Η μελέτη των ιδιοτήτων των χωρικών μορφών παίζει σημαντικό ρόλο στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Η επιστήμη που ασχολείται με τις μορφές στο διάστημα ονομάζεται στερεομετρία. Σε αυτό το άρθρο, από την άποψη της στερεάς γεωμετρίας, θα εξετάσουμε έναν κώνο και θα δείξουμε πώς να βρείτε το εμβαδόν ενός κώνου.
Κώνος με στρογγυλή βάση
Στη γενική περίπτωση, ένας κώνος είναι μια επιφάνεια χτισμένη σε κάποια επίπεδη καμπύλη, όλα τα σημεία της οποίας συνδέονται με τμήματα με ένα σημείο στο χώρο. Το τελευταίο ονομάζεται κορυφή του κώνου.
Από τον παραπάνω ορισμό, είναι σαφές ότι μια καμπύλη μπορεί να έχει αυθαίρετο σχήμα, όπως παραβολική, υπερβολική, ελλειπτική κ.λπ. Ωστόσο, στην πράξη και σε προβλήματα στη γεωμετρία, είναι συχνά ένας στρογγυλός κώνος που συναντάται συχνά. Φαίνεται στην παρακάτω εικόνα.
Εδώ το σύμβολο r υποδηλώνει την ακτίνα του κύκλου που βρίσκεται στη βάση του σχήματος, h είναι η κάθετη στο επίπεδο του κύκλου, το οποίο σχεδιάζεται από την κορυφή του σχήματος. Ύψος λέγεται. Η τιμή s είναι η γεννήτρια του κώνου ή η γενεσιουργός συνιστώσα του.
Μπορεί να φανεί ότι τα τμήματα r, h και sσχηματίζουν ένα ορθογώνιο τρίγωνο. Εάν περιστραφεί γύρω από το πόδι h, τότε η υποτείνουσα s θα περιγράψει την κωνική επιφάνεια και το πόδι r σχηματίζει τη στρογγυλή βάση του σχήματος. Για το λόγο αυτό, ο κώνος θεωρείται φιγούρα επανάστασης. Οι τρεις ονομαζόμενες γραμμικές παράμετροι διασυνδέονται με την ισότητα:
s2=r2+ h2
Σημειώστε ότι η δεδομένη ισότητα ισχύει μόνο για έναν στρογγυλό ευθύ κώνο. Ένα ίσιο σχήμα είναι μόνο αν το ύψος του πέφτει ακριβώς στο κέντρο του βασικού κύκλου. Αν δεν πληρούται αυτή η προϋπόθεση, τότε το σχήμα ονομάζεται λοξό. Η διαφορά μεταξύ ίσιων και λοξών κώνων φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Ανάπτυξη σχήματος
Η μελέτη της επιφάνειας ενός κώνου είναι βολική, θεωρώντας την σε επίπεδο. Αυτός ο τρόπος αναπαράστασης της επιφάνειας των μορφών στο χώρο ονομάζεται ανάπτυξή τους. Για έναν κώνο, αυτή η ανάπτυξη μπορεί να ληφθεί ως εξής: πρέπει να πάρετε μια φιγούρα κατασκευασμένη, για παράδειγμα, από χαρτί. Στη συνέχεια με ένα ψαλίδι κόβουμε τη στρογγυλή βάση γύρω από την περιφέρεια. Μετά από αυτό, κατά μήκος της γεννήτριας, κάντε μια τομή της κωνικής επιφάνειας και μετατρέψτε την σε ένα επίπεδο. Το αποτέλεσμα αυτών των απλών πράξεων θα είναι η ανάπτυξη του κώνου, που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Όπως μπορείτε να δείτε, η επιφάνεια ενός κώνου μπορεί πράγματι να αναπαρασταθεί σε ένα επίπεδο. Αποτελείται από τα ακόλουθα δύο μέρη:
- κύκλος με ακτίνα r που αντιπροσωπεύει τη βάση του σχήματος;
- κυκλικός τομέας με ακτίνα g, που είναι κωνική επιφάνεια.
Ο τύπος για το εμβαδόν ενός κώνου περιλαμβάνει την εύρεση των περιοχών και των δύο ξεδιπλωμένων επιφανειών.
Υπολογισμός της επιφάνειας ενός σχήματος
Ας χωρίσουμε την εργασία σε δύο στάδια. Πρώτα βρίσκουμε το εμβαδόν της βάσης του κώνου και μετά το εμβαδόν της κωνικής επιφάνειας.
Το πρώτο μέρος του προβλήματος είναι εύκολο να λυθεί. Δεδομένου ότι δίνεται η ακτίνα r, αρκεί να ανακαλέσουμε την αντίστοιχη έκφραση για το εμβαδόν ενός κύκλου για να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης. Ας το γράψουμε:
So=pi × r2
Εάν η ακτίνα δεν είναι γνωστή, τότε θα πρέπει πρώτα να τη βρείτε χρησιμοποιώντας τον τύπο σχέσης μεταξύ αυτής, του ύψους και της γεννήτριας.
Το δεύτερο μέρος του προβλήματος της εύρεσης της περιοχής ενός κώνου είναι κάπως πιο περίπλοκο. Σημειώστε ότι ο κυκλικός τομέας είναι χτισμένος στην ακτίνα g της γεννήτριας και οριοθετείται από ένα τόξο του οποίου το μήκος είναι ίσο με την περιφέρεια του κύκλου. Αυτό το γεγονός σας επιτρέπει να σημειώσετε την αναλογία και να βρείτε τη γωνία του εξεταζόμενου τομέα. Ας το συμβολίσουμε με το ελληνικό γράμμα φ. Αυτή η γωνία θα είναι ίση με:
2 × pi=>2 × pi × g;
φ=> 2 × pi × r;
φ=2 × pi × r / g
Γνωρίζοντας την κεντρική γωνία φ ενός κυκλικού τομέα, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε την κατάλληλη αναλογία για να βρείτε το εμβαδόν του. Ας το συμβολίσουμε με το σύμβολο Sb. Θα ισούται με:
2 × pi=>pi × g2;
φ=> Sb;
Sb=pi × g2 × φ / (2 × pi)=pi × r × g
Δηλαδή, το εμβαδόν της κωνικής επιφάνειας αντιστοιχεί στο γινόμενο της γεννήτριας g, την ακτίνα της βάσης r και τον αριθμό Pi.
Γνωρίζοντας ποιες είναι οι περιοχές και των δύοθεωρούμενες επιφάνειες, μπορούμε να γράψουμε τον τελικό τύπο για το εμβαδόν ενός κώνου:
S=So+ Sb=pi × r2+ pi × r × g=pi × r × (r + g)
Η γραπτή έκφραση προϋποθέτει γνώση δύο γραμμικών παραμέτρων του κώνου για τον υπολογισμό του S. Εάν το g ή το r είναι άγνωστα, τότε μπορούν να βρεθούν μέσω του ύψους h.
Το πρόβλημα του υπολογισμού του εμβαδού ενός κώνου
Είναι γνωστό ότι το ύψος ενός στρογγυλού ευθύγραμμου κώνου είναι ίσο με τη διάμετρό του. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε το εμβαδόν του σχήματος, γνωρίζοντας ότι το εμβαδόν της βάσης του είναι 50 cm2.
Γνωρίζοντας το εμβαδόν ενός κύκλου, μπορείτε να βρείτε την ακτίνα του σχήματος. Έχουμε:
So=pi × r2=>
r=√(So /pi)
Τώρα ας βρούμε τη γεννήτρια g ως h και r. Σύμφωνα με τη συνθήκη, το ύψος h του σχήματος είναι ίσο με δύο ακτίνες r, τότε:
h=2 × r;
g2=(2 × r)2+ r2=>
g=√5 × r=√(5 × So / pi)
Οι τύποι που βρέθηκαν για g και r θα πρέπει να αντικατασταθούν στην έκφραση για ολόκληρη την περιοχή του κώνου. Παίρνουμε:
S=So+ pi × √(So / pi) × √(5 × S o /pi)=So × (1 + √5)
Στην παράσταση που προκύπτει αντικαθιστούμε το εμβαδόν της βάσης So και γράφουμε την απάντηση: S ≈ 161,8 cm2.
