είναι μια επιφάνεια που αποτελείται από πολύγωνα που περιορίζει ένα γεωμετρικό σώμα. Είναι:
- μη κυρτό;
- κυρτό (σωστό και λάθος).
Ένα κανονικό πολύεδρο είναι ένα κυρτό πολύεδρο με μέγιστη συμμετρία. Στοιχεία κανονικών πολύεδρων:
- τετράεδρο: 6 άκρες, 4 όψεις, 5 κορυφές;
- εξάεδρο (κύβος): 12, 6, 8;
- δωδεκάεδρο: 30, 12, 20;
- οκτάεδρο: 12, 8, 6;
- εικοσάεδρο: 30, 20, 12.
θεώρημα Euler
Δημιουργεί μια σχέση μεταξύ του αριθμού των ακμών, των κορυφών και των όψεων που είναι τοπολογικά ισοδύναμες με μια σφαίρα. Προσθέτοντας τον αριθμό των κορυφών και των όψεων (B + D) διαφόρων κανονικών πολύεδρων και συγκρίνοντάς τα με τον αριθμό των ακμών, μπορεί να δημιουργηθεί ένα μοτίβο: το άθροισμα του αριθμού των όψεων και των κορυφών ισούται με τον αριθμό των ακμών (P) που αυξήθηκε με 2. Μπορείτε να εξαγάγετε έναν απλό τύπο:
B + D=R + 2
Αυτός ο τύπος ισχύει για όλα τα κυρτά πολύεδρα.
Βασικοί ορισμοί
Η έννοια του κανονικού πολυέδρου δεν μπορεί να περιγραφεί με μία πρόταση. Είναι πιο ουσιαστικό και ογκώδες. Για να αναγνωριστεί ένας φορέας ως τέτοιος, πρέπει να πληροί ορισμένους ορισμούς. Έτσι, ένα γεωμετρικό σώμα θα είναι ένα κανονικό πολύεδρο εάν πληρούνται οι ακόλουθες προϋποθέσεις:
- είναι κυρτό;
- ο ίδιος αριθμός άκρων συγκλίνουν σε κάθε κορυφή του,
- όλες οι όψεις του είναι κανονικά πολύγωνα, ίσα μεταξύ τους;
- όλες οι δίεδρες γωνίες του είναι ίσες.
Ιδιότητες κανονικών πολύεδρων
Υπάρχουν 5 διαφορετικοί τύποι κανονικών πολύεδρων:
- Κύβος (εξάεδρο) - έχει επίπεδη γωνία στην κορυφή είναι 90°. Έχει γωνία 3 όψεων. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 270°.
- Τετράεδρο - επίπεδη γωνία στην κορυφή - 60°. Έχει γωνία 3 όψεων. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 180°.
- Οκτάεδρο - επίπεδη γωνία κορυφής - 60°. Διαθέτει γωνία 4 όψεων. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 240°.
- Δωδεκάεδρο - επίπεδη γωνία στην κορυφή 108°. Έχει γωνία 3 όψεων. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 324°.
- Εικοσάεδρο - έχει επίπεδη γωνία στην κορυφή - 60°. Έχει γωνία 5 όψεων. Το άθροισμα των επίπεδων γωνιών στην κορυφή είναι 300°.
Περιοχή κανονικών πολύεδρων
Το εμβαδόν επιφανείας αυτών των γεωμετρικών σωμάτων (S) υπολογίζεται ως το εμβαδόν ενός κανονικού πολυγώνου πολλαπλασιαζόμενο επί τον αριθμό των όψεών του (G):
S=(a: 2) x 2G ctg π/π
Ο όγκος ενός κανονικού πολυέδρου
Αυτή η τιμή υπολογίζεται πολλαπλασιάζοντας τον όγκο μιας κανονικής πυραμίδας, στη βάση της οποίας υπάρχει ένα κανονικό πολύγωνο, με τον αριθμό των όψεων και το ύψος της είναι η ακτίνα της εγγεγραμμένης σφαίρας (r):
V=1: 3rS
Τόμοι κανονικών πολύεδρων
Όπως κάθε άλλο γεωμετρικό σώμα, τα κανονικά πολύεδρα έχουν διαφορετικούς όγκους. Παρακάτω είναι οι τύποι με τους οποίους μπορείτε να τα υπολογίσετε:
- τετράεδρο: α x 3√2: 12;
- οκτάεδρο: α x 3√2: 3;
- εικοσάεδρο; α x 3;
- εξάεδρο (κύβος): 5 x α x 3 x (3 + √5): 12;
- δωδεκάεδρο: α x 3 (15 + 7√5): 4.
