Ένα σημαντικό γεωμετρικό αντικείμενο που μελετάται σε επίπεδο χώρο είναι μια ευθεία γραμμή. Στον τρισδιάστατο χώρο, εκτός από την ευθεία, υπάρχει και ένα επίπεδο. Και τα δύο αντικείμενα ορίζονται εύκολα χρησιμοποιώντας διανύσματα κατεύθυνσης. Τι είναι, πώς χρησιμοποιούνται αυτά τα διανύσματα για τον προσδιορισμό των εξισώσεων μιας ευθείας γραμμής και ενός επιπέδου; Αυτές και άλλες ερωτήσεις καλύπτονται στο άρθρο.
Άμεση γραμμή και πώς να την ορίσετε
Κάθε μαθητής έχει μια καλή ιδέα για ποιο γεωμετρικό αντικείμενο μιλάει. Από τη σκοπιά των μαθηματικών, μια ευθεία είναι ένα σύνολο σημείων, τα οποία, στην περίπτωση της αυθαίρετης ζεύγης σύνδεσής τους, οδηγούν σε ένα σύνολο παράλληλων διανυσμάτων. Αυτός ο ορισμός μιας γραμμής χρησιμοποιείται για τη σύνταξη μιας εξίσωσης για αυτήν σε δύο και τρεις διαστάσεις.
Για να περιγραφεί το θεωρούμενο μονοδιάστατο αντικείμενο, χρησιμοποιούνται διαφορετικοί τύποι εξισώσεων, οι οποίοι παρατίθενται στην παρακάτω λίστα:
- γενική προβολή;
- parametric;
- διάνυσμα;
- κανονικό ή συμμετρικό;
- σε τμήματα.
Κάθε ένα από αυτά τα είδη έχει ορισμένα πλεονεκτήματα έναντι των άλλων. Για παράδειγμα, μια εξίσωση σε τμήματα είναι βολική για χρήση κατά τη μελέτη της συμπεριφοράς μιας ευθείας γραμμής σε σχέση με τους άξονες συντεταγμένων, μια γενική εξίσωση είναι βολική όταν βρίσκουμε μια κατεύθυνση κάθετη σε μια δεδομένη ευθεία γραμμή, καθώς και όταν υπολογίζουμε τη γωνία της τομή με τον άξονα x (για επίπεδη περίπτωση).
Δεδομένου ότι το θέμα αυτού του άρθρου σχετίζεται με το κατευθυντικό διάνυσμα μιας ευθείας γραμμής, θα εξετάσουμε περαιτέρω μόνο την εξίσωση όπου αυτό το διάνυσμα είναι θεμελιώδες και περιέχεται ρητά, δηλαδή μια διανυσματική έκφραση.
Καθορισμός ευθείας γραμμής μέσω διανύσματος
Ας υποθέσουμε ότι έχουμε κάποιο διάνυσμα v¯ με γνωστές συντεταγμένες (a; b; c). Εφόσον υπάρχουν τρεις συντεταγμένες, το διάνυσμα δίνεται στο χώρο. Πώς να το απεικονίσετε σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων; Αυτό γίνεται πολύ απλά: σε καθέναν από τους τρεις άξονες, σχεδιάζεται ένα τμήμα, το μήκος του οποίου είναι ίσο με την αντίστοιχη συντεταγμένη του διανύσματος. Το σημείο τομής των τριών καθέτων που αποκαθίστανται στα επίπεδα xy, yz και xz θα είναι το τέλος του διανύσματος. Η αρχή του είναι το σημείο (0; 0; 0).
Ωστόσο, η δεδομένη θέση του διανύσματος δεν είναι η μόνη. Ομοίως, μπορεί κανείς να σχεδιάσει v¯ τοποθετώντας την αρχή του σε ένα αυθαίρετο σημείο του χώρου. Αυτά τα επιχειρήματα λένε ότι είναι αδύνατο να ορίσετε μια συγκεκριμένη γραμμή χρησιμοποιώντας ένα διάνυσμα. Ορίζει μια οικογένεια άπειρου αριθμού παράλληλων γραμμών.
