Ο όγκος και η επιφάνεια είναι δύο σημαντικά χαρακτηριστικά κάθε σώματος που έχει πεπερασμένες διαστάσεις στον τρισδιάστατο χώρο. Σε αυτό το άρθρο, εξετάζουμε μια πολύ γνωστή κατηγορία πολύεδρων - πρισμάτων. Συγκεκριμένα, θα αποκαλυφθεί το ερώτημα πώς να βρεθεί η επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος.
Τι είναι ένα πρίσμα;
Ένα πρίσμα είναι κάθε πολύεδρο που οριοθετείται από πολλά παραλληλόγραμμα και δύο πανομοιότυπα πολύγωνα που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα. Αυτά τα πολύγωνα θεωρούνται οι βάσεις του σχήματος και τα παραλληλόγραμμά του είναι οι πλευρές. Ο αριθμός των πλευρών (γωνιών) της βάσης καθορίζει το όνομα του σχήματος. Για παράδειγμα, το παρακάτω σχήμα δείχνει ένα πενταγωνικό πρίσμα.
Η απόσταση μεταξύ των βάσεων ονομάζεται ύψος του σχήματος. Εάν το ύψος είναι ίσο με το μήκος οποιασδήποτε πλευρικής ακμής, τότε ένα τέτοιο πρίσμα θα είναι ευθύ. Το δεύτερο επαρκές χαρακτηριστικό για ένα ευθύ πρίσμα είναι ότι όλες οι πλευρές του είναι ορθογώνια ή τετράγωνα. Αν, όμωςΕάν η μία πλευρά είναι γενικό παραλληλόγραμμο, τότε το σχήμα θα είναι κεκλιμένο. Παρακάτω μπορείτε να δείτε πώς τα ίσια και τα λοξά πρίσματα διαφέρουν οπτικά στο παράδειγμα των τετράγωνων μορφών.
Επιφάνεια ευθύγραμμου πρίσματος
Αν ένα γεωμετρικό σχήμα έχει n-γωνική βάση, τότε αποτελείται από n+2 όψεις, n από τις οποίες είναι ορθογώνια. Ας συμβολίσουμε τα μήκη των πλευρών της βάσης ως ai, όπου i=1, 2, …, n, και δηλώνουμε το ύψος του σχήματος, το οποίο είναι ίσο με το μήκος του πλευρικό άκρο, όπως h. Για να προσδιορίσετε το εμβαδόν (S) της επιφάνειας όλων των όψεων, προσθέστε το εμβαδόν So καθεμιάς από τις βάσεις και όλα τα εμβαδά των πλευρών (ορθογώνια). Έτσι, ο τύπος για το S σε γενική μορφή μπορεί να γραφτεί ως εξής:
S=2So+ Sb
Όπου Sb είναι η πλευρική επιφάνεια.
Δεδομένου ότι η βάση ενός ευθύγραμμου πρίσματος μπορεί να είναι απολύτως οποιοδήποτε επίπεδο πολύγωνο, τότε δεν μπορεί να δοθεί ένας μοναδικός τύπος για τον υπολογισμό του Soκαι για να προσδιοριστεί αυτή η τιμή, γενικά περίπτωση, θα πρέπει να γίνει γεωμετρική ανάλυση. Για παράδειγμα, εάν η βάση είναι ένα κανονικό n-gon με πλευρά a, τότε το εμβαδόν του υπολογίζεται με τον τύπο:
So=n/4ctg(pi/n)a2
Όσον αφορά την τιμή του Sb, μπορεί να δοθεί η έκφραση για τον υπολογισμό του. Η πλευρική επιφάνεια ενός ευθύγραμμου πρίσματος είναι:
Sb=h∑i=1(ai)
Δηλαδή η τιμήΤο Sb υπολογίζεται ως το γινόμενο του ύψους του σχήματος και της περιμέτρου της βάσης του.
Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων
Ας εφαρμόσουμε τις γνώσεις που αποκτήθηκαν για να λύσουμε το παρακάτω γεωμετρικό πρόβλημα. Δίνεται ένα πρίσμα, η βάση του οποίου είναι ένα ορθογώνιο τρίγωνο με πλευρές σε ορθή γωνία 5 cm και 7 cm. Το ύψος του σχήματος είναι 10 cm. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η επιφάνεια ενός ορθού τριγωνικού πρίσματος.
Αρχικά, ας υπολογίσουμε την υποτείνουσα του τριγώνου. Θα ισούται με:
c=√(52+ 72)=8,6 cm
Τώρα ας κάνουμε μια ακόμη προπαρασκευαστική μαθηματική πράξη - υπολογίστε την περίμετρο της βάσης. Θα είναι:
P=5 + 7 + 8,6=20,6 cm
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας του σχήματος υπολογίζεται ως το γινόμενο της τιμής P και του ύψους h=10 cm, δηλαδή Sb=206 cm 2.
Για να βρείτε το εμβαδόν ολόκληρης της επιφάνειας, θα πρέπει να προστεθούν δύο βασικές περιοχές στην τιμή που βρέθηκε. Δεδομένου ότι το εμβαδόν ενός ορθογωνίου τριγώνου καθορίζεται από το μισό γινόμενο των ποδιών, παίρνουμε:
2So=257/2=35cm2
Τότε παίρνουμε ότι η επιφάνεια ενός ευθύγραμμου τριγωνικού πρίσματος είναι 35 + 206=241 cm2.