Στοιχεία κανονικών πολύεδρων
Το εξάεδρο και το οκτάεδρο είναι διπλά γεωμετρικά σώματα. Με άλλα λόγια, μπορούν να ληφθούν μεταξύ τους εάν το κέντρο βάρους του προσώπου του ενός ληφθεί ως κορυφή του άλλου και αντίστροφα. Το εικοσάεδρο και το δωδεκάεδρο είναι επίσης διπλά. Μόνο το τετράεδρο είναι διπλό στον εαυτό του. Σύμφωνα με τη μέθοδο του Ευκλείδη, μπορείτε να πάρετε ένα δωδεκάεδρο από ένα εξάεδρο χτίζοντας «οροφές» στις όψεις ενός κύβου. Οι κορυφές ενός τετραέδρου θα είναι οποιεσδήποτε 4 κορυφές ενός κύβου που δεν είναι γειτονικές ανά ζεύγη κατά μήκος μιας ακμής. Από το εξάεδρο (κύβο) μπορείτε να πάρετε άλλα κανονικά πολύεδρα. Παρά το γεγονός ότι υπάρχουν αμέτρητα κανονικά πολύγωνα, υπάρχουν μόνο 5 κανονικά πολύεδρα.
Ακτίνα κανονικών πολυγώνων
Υπάρχουν 3 ομόκεντρες σφαίρες που σχετίζονται με καθένα από αυτά τα γεωμετρικά σώματα:
- περιγράφεται, περνώντας από τις κορυφές του;
- εγγεγραμμένο, αγγίζοντας καθένα από τα πρόσωπά του στο κέντρο του;
- διάμεσος, αγγίζοντας όλες τις άκρες στη μέση.
Η ακτίνα της σφαίρας που περιγράφεται υπολογίζεται με τον ακόλουθο τύπο:
R=a: 2 x tg π/g x tg θ: 2
Η ακτίνα μιας εγγεγραμμένης σφαίρας υπολογίζεται με τον τύπο:
R=a: 2 x ctg π/p x tg θ: 2,
όπου θ είναι η δίεδρη γωνία μεταξύ γειτονικών όψεων.
Η ακτίνα της διάμεσης σφαίρας μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ακόλουθο τύπο:
ρ=a cos π/p: 2 sin π/h,
όπου η τιμή=4, 6, 6, 10 ή 10. Ο λόγος των περιγεγραμμένων και εγγεγραμμένων ακτίνων είναι συμμετρικός ως προς τα p και q. Τουπολογίζεται με τον τύπο:
R/r=tg π/p x tg π/q
Συμμετρία πολύεδρων
Η συμμετρία των κανονικών πολύεδρων προκαλεί το κύριο ενδιαφέρον σε αυτά τα γεωμετρικά σώματα. Εννοείται ως μια τέτοια κίνηση του σώματος στο χώρο, που αφήνει τον ίδιο αριθμό κορυφών, όψεων και ακμών. Με άλλα λόγια, υπό την επίδραση ενός μετασχηματισμού συμμετρίας, μια ακμή, κορυφή, όψη είτε διατηρεί την αρχική της θέση είτε μετακινείται στην αρχική θέση μιας άλλης άκρης, κορυφής ή όψης.
Στοιχεία συμμετρίας κανονικών πολύεδρων είναι χαρακτηριστικά όλων των τύπων τέτοιων γεωμετρικών σωμάτων. Εδώ μιλάμε για έναν πανομοιότυπο μετασχηματισμό που αφήνει οποιοδήποτε από τα σημεία στην αρχική του θέση. Έτσι, όταν περιστρέφετε ένα πολυγωνικό πρίσμα, μπορείτε να πάρετε πολλές συμμετρίες. Οποιοδήποτε από αυτά μπορεί να αναπαρασταθεί ως προϊόν αντανακλάσεων. Μια συμμετρία που είναι το γινόμενο ζυγού αριθμού ανακλάσεων ονομάζεται ευθεία γραμμή. Αν είναι το γινόμενο περιττού αριθμού ανακλάσεων, τότε ονομάζεται αντίστροφο. Έτσι, όλες οι περιστροφές γύρω από μια ευθεία είναι άμεσης συμμετρίας. Οποιαδήποτε ανάκλαση ενός πολυέδρου είναι μια αντίστροφη συμμετρία.