Τώραδιορθώστε κάποιο σημείο P(x0; y0; z0) του χώρου. Και θέτουμε την προϋπόθεση: μια ευθεία πρέπει να περάσει από το P. Σε αυτήν την περίπτωση, το διάνυσμα v¯ πρέπει επίσης να περιέχει αυτό το σημείο. Το τελευταίο γεγονός σημαίνει ότι μία μόνο γραμμή μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας τα P και v¯. Θα γραφτεί ως η ακόλουθη εξίσωση:
Q=P + λ × v¯
Εδώ Q είναι οποιοδήποτε σημείο που ανήκει στη γραμμή. Αυτό το σημείο μπορεί να ληφθεί επιλέγοντας την κατάλληλη παράμετρο λ. Η γραπτή εξίσωση ονομάζεται διανυσματική εξίσωση και v¯ ονομάζεται διάνυσμα κατεύθυνσης της ευθείας γραμμής. Τοποθετώντας το έτσι ώστε να διέρχεται από το P και αλλάζοντας το μήκος του με την παράμετρο λ, παίρνουμε κάθε σημείο του Q ως ευθεία γραμμή.
Σε μορφή συντεταγμένων, η εξίσωση θα γραφτεί ως εξής:
(x; y; z)=(x0; y0; z0) + λ × (a; b; c)
Και σε ρητή (παραμετρική) μορφή, μπορείτε να γράψετε:
x=x0+ λ × a;
y=y0+ λ × b;
z=z0+ λ × c
Αν εξαιρέσουμε την τρίτη συντεταγμένη στις παραπάνω παραστάσεις, τότε λαμβάνουμε τις διανυσματικές εξισώσεις της ευθείας στο επίπεδο.
Για ποιες εργασίες είναι χρήσιμο να γνωρίζετε το διάνυσμα κατεύθυνσης;
Κατά κανόνα, αυτές είναι εργασίες για τον προσδιορισμό του παραλληλισμού και της καθετότητας των ευθειών. Επίσης, το άμεσο διάνυσμα που καθορίζει την κατεύθυνση χρησιμοποιείται κατά τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ ευθειών και ενός σημείου και μιας ευθείας γραμμής, για να περιγράψει τη συμπεριφορά μιας ευθείας σε σχέση με ένα επίπεδο.
ΔύοΟι ευθείες θα είναι παράλληλες αν τα διανύσματα κατεύθυνσής τους είναι. Αντίστοιχα, η καθετότητα των γραμμών αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την καθετότητα των διανυσμάτων τους. Σε αυτούς τους τύπους προβλημάτων, αρκεί να υπολογίσουμε το βαθμωτό γινόμενο των θεωρούμενων διανυσμάτων για να λάβουμε την απάντηση.
Στην περίπτωση εργασιών για τον υπολογισμό των αποστάσεων μεταξύ γραμμών και σημείων, το διάνυσμα κατεύθυνσης περιλαμβάνεται ρητά στον αντίστοιχο τύπο. Ας το γράψουμε:
d=|[P1P2¯ × v¯] | / |v¯|
Εδώ P1P2¯ - βασίζεται στα σημεία P1 και P 2 κατευθυνόμενο τμήμα. Το σημείο P2 είναι αυθαίρετο, βρίσκεται στην ευθεία με το διάνυσμα v¯, ενώ το σημείο P1 είναι αυτό στο οποίο η απόσταση πρέπει να να είσαι αποφασισμένος. Μπορεί να είναι είτε ανεξάρτητο είτε να ανήκει σε άλλη γραμμή ή επίπεδο.
Σημειώστε ότι είναι λογικό να υπολογίζετε την απόσταση μεταξύ των γραμμών μόνο όταν είναι παράλληλες ή τέμνουσες. Αν τέμνονται, τότε το d είναι μηδέν.
