Άμεσο τριγωνικό πρίσμα. Φόρμουλες για όγκο και επιφάνεια. Λύση γεωμετρικού προβλήματος

2024 Συγγραφέας: Angel Austin | [email protected]. Τελευταία τροποποίηση: 2024-01-02 17:44

Στο γυμνάσιο, αφού μελετήσουν τις ιδιότητες των μορφών στο επίπεδο, προχωρούν στη θεώρηση χωρικών γεωμετρικών αντικειμένων όπως πρίσματα, σφαίρες, πυραμίδες, κύλινδροι και κώνοι. Σε αυτό το άρθρο, θα δώσουμε την πληρέστερη περιγραφή ενός ευθύγραμμου τριγωνικού πρίσματος.

Τι είναι ένα τριγωνικό πρίσμα;

Ας ξεκινήσουμε το άρθρο με τον ορισμό του σχήματος, ο οποίος θα συζητηθεί περαιτέρω. Ένα πρίσμα από την άποψη της γεωμετρίας είναι ένα σχήμα στο χώρο που σχηματίζεται από δύο πανομοιότυπα n-γόνια που βρίσκονται σε παράλληλα επίπεδα, οι ίδιες γωνίες των οποίων συνδέονται με ευθύγραμμα τμήματα. Αυτά τα τμήματα ονομάζονται πλευρικές νευρώσεις. Μαζί με τις πλευρές της βάσης, σχηματίζουν μια πλευρική επιφάνεια, η οποία γενικά αντιπροσωπεύεται από παραλληλόγραμμα.

Δύο n-γόνια είναι οι βάσεις του σχήματος. Εάν οι πλευρικές άκρες είναι κάθετες σε αυτές, τότε μιλούν για ευθύ πρίσμα. Αντίστοιχα, αν ο αριθμός των πλευρών n του πολυγώνου στις βάσεις είναι τρεις, τότε ένα τέτοιο σχήμα ονομάζεται τριγωνικό πρίσμα.

Το τριγωνικό ευθύ πρίσμα φαίνεται παραπάνω στο σχήμα. Αυτό το σχήμα ονομάζεται επίσης κανονικό, αφού οι βάσεις του είναι ισόπλευρα τρίγωνα. Το μήκος του πλευρικού άκρου του σχήματος, που υποδεικνύεται με το γράμμα h στο σχήμα, ονομάζεται ύψος του.

Το σχήμα δείχνει ότι ένα πρίσμα με τριγωνική βάση σχηματίζεται από πέντε όψεις, δύο από τις οποίες είναι ισόπλευρα τρίγωνα και τρία είναι πανομοιότυπα ορθογώνια. Εκτός από τις όψεις, το πρίσμα έχει έξι κορυφές στις βάσεις και εννέα άκρες. Οι αριθμοί των θεωρούμενων στοιχείων σχετίζονται μεταξύ τους με το θεώρημα Euler:

αριθμός άκρων=αριθμός κορυφών + αριθμός πλευρών - 2.

Εμβαδόν ορθογωνίου τριγωνικού πρίσματος

Διαπιστώσαμε παραπάνω ότι το εν λόγω σχήμα σχηματίζεται από πέντε όψεις δύο τύπων (δύο τρίγωνα, τρία ορθογώνια). Όλες αυτές οι όψεις σχηματίζουν την πλήρη επιφάνεια του πρίσματος. Το συνολικό εμβαδόν τους είναι το εμβαδόν του σχήματος. Παρακάτω είναι ένα τριγωνικό πρίσμα που ξεδιπλώνεται, το οποίο μπορεί να ληφθεί αποκόπτοντας πρώτα δύο βάσεις από το σχήμα και στη συνέχεια κόβοντας κατά μήκος της μίας άκρης και ξεδιπλώνοντας την πλευρική επιφάνεια.

Ας δώσουμε τύπους για τον προσδιορισμό της επιφάνειας αυτής της σάρωσης. Ας ξεκινήσουμε με τις βάσεις ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος. Εφόσον αντιπροσωπεύουν τρίγωνα, η περιοχή S_{3 καθενός από αυτά μπορεί να βρεθεί ως εξής:}

S₃=1/2ah_a.

