Ο όγκος είναι χαρακτηριστικό οποιουδήποτε σχήματος έχει μη μηδενικές διαστάσεις και στις τρεις διαστάσεις του χώρου. Σε αυτό το άρθρο, από την άποψη της στερεομετρίας (η γεωμετρία των χωρικών σχημάτων), θα εξετάσουμε ένα πρίσμα και θα δείξουμε πώς να βρείτε τους όγκους των πρισμάτων διαφόρων τύπων.
Τι είναι ένα πρίσμα;
Η
Στερεομετρία έχει την ακριβή απάντηση σε αυτήν την ερώτηση. Ένα πρίσμα σε αυτό νοείται ως ένα σχήμα που σχηματίζεται από δύο όμοιες πολυγωνικές όψεις και πολλά παραλληλόγραμμα. Η παρακάτω εικόνα δείχνει τέσσερα διαφορετικά πρίσματα.
Καθένα από αυτά μπορεί να ληφθεί ως εξής: πρέπει να πάρετε ένα πολύγωνο (τρίγωνο, τετράπλευρο κ.λπ.) και ένα τμήμα συγκεκριμένου μήκους. Στη συνέχεια, κάθε κορυφή του πολυγώνου πρέπει να μεταφερθεί χρησιμοποιώντας παράλληλα τμήματα σε άλλο επίπεδο. Στο νέο επίπεδο, το οποίο θα είναι παράλληλο με το αρχικό, θα ληφθεί ένα νέο πολύγωνο, παρόμοιο με αυτό που επιλέχθηκε αρχικά.
Τα πρίσματα μπορεί να είναι διαφορετικών τύπων. Έτσι, μπορούν να είναι ίσια, λοξά και σωστά. Εάν η πλευρική άκρη του πρίσματος (τμήμα,συνδέοντας τις κορυφές των βάσεων) κάθετα στις βάσεις του σχήματος, τότε η τελευταία είναι μια ευθεία γραμμή. Αντίστοιχα, αν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε μιλάμε για κεκλιμένο πρίσμα. Ένα κανονικό σχήμα είναι ένα ορθό πρίσμα με ισόπλευρη και ισόπλευρη βάση.
Αργότερα στο άρθρο θα δείξουμε πώς να υπολογίσουμε τον όγκο καθενός από αυτούς τους τύπους πρισμάτων.
Όγκος κανονικών πρισμάτων
Ας ξεκινήσουμε με την πιο απλή περίπτωση. Δίνουμε τον τύπο για τον όγκο ενός κανονικού πρίσματος με n-γωνική βάση. Ο τύπος όγκου V για οποιοδήποτε σχήμα της υπό εξέταση τάξης είναι ο εξής:
V=Soh.
Δηλαδή, για να προσδιορίσετε τον όγκο, αρκεί να υπολογίσετε το εμβαδόν μιας από τις βάσεις So και να το πολλαπλασιάσετε με το ύψος h του σχήματος.
Στην περίπτωση ενός κανονικού πρίσματος, ας υποδηλώσουμε το μήκος της πλευράς της βάσης του με το γράμμα a και το ύψος, που είναι ίσο με το μήκος της πλευρικής ακμής, με το γράμμα h. Εάν η βάση του n-gon είναι σωστή, τότε ο ευκολότερος τρόπος για να υπολογίσετε το εμβαδόν του είναι να χρησιμοποιήσετε τον ακόλουθο γενικό τύπο:
S=n/4a2ctg(pi/n).
Αντικαθιστώντας την τιμή του αριθμού των πλευρών n και του μήκους μιας πλευράς a σε ισότητα, μπορείτε να υπολογίσετε το εμβαδόν της βάσης n-γωνικού. Σημειώστε ότι η συνεπαπτομένη εδώ υπολογίζεται για τη γωνία pi/n, η οποία εκφράζεται σε ακτίνια.
Δεδομένης της ισότητας που γράφτηκε για το S, λαμβάνουμε τον τελικό τύπο για τον όγκο ενός κανονικού πρίσματος:
V=n/4a2hctg(pi/n).
Για κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, μπορείτε να γράψετε τους αντίστοιχους τύπους για το V, αλλά όλουςπροκύπτουν μοναδικά από τη γραπτή γενική έκφραση. Για παράδειγμα, για ένα κανονικό τετράγωνο πρίσμα, το οποίο στη γενική περίπτωση είναι ένα ορθογώνιο παραλληλεπίπεδο, παίρνουμε:
V4=4/4a2hctg(pi/4)=a2 h.