Ο παραπάνω τύπος για το d ισχύει επίσης για τον υπολογισμό της απόστασης μεταξύ ενός επιπέδου και μιας ευθείας παράλληλης προς αυτό, μόνο που στην περίπτωση αυτή το P1 πρέπει να ανήκει στο επίπεδο.
Ας λύσουμε πολλά προβλήματα για να δείξουμε καλύτερα πώς χρησιμοποιείται το εξεταζόμενο διάνυσμα.
Πρόβλημα διανυσματικής εξίσωσης
Είναι γνωστό ότι μια ευθεία περιγράφεται από την ακόλουθη εξίσωση:
y=3 × x - 4
Θα πρέπει να γράψετε την κατάλληλη έκφρασηδιανυσματική μορφή.
Αυτή είναι μια τυπική εξίσωση ευθείας γραμμής, γνωστή σε κάθε μαθητή, γραμμένη σε γενική μορφή. Ας δείξουμε πώς να το ξαναγράψουμε σε διανυσματική μορφή.
Η έκφραση μπορεί να αναπαρασταθεί ως:
(x; y)=(x; 3 × x - 4)
Μπορεί να φανεί ότι αν το ανοίξετε, θα έχετε την αρχική ισότητα. Τώρα χωρίζουμε τη δεξιά πλευρά του σε δύο διανύσματα έτσι ώστε μόνο ένα από αυτά να περιέχει x, έχουμε:
(x; y)=(x; 3 × x) + (0; -4)
Μένει να βγάλουμε το x από αγκύλες, να το ορίσουμε με ένα ελληνικό σύμβολο και να ανταλλάξουμε τα διανύσματα της δεξιάς πλευράς:
(x; y)=(0; -4) + λ × (1; 3)
Πήραμε τη διανυσματική μορφή της αρχικής έκφρασης. Οι συντεταγμένες του διανύσματος κατεύθυνσης της ευθείας είναι (1; 3).
Η εργασία του προσδιορισμού της σχετικής θέσης των γραμμών
Δύο γραμμές δίνονται στο διάστημα:
(x; y; z)=(1; 0; -2) + λ × (-1; 3; 1);
(x; y; z)=(3; 2; 2) + γ × (1; 2; 0)
Είναι παράλληλα, διασταυρώνονται ή τέμνονται;
Μη μηδενικά διανύσματα (-1; 3; 1) και (1; 2; 0) θα είναι οδηγοί για αυτές τις γραμμές. Ας εκφράσουμε αυτές τις εξισώσεις σε παραμετρική μορφή και ας αντικαταστήσουμε τις συντεταγμένες της πρώτης στη δεύτερη. Παίρνουμε:
x=1 - λ;
y=3 × λ;
z=-2 + λ;
x=3 + γ=1 - λ=>γ=-2 - λ;
y=2 + 2 × γ=3 × λ=> γ=3 / 2 × λ · 1;
z=2=-2 + λ=> λ=4
Αντικαταστήστε την παράμετρο λ που βρέθηκε στις δύο παραπάνω εξισώσεις, παίρνουμε:
γ=-2 - λ=-6;
γ=3 / 2 × λ · 1=5
Η παράμετρος γ δεν μπορεί να λάβει δύο διαφορετικές τιμές ταυτόχρονα. Αυτό σημαίνει ότι οι γραμμές δεν έχουν ένα κοινό σημείο, δηλαδή τέμνονται. Δεν είναι παράλληλα, αφού τα μη μηδενικά διανύσματα δεν είναι παράλληλα μεταξύ τους (για τον παραλληλισμό τους, πρέπει να υπάρχει ένας αριθμός που πολλαπλασιάζοντας με ένα διάνυσμα θα οδηγούσε στις συντεταγμένες του δεύτερου).