Εδώ a είναι η πλευρά του τριγώνου, h_{a είναι το ύψος που έχει χαμηλώσει από την κορυφή του τριγώνου σε αυτήν την πλευρά.}

Αν το τρίγωνο είναι ισόπλευρο (κανονικό), τότε ο τύπος για το S_{3 εξαρτάται μόνο από μία παράμετρο α. Μοιάζει με:}

S₃=√3/4a^2.

Αυτή η έκφραση μπορεί να ληφθεί θεωρώντας ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από τμήματα a, a/2, h_a.

Το εμβαδόν των βάσεων S_o για έναν κανονικό αριθμό είναι διπλάσια από την τιμή του S_3:

S_o=2S₃=√3/2a^2.

Όσον αφορά το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας S_{b, δεν είναι δύσκολο να το υπολογίσουμε. Για να γίνει αυτό, αρκεί να πολλαπλασιάσουμε επί τρία το εμβαδόν ενός ορθογωνίου που σχηματίζεται από τις πλευρές a και h. Ο αντίστοιχος τύπος είναι:}

S_b=3ah.

Έτσι, το εμβαδόν ενός κανονικού πρίσματος με τριγωνική βάση βρίσκεται με τον ακόλουθο τύπο:

S=S_o+ S_b=√3/2a^{2+ 3 αω.}

Αν το πρίσμα είναι ίσιο αλλά ακανόνιστο, τότε για να υπολογίσετε το εμβαδόν του, θα πρέπει να προσθέσετε χωριστά τα εμβαδά των ορθογωνίων που δεν είναι ίσα μεταξύ τους.

Προσδιορισμός του όγκου ενός σχήματος

Ο όγκος ενός πρίσματος νοείται ως ο χώρος που περιορίζεται από τις πλευρές του (όψεις). Ο υπολογισμός του όγκου ενός ορθογώνιου τριγωνικού πρίσματος είναι πολύ πιο εύκολος από τον υπολογισμό του εμβαδού της επιφάνειάς του. Για να γίνει αυτό, αρκεί να γνωρίζετε την περιοχή της βάσης και το ύψος του σχήματος. Δεδομένου ότι το ύψος h ενός ευθύγραμμου σχήματος είναι το μήκος της πλευρικής του ακμής και πώς να υπολογίσουμε το εμβαδόν της βάσης, δώσαμε στο προηγούμενοσημείο, τότε μένει να πολλαπλασιάσουμε αυτές τις δύο τιμές μεταξύ τους για να λάβουμε τον επιθυμητό όγκο. Ο τύπος για αυτό γίνεται:

V=S_3h.

Σημειώστε ότι το γινόμενο του εμβαδού μιας βάσης και του ύψους θα δώσει τον όγκο όχι μόνο ενός ευθύγραμμου πρίσματος, αλλά και ενός λοξού σχήματος και ενός ακόμη κυλίνδρου.

Επίλυση Προβλήματος

Τα τριγωνικά πρίσματα από γυαλί χρησιμοποιούνται στην οπτική για τη μελέτη του φάσματος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας λόγω του φαινομένου της διασποράς. Είναι γνωστό ότι ένα κανονικό γυάλινο πρίσμα έχει μήκος πλευράς βάσης 10 cm και μήκος άκρου 15 cm. Ποιο είναι το εμβαδόν των γυάλινων επιφανειών του και τι όγκο περιέχει;

Για να προσδιορίσουμε την περιοχή, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο που αναγράφεται στο άρθρο. Έχουμε:

S=√3/2a²+ 3ah=√3/210² + 3 1015=536,6 cm^2.

Για να προσδιορίσουμε τον όγκο V, χρησιμοποιούμε επίσης τον παραπάνω τύπο:

V=S₃h=√3/4a²h=√3/410 2^{15=649,5 cm}3^.

Παρά το γεγονός ότι οι άκρες του πρίσματος έχουν μήκος 10 cm και μήκος 15 cm, ο όγκος του σχήματος είναι μόνο 0,65 λίτρα (ένας κύβος με πλευρά 10 cm έχει όγκο 1 λίτρο).