Τυπικά γεωμετρικά προβλήματα στο επίπεδο και στον τρισδιάστατο χώρο είναι τα προβλήματα προσδιορισμού των επιφανειών διαφορετικών σχημάτων. Σε αυτό το άρθρο, παρουσιάζουμε τον τύπο για το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας.
Τι είναι μια πυραμίδα;
Ας δώσουμε έναν αυστηρό γεωμετρικό ορισμό της πυραμίδας. Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει κάποιο πολύγωνο με n πλευρές και n γωνίες. Επιλέγουμε ένα αυθαίρετο σημείο στο χώρο που δεν θα βρίσκεται στο επίπεδο του καθορισμένου n-γώνου και το συνδέουμε σε κάθε κορυφή του πολυγώνου. Θα πάρουμε ένα σχήμα που έχει κάποιο όγκο, το οποίο ονομάζεται n-γωνική πυραμίδα. Για παράδειγμα, ας δείξουμε στο παρακάτω σχήμα πώς μοιάζει μια πενταγωνική πυραμίδα.
Δύο σημαντικά στοιχεία οποιασδήποτε πυραμίδας είναι η βάση της (n-gon) και η κορυφή της. Αυτά τα στοιχεία συνδέονται μεταξύ τους με n τρίγωνα, τα οποία γενικά δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Κάθετη έπεσε απόαπό πάνω προς τα κάτω ονομάζεται ύψος της φιγούρας. Αν τέμνει τη βάση στο γεωμετρικό κέντρο (συμπίπτει με το κέντρο μάζας του πολυγώνου), τότε μια τέτοια πυραμίδα ονομάζεται ευθεία γραμμή. Εάν, εκτός από αυτή την συνθήκη, η βάση είναι ένα κανονικό πολύγωνο, τότε ολόκληρη η πυραμίδα ονομάζεται κανονική. Το παρακάτω σχήμα δείχνει πώς μοιάζουν οι κανονικές πυραμίδες με τριγωνικές, τετράγωνες, πενταγωνικές και εξαγωνικές βάσεις.
Επιφάνεια πυραμίδας
Πριν στραφούμε στο ζήτημα του εμβαδού της πλευρικής επιφάνειας μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας, θα πρέπει να σταθούμε στην έννοια της ίδιας της επιφάνειας.
Όπως αναφέρθηκε παραπάνω και φαίνεται στα σχήματα, οποιαδήποτε πυραμίδα σχηματίζεται από ένα σύνολο όψεων ή πλευρών. Η μία πλευρά είναι η βάση και οι n πλευρές είναι τρίγωνα. Η επιφάνεια ολόκληρου του σχήματος είναι το άθροισμα των εμβαδών κάθε πλευράς του.
Είναι βολικό να μελετήσετε την επιφάνεια στο παράδειγμα μιας φιγούρας που ξεδιπλώνεται. Μια σάρωση για μια κανονική τετραγωνική πυραμίδα φαίνεται στα παρακάτω σχήματα.
Βλέπουμε ότι το εμβαδόν της επιφάνειάς του είναι ίσο με το άθροισμα τεσσάρων εμβαδών πανομοιότυπων ισοσκελές τριγώνων και το εμβαδόν ενός τετραγώνου.
Το συνολικό εμβαδόν όλων των τριγώνων που σχηματίζουν τις πλευρές του σχήματος ονομάζεται εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας. Στη συνέχεια, θα δείξουμε πώς να το υπολογίσουμε για μια κανονική τετράγωνη πυραμίδα.
Το εμβαδόν της πλευρικής επιφάνειας μιας τετραγωνικής κανονικής πυραμίδας
Για να υπολογίσετε το εμβαδόν του πλάγιουεπιφάνεια του καθορισμένου σχήματος, στρέφουμε ξανά στην παραπάνω σάρωση. Ας υποθέσουμε ότι γνωρίζουμε την πλευρά της τετραγωνικής βάσης. Ας το συμβολίσουμε με το σύμβολο α. Μπορεί να φανεί ότι καθένα από τα τέσσερα ίδια τρίγωνα έχει μια βάση μήκους a. Για να υπολογίσετε το συνολικό εμβαδόν τους, πρέπει να γνωρίζετε αυτή την τιμή για ένα τρίγωνο. Είναι γνωστό από το μάθημα της γεωμετρίας ότι το εμβαδόν ενός τριγώνου St είναι ίσο με το γινόμενο της βάσης και του ύψους, το οποίο πρέπει να διαιρεθεί στο μισό. Δηλαδή:
St=1/2hba.
Όπου hb είναι το ύψος ενός ισοσκελούς τριγώνου που σύρεται στη βάση a. Για μια πυραμίδα, αυτό το ύψος είναι το απόθεμα. Τώρα απομένει να πολλαπλασιάσουμε την έκφραση που προκύπτει με το 4 για να πάρουμε την περιοχή Sbτης πλευρικής επιφάνειας για την εν λόγω πυραμίδα:
Sb=4St=2hbα.
Αυτός ο τύπος περιέχει δύο παραμέτρους: το απόθεμα και την πλευρά της βάσης. Εάν το τελευταίο είναι γνωστό στις περισσότερες συνθήκες των προβλημάτων, τότε το πρώτο πρέπει να υπολογιστεί γνωρίζοντας άλλες ποσότητες. Ακολουθούν οι τύποι για τον υπολογισμό του αποθέματος hb για δύο περιπτώσεις:
- όταν είναι γνωστό το μήκος της πλευρικής πλευράς;
- όταν είναι γνωστό το ύψος της πυραμίδας.
Αν υποδηλώσουμε το μήκος της πλευρικής ακμής (την πλευρά ενός ισοσκελούς τριγώνου) με το σύμβολο L, τότε το απότεμα hb καθορίζεται από τον τύπο:
hb=√(L2 - a2/4).
Αυτή η έκφραση είναι το αποτέλεσμα της εφαρμογής του Πυθαγόρειου θεωρήματος για το τρίγωνο πλευρικής επιφάνειας.
Εάν είναι γνωστότο ύψος h της πυραμίδας και, στη συνέχεια, το απότεμα hb μπορεί να υπολογιστεί ως εξής:
hb=√(h2 + a2/4).
Η λήψη αυτής της έκφρασης δεν είναι επίσης δύσκολη αν σκεφτούμε μέσα στην πυραμίδα ένα ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται από τα σκέλη h και a/2 και την υποτείνουσα hb.
Ας δείξουμε πώς να εφαρμόζουