Τύποι για το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου και το μήκος του τόξου του

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2023-12-17 05:22

Ο κύκλος είναι το κύριο σχήμα στη γεωμετρία, οι ιδιότητες του οποίου εξετάζονται στο σχολείο στην 8η τάξη. Ένα από τα τυπικά προβλήματα που σχετίζονται με έναν κύκλο είναι να βρείτε την περιοχή κάποιου τμήματός του, το οποίο ονομάζεται κυκλικός τομέας. Το άρθρο παρέχει τύπους για το εμβαδόν ενός τομέα και το μήκος του τόξου του, καθώς και ένα παράδειγμα χρήσης τους για την επίλυση ενός συγκεκριμένου προβλήματος.

Η έννοια ενός κύκλου και ενός κύκλου

Πριν δώσουμε τον τύπο για το εμβαδόν ενός τομέα ενός κύκλου, ας εξετάσουμε ποιο είναι το υποδεικνυόμενο σχήμα. Σύμφωνα με τον μαθηματικό ορισμό, ένας κύκλος νοείται ως ένα τέτοιο σχήμα σε ένα επίπεδο, όλα τα σημεία του οποίου απέχουν ίσα από ένα σημείο (κέντρο).

Όταν εξετάζουμε έναν κύκλο, χρησιμοποιείται η ακόλουθη ορολογία:

• Ακτίνα - ένα τμήμα που σχεδιάζεται από το κεντρικό σημείο μέχρι την καμπύλη του κύκλου. Συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα R.
• Διάμετρος είναι ένα τμήμα που συνδέει δύο σημεία του κύκλου, αλλά διέρχεται και από το κέντρο του σχήματος. Συνήθως συμβολίζεται με το γράμμα D.

Το

• Το τόξο είναι μέρος ενός κυρτού κύκλου. Μετριέται είτε σε μονάδες μήκους είτε χρησιμοποιώντας γωνίες.

Ο κύκλος είναι ένα άλλο σημαντικό σχήμα γεωμετρίας, είναι μια συλλογή σημείων που οριοθετείται από έναν καμπύλο κύκλο.

Περιοχή και περιφέρεια κύκλου

Οι τιμές που σημειώνονται στον τίτλο του αντικειμένου υπολογίζονται χρησιμοποιώντας δύο απλούς τύπους. Αναφέρονται παρακάτω:

• Circumference: L=2piR.
• Εμβαδόν κύκλου: S=piR².

Σε αυτούς τους τύπους, το pi είναι κάποια σταθερά που ονομάζεται Pi. Είναι παράλογο, δηλαδή δεν μπορεί να εκφραστεί ακριβώς ως απλό κλάσμα. Το Pi είναι περίπου 3,1416.

Όπως μπορείτε να δείτε από τις παραπάνω εκφράσεις, για να υπολογίσετε το εμβαδόν και το μήκος, αρκεί να γνωρίζετε μόνο την ακτίνα του κύκλου.

Το εμβαδόν του τομέα του κύκλου και το μήκος του τόξου του

Πριν εξετάσουμε τους αντίστοιχους τύπους, υπενθυμίζουμε ότι η γωνία στη γεωμετρία εκφράζεται συνήθως με δύο κύριους τρόπους:

• σε ελάχιστες μοίρες και η πλήρης περιστροφή γύρω από τον άξονά του είναι 360^o;
• σε ακτίνια, που εκφράζεται ως κλάσματα του pi και σχετίζεται με μοίρες με την ακόλουθη εξίσωση: 2pi=360^o.

Ο τομέας ενός κύκλου είναι ένα σχήμα που οριοθετείται από τρεις γραμμές: ένα τόξο ενός κύκλου και δύο ακτίνες που βρίσκονται στα άκρα αυτού του τόξου. Ένα παράδειγμα κυκλικού τομέα φαίνεται στην παρακάτω φωτογραφία.

Για να πάρετε μια ιδέα για το τι είναι ένας τομέας για έναν κύκλο, είναι εύκολοκατανοήσουν πώς να υπολογίσετε το εμβαδόν του και το μήκος του αντίστοιχου τόξου. Από το παραπάνω σχήμα φαίνεται ότι το τόξο του τομέα αντιστοιχεί στη γωνία θ. Γνωρίζουμε ότι ένας πλήρης κύκλος αντιστοιχεί σε ακτίνια 2pi, οπότε ο τύπος για το εμβαδόν ενός κυκλικού τομέα θα έχει τη μορφή: S₁=Sθ/(2 pi)=piR 2^θ/(2pi)=θR2^{/2. Εδώ η γωνία θ εκφράζεται σε ακτίνια. Ένας παρόμοιος τύπος για την περιοχή του τομέα, εάν η γωνία θ μετρηθεί σε μοίρες, θα μοιάζει με αυτό: S}1_=piθR2 ^/360.

Το μήκος του τόξου που σχηματίζει έναν τομέα υπολογίζεται με τον τύπο: L₁=θ2piR/(2pi)=θR. Και αν το θ είναι γνωστό σε μοίρες, τότε: L₁=piθR/180.

Παράδειγμα επίλυσης προβλημάτων

Ας χρησιμοποιήσουμε το παράδειγμα ενός απλού προβλήματος για να δείξουμε πώς να χρησιμοποιούμε τους τύπους για την περιοχή ενός τομέα ενός κύκλου και το μήκος του τόξου του.

Είναι γνωστό ότι ο τροχός έχει 12 ακτίνες. Όταν ο τροχός κάνει μια πλήρη περιστροφή, καλύπτει απόσταση 1,5 μέτρου. Ποια είναι η περιοχή που περικλείεται μεταξύ δύο γειτονικών ακτίνων του τροχού και ποιο είναι το μήκος του τόξου μεταξύ τους;

Όπως μπορείτε να δείτε από τους αντίστοιχους τύπους, για να τους χρησιμοποιήσετε, πρέπει να γνωρίζετε δύο ποσότητες: την ακτίνα του κύκλου και τη γωνία του τόξου. Η ακτίνα μπορεί να υπολογιστεί από τη γνώση της περιφέρειας του τροχού, αφού η απόσταση που διανύθηκε από αυτόν σε μία περιστροφή αντιστοιχεί ακριβώς σε αυτήν. Έχουμε: 2Rpi=1,5, από όπου: R=1,5/(2pi)=0,2387 μέτρα. Η γωνία μεταξύ των πλησιέστερων ακτίνων μπορεί να προσδιοριστεί γνωρίζοντας τον αριθμό τους. Υποθέτοντας ότι και οι 12 ακτίνες χωρίζουν ομοιόμορφα τον κύκλο σε ίσους τομείς, παίρνουμε 12 πανομοιότυπους τομείς. Αντίστοιχα, το γωνιακό μέτρο του τόξου μεταξύ των δύο ακτίνων είναι: θ=2pi/12=pi/6=0,5236 ακτίνιο.

Βρήκαμε όλες τις απαραίτητες τιμές, τώρα μπορούν να αντικατασταθούν στους τύπους και να υπολογίσουμε τις τιμές που απαιτούνται από την συνθήκη του προβλήματος. Λαμβάνουμε: S₁=0,5236(0,2387)²/2=0,0149 m^2, ή 149cm²; L₁=0,52360,2387=0,125 m ή 12,5 cm.