Όταν μελετάμε τις ιδιότητες των μορφών στον τρισδιάστατο χώρο στο πλαίσιο της στερεομετρίας, συχνά πρέπει να λύνουμε προβλήματα για τον προσδιορισμό του όγκου και της επιφάνειας. Σε αυτό το άρθρο, θα δείξουμε πώς να υπολογίσετε τον όγκο και την πλευρική επιφάνεια για μια κολοβωμένη πυραμίδα χρησιμοποιώντας γνωστούς τύπους.
Πυραμίδα στη γεωμετρία
Στη γεωμετρία, μια συνηθισμένη πυραμίδα είναι μια φιγούρα στο διάστημα, η οποία είναι χτισμένη σε κάποιο επίπεδο n-gon. Όλες οι κορυφές του συνδέονται με ένα σημείο που βρίσκεται έξω από το επίπεδο του πολυγώνου. Για παράδειγμα, εδώ είναι μια φωτογραφία που δείχνει μια πενταγωνική πυραμίδα.
Αυτό το σχήμα σχηματίζεται από όψεις, κορυφές και ακμές. Η πενταγωνική όψη ονομάζεται βάση. Οι υπόλοιπες τριγωνικές όψεις σχηματίζουν την πλευρική επιφάνεια. Το σημείο τομής όλων των τριγώνων είναι η κύρια κορυφή της πυραμίδας. Εάν μια κάθετη χαμηλώσει από αυτήν στη βάση, τότε είναι δυνατές δύο επιλογές για τη θέση του σημείου τομής:
- στο γεωμετρικό κέντρο, τότε η πυραμίδα ονομάζεται ευθεία γραμμή,
- όχι μέσαγεωμετρικό κέντρο, τότε το σχήμα θα είναι λοξό.
Περαιτέρω θα εξετάσουμε μόνο ευθύγραμμα σχήματα με κανονική βάση n-γωνικό.
Τι είναι αυτό το σχήμα - μια κολοβωμένη πυραμίδα;
Για να προσδιορίσετε τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας, είναι απαραίτητο να κατανοήσετε με σαφήνεια για ποιο σχήμα πρόκειται συγκεκριμένα. Ας διευκρινίσουμε αυτό το ζήτημα.
Ας υποθέσουμε ότι παίρνουμε ένα επίπεδο κοπής που είναι παράλληλο στη βάση μιας συνηθισμένης πυραμίδας και κόβουμε ένα μέρος της πλευρικής επιφάνειας με αυτό. Εάν αυτή η λειτουργία γίνει με την πενταγωνική πυραμίδα που φαίνεται παραπάνω, θα λάβετε ένα τέτοιο σχήμα όπως στο παρακάτω σχήμα.
Από τη φωτογραφία φαίνεται ότι αυτή η πυραμίδα έχει ήδη δύο βάσεις και η επάνω είναι παρόμοια με την κάτω, αλλά είναι μικρότερη σε μέγεθος. Η πλευρική επιφάνεια δεν αντιπροσωπεύεται πλέον από τρίγωνα, αλλά με τραπεζοειδή. Είναι ισοσκελές και ο αριθμός τους αντιστοιχεί στον αριθμό των πλευρών της βάσης. Το περικομμένο σχήμα δεν έχει κύρια κορυφή, όπως μια κανονική πυραμίδα, και το ύψος του καθορίζεται από την απόσταση μεταξύ των παράλληλων βάσεων.
Στη γενική περίπτωση, εάν το υπό εξέταση σχήμα σχηματίζεται από n-γωνικές βάσεις, έχει n+2 όψεις ή πλευρές, 2n κορυφές και 3n άκρες. Δηλαδή, η κολοβωμένη πυραμίδα είναι ένα πολύεδρο.
Τύπος για τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας
Θυμηθείτε ότι ο όγκος μιας συνηθισμένης πυραμίδας είναι το 1/3 του γινομένου του ύψους και του εμβαδού της βάσης της. Αυτή η φόρμουλα δεν είναι κατάλληλη για μια κολοβωμένη πυραμίδα, καθώς έχει δύο βάσεις. Και ο όγκος τουθα είναι πάντα μικρότερη από την ίδια τιμή για τον κανονικό αριθμό από τον οποίο προέρχεται.