Αν πάρουμε h=a σε αυτήν την παράσταση, τότε παίρνουμε τον τύπο για τον όγκο του κύβου.
Όγκος άμεσων πρισμάτων
Σημειώνουμε αμέσως ότι για ευθύγραμμα σχήματα δεν υπάρχει γενικός τύπος για τον υπολογισμό του όγκου, ο οποίος δόθηκε παραπάνω για τα κανονικά πρίσματα. Κατά την εύρεση της εν λόγω τιμής, θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί η αρχική έκφραση:
V=Soh.
Εδώ h είναι το μήκος της πλευρικής ακμής, όπως στην προηγούμενη περίπτωση. Όσον αφορά την περιοχή βάσης So, μπορεί να λάβει διάφορες τιμές. Το έργο του υπολογισμού ενός ευθύγραμμου πρίσματος όγκου περιορίζεται στην εύρεση του εμβαδού της βάσης του.
Ο υπολογισμός της τιμής του So θα πρέπει να πραγματοποιείται με βάση τα χαρακτηριστικά της ίδιας της βάσης. Για παράδειγμα, αν είναι τρίγωνο, τότε το εμβαδόν μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
So3=1/2aha.
Εδώ ha είναι το απόθεμα του τριγώνου, δηλαδή το ύψος του χαμηλωμένο στη βάση a.
Αν η βάση είναι τετράπλευρο, τότε μπορεί να είναι τραπεζοειδές, παραλληλόγραμμο, ορθογώνιο ή εντελώς αυθαίρετος τύπος. Για όλες αυτές τις περιπτώσεις, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε τον κατάλληλο τύπο επιπεδομετρίας για να προσδιορίσετε την περιοχή. Για παράδειγμα, για ένα τραπεζοειδές, αυτός ο τύπος μοιάζει με:
So4=1/2(a1+ a2)h a.
Όπου ha είναι το ύψος του τραπεζοειδούς, a1 και a2 είναι τα μήκη των παράλληλων πλευρών του.
Για να προσδιορίσετε την περιοχή για πολύγωνα υψηλότερης τάξης, θα πρέπει να τα χωρίσετε σε απλά σχήματα (τρίγωνα, τετράγωνα) και να υπολογίσετε το άθροισμα των εμβαδών των τελευταίων.
Tilted Prism Volume
Αυτή είναι η πιο δύσκολη περίπτωση υπολογισμού του όγκου ενός πρίσματος. Ο γενικός τύπος για τέτοιους αριθμούς ισχύει επίσης:
V=Soh.
Ωστόσο, στην πολυπλοκότητα της εύρεσης του εμβαδού της βάσης που αντιπροσωπεύει έναν αυθαίρετο τύπο πολυγώνου, προστίθεται το πρόβλημα του προσδιορισμού του ύψους του σχήματος. Είναι πάντα μικρότερο από το μήκος της πλευρικής ακμής σε ένα κεκλιμένο πρίσμα.
Ο ευκολότερος τρόπος για να βρείτε αυτό το ύψος είναι εάν γνωρίζετε οποιαδήποτε γωνία της φιγούρας (επίπεδη ή δίεδρη). Αν δίνεται μια τέτοια γωνία, τότε θα πρέπει να τη χρησιμοποιήσουμε για να κατασκευάσουμε ένα ορθογώνιο τρίγωνο μέσα στο πρίσμα, το οποίο θα περιέχει το ύψος h ως μία από τις πλευρές και, χρησιμοποιώντας τριγωνομετρικές συναρτήσεις και το Πυθαγόρειο θεώρημα, θα βρίσκουμε την τιμή h..
Πρόβλημα γεωμετρικού όγκου
Δίνεται ένα κανονικό πρίσμα με τριγωνική βάση, με ύψος 14 cm και μήκος πλευράς 5 cm. Ποιος είναι ο όγκος του τριγωνικού πρίσματος;
Επειδή μιλάμε για το σωστό σχήμα, έχουμε το δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τον γνωστό τύπο. Έχουμε:
V3=3/4a2hctg(pi/3)=3/452141/√3=√3/42514=151,55 cm3.
Ένα τριγωνικό πρίσμα είναι ένα αρκετά συμμετρικό σχήμα, με τη μορφή του οποίου κατασκευάζονται συχνά διάφορες αρχιτεκτονικές κατασκευές. Αυτό το γυάλινο πρίσμα χρησιμοποιείται στην οπτική.