Για να κατανοήσουμε καλύτερα τα στοιχεία συμμετρίας των κανονικών πολύεδρων, μπορούμε να πάρουμε το παράδειγμα ενός τετραέδρου. Οποιαδήποτε ευθεία γραμμή που θα περάσει από μια από τις κορυφές και το κέντρο αυτού του γεωμετρικού σχήματος θα περάσει επίσης από το κέντρο του προσώπου απέναντι από αυτό. Κάθε μία από τις στροφές 120° και 240° γύρω από τη γραμμή είναι πληθυντικός.συμμετρία του τετραέδρου. Δεδομένου ότι έχει 4 κορυφές και 4 όψεις, υπάρχουν μόνο οκτώ άμεσες συμμετρίες. Οποιαδήποτε από τις γραμμές που διέρχονται από το μέσο της άκρης και το κέντρο αυτού του σώματος διέρχεται από το μέσο της απέναντι ακμής του. Οποιαδήποτε περιστροφή 180°, που ονομάζεται μισή στροφή, γύρω από μια ευθεία είναι μια συμμετρία. Δεδομένου ότι το τετράεδρο έχει τρία ζεύγη ακμών, υπάρχουν τρεις ακόμη άμεσες συμμετρίες. Με βάση τα παραπάνω, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι ο συνολικός αριθμός των άμεσων συμμετριών, συμπεριλαμβανομένου του ίδιου μετασχηματισμού, θα φτάσει τους δώδεκα. Το τετράεδρο δεν έχει άλλες άμεσες συμμετρίες, αλλά έχει 12 αντίστροφες συμμετρίες. Επομένως, το τετράεδρο χαρακτηρίζεται από συνολικά 24 συμμετρίες. Για λόγους σαφήνειας, μπορείτε να φτιάξετε ένα μοντέλο ενός κανονικού τετραέδρου από χαρτόνι και να βεβαιωθείτε ότι αυτό το γεωμετρικό σώμα έχει πραγματικά μόνο 24 συμμετρίες.
Το δωδεκάεδρο και το εικοσάεδρο είναι πιο κοντά στη σφαίρα του σώματος. Το εικοσάεδρο έχει τον μεγαλύτερο αριθμό όψεων, τη μεγαλύτερη διεδρική γωνία και μπορεί να πιεστεί πιο σφιχτά πάνω σε μια εγγεγραμμένη σφαίρα. Το δωδεκάεδρο έχει το μικρότερο γωνιακό ελάττωμα, τη μεγαλύτερη στερεή γωνία στην κορυφή. Μπορεί να γεμίσει τη σφαίρα που περιγράφεται στο μέγιστο.
Sweeps of polyhedra
Τα κανονικά ξετυλιγμένα πολύεδρα, τα οποία κολλήσαμε όλοι μαζί στην παιδική ηλικία, έχουν πολλές έννοιες. Εάν υπάρχει μια συλλογή πολυγώνων, κάθε πλευρά των οποίων ταυτίζεται μόνο με τη μία πλευρά του πολυέδρου, τότε η αναγνώριση των πλευρών πρέπει να πληροί δύο προϋποθέσεις:
- από κάθε πολύγωνο, μπορείτε να περάσετε πάνω από πολύγωνα που έχουνταυτοποιημένη πλευρά;
- προσδιοριζόμενες πλευρές πρέπει να έχουν το ίδιο μήκος.
Οι
Είναι το σύνολο των πολυγώνων που ικανοποιούν αυτές τις συνθήκες που ονομάζεται ανάπτυξη του πολυέδρου. Κάθε ένα από αυτά τα σώματα έχει πολλά από αυτά. Έτσι, για παράδειγμα, ένας κύβος έχει 11 από αυτούς.