Χωρίς να μπούμε στις μαθηματικές λεπτομέρειες για τη λήψη της έκφρασης, παρουσιάζουμε τον τελικό τύπο για τον όγκο μιας κολοβωμένης πυραμίδας. Είναι γραμμένο ως εξής:
V=1/3h(S1+ S2+ √(S1 S2))
Εδώ S1 και S2 είναι οι περιοχές της κάτω και της άνω βάσης, αντίστοιχα, h είναι το ύψος του σχήματος. Η γραπτή έκφραση ισχύει όχι μόνο για μια ευθεία κανονική κολοβωμένη πυραμίδα, αλλά και για οποιαδήποτε μορφή αυτής της κατηγορίας. Επιπλέον, ανεξάρτητα από τον τύπο των βασικών πολυγώνων. Η μόνη προϋπόθεση που περιορίζει τη χρήση της έκφρασης για το V είναι η ανάγκη οι βάσεις της πυραμίδας να είναι παράλληλες μεταξύ τους.
Μπορούν να εξαχθούν αρκετά σημαντικά συμπεράσματα μελετώντας τις ιδιότητες αυτού του τύπου. Έτσι, εάν το εμβαδόν της άνω βάσης είναι μηδέν, τότε ερχόμαστε στον τύπο για το V μιας συνηθισμένης πυραμίδας. Αν τα εμβαδά των βάσεων είναι ίσα μεταξύ τους, τότε παίρνουμε τον τύπο για τον όγκο του πρίσματος.
Πώς να προσδιορίσετε την πλευρική επιφάνεια;
Η γνώση των χαρακτηριστικών μιας κολοβωμένης πυραμίδας απαιτεί όχι μόνο την ικανότητα υπολογισμού του όγκου της, αλλά και την ικανότητα προσδιορισμού του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας.
Η κολοβωμένη πυραμίδα αποτελείται από δύο τύπους όψεων:
- ισοσκελή τραπεζοειδή;
- πολυγωνικές βάσεις.
Αν υπάρχει ένα κανονικό πολύγωνο στις βάσεις, τότε ο υπολογισμός του εμβαδού του δεν αντιπροσωπεύει μεγάλοδυσκολίες. Για να το κάνετε αυτό, χρειάζεται μόνο να γνωρίζετε το μήκος της πλευράς a και τον αριθμό τους n.
Στην περίπτωση μιας πλευρικής επιφάνειας, ο υπολογισμός του εμβαδού της περιλαμβάνει τον προσδιορισμό αυτής της τιμής για καθένα από τα n τραπεζοειδή. Εάν το n-gon είναι σωστό, τότε ο τύπος για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας γίνεται:
Sb=hbn(a1+a2)/2
Εδώ hb είναι το ύψος του τραπεζοειδούς, το οποίο ονομάζεται απότεμα του σχήματος. Οι ποσότητες a1 και a2είναι τα μήκη των πλευρών των κανονικών βάσεων ν-γωνικών.
Για κάθε κανονική κολοβωμένη πυραμίδα n-γωνικών, το αποτέμα hb μπορεί να οριστεί μοναδικά μέσω των παραμέτρων a1 και a 2και το ύψος h του σχήματος.
Η εργασία του υπολογισμού του όγκου και του εμβαδού ενός σχήματος
Δίνεται μια κανονική τριγωνική κολοβωμένη πυραμίδα. Είναι γνωστό ότι το ύψος της h είναι 10 cm και τα μήκη των πλευρών των βάσεων είναι 5 cm και 3 cm. Ποιος είναι ο όγκος της κολοβωμένης πυραμίδας και το εμβαδόν της πλευρικής της επιφάνειας;
Αρχικά, ας υπολογίσουμε την τιμή V. Για να το κάνετε αυτό, βρείτε τα εμβαδά των ισόπλευρων τριγώνων που βρίσκονται στις βάσεις του σχήματος. Έχουμε:
S1=√3/4a12=√3/4 52=10,825cm2;
S2=√3/4a22=√3/4 32=3,897 cm2
Αντικαταστήστε τα δεδομένα στον τύπο για V, παίρνουμε τον επιθυμητό όγκο:
V=1/310(10, 825 + 3, 897 + √(10, 825 3, 897)) ≈ 70,72 cm3
Για να προσδιορίσετε την πλαϊνή επιφάνεια, πρέπει να γνωρίζετεμήκος αποθέματος hb. Θεωρώντας το αντίστοιχο ορθογώνιο τρίγωνο μέσα στην πυραμίδα, μπορούμε να γράψουμε την ισότητα για αυτό:
hb=√((√3/6(a1- a2))2+ h2) ≈ 10,017 cm
Η τιμή του αποθέματος και οι πλευρές των τριγωνικών βάσεων αντικαθίστανται στην έκφραση για Sb και παίρνουμε την απάντηση:
Sb=hbn(a1+a2)/2=10,0173(5+3)/2 ≈ 120,2cm2
Έτσι, απαντήσαμε σε όλες τις ερωτήσεις του προβλήματος: V ≈ 70,72 cm3, Sb ≈ 120,2 cm2.