Μαθηματική περιγραφή του αεροπλάνου
Για να θέσουμε ένα επίπεδο στο διάστημα, δίνουμε μια γενική εξίσωση:
A × x + B × y + C × z + D=0
Εδώ τα λατινικά κεφαλαία γράμματα αντιπροσωπεύουν συγκεκριμένους αριθμούς. Τα τρία πρώτα από αυτά ορίζουν τις συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος του επιπέδου. Αν συμβολίζεται με n¯, τότε:
n¯=(A; B; C)
Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο επίπεδο, επομένως ονομάζεται οδηγός. Η γνώση του, καθώς και οι γνωστές συντεταγμένες οποιουδήποτε σημείου που ανήκει στο επίπεδο, καθορίζουν μοναδικά το τελευταίο.
Αν το σημείο P(x1; y1; z1) ανήκει σε το επίπεδο, τότε η τομή D υπολογίζεται ως εξής:
D=-1 × (A × x1+ B × y1 + C × z1)
Ας λύσουμε μερικά προβλήματα χρησιμοποιώντας τη γενική εξίσωση για το επίπεδο.
Εργασία γιαεύρεση του κανονικού διανύσματος του επιπέδου
Το επίπεδο ορίζεται ως εξής:
(y - 3) / 2 + (x + 1) / 3 - z / 4=1
Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα κατεύθυνσης για αυτήν;
Από την παραπάνω θεωρία προκύπτει ότι οι συντεταγμένες του κανονικού διανύσματος n¯ είναι οι συντελεστές μπροστά από τις μεταβλητές. Από αυτή την άποψη, για να βρεθεί το n¯, η εξίσωση θα πρέπει να γραφτεί σε γενική μορφή. Έχουμε:
1 / 3 × x + 1 / 2 × y - 1 / 4 × z - 13 / 6=0
Τότε το κανονικό διάνυσμα του επιπέδου είναι:
n¯=(1/3; 1/2; -1/4)
Το πρόβλημα της σύνταξης της εξίσωσης του επιπέδου
Δίνονται οι συντεταγμένες των τριών σημείων:
M1(1; 0; 0);
M2(2; -1; 5);
M3(0; -2; -2)
Πώς θα μοιάζει η εξίσωση του επιπέδου που περιέχει όλα αυτά τα σημεία.
Μέσα από τρία σημεία που δεν ανήκουν στην ίδια ευθεία, μπορεί να σχεδιαστεί μόνο ένα επίπεδο. Για να βρούμε την εξίσωσή του, υπολογίζουμε πρώτα το διάνυσμα κατεύθυνσης του επιπέδου n¯. Για να γίνει αυτό, προχωράμε ως εξής: βρίσκουμε αυθαίρετα δύο διανύσματα που ανήκουν στο επίπεδο και υπολογίζουμε το διανυσματικό γινόμενο τους. Θα δώσει ένα διάνυσμα που θα είναι κάθετο σε αυτό το επίπεδο, δηλαδή n¯. Έχουμε:
M1M2¯=(1; -1; 5); M1M3¯=(-1; -2; -2);
n¯=[M1M2¯ × M1M 3¯]=(12; -3; -3)
Πάρτε το σημείο M1για να σύρετεεπίπεδο εκφράσεις. Παίρνουμε:
D=-1 × (12 × 1 + (-3) × 0 + (-3) × 0)=-12;
12 × x - 3 × y - 3 × z - 12=0=>
4 × x - y - z - 4=0
Έχουμε αποκτήσει μια έκφραση γενικού τύπου για ένα επίπεδο στο διάστημα ορίζοντας πρώτα ένα διάνυσμα κατεύθυνσης για αυτό.
Η ιδιότητα cross product θα πρέπει να θυμάστε κατά την επίλυση προβλημάτων με επίπεδα, καθώς σας επιτρέπει να προσδιορίσετε τις συντεταγμένες ενός κανονικού διανύσματος με απλό τρόπο.
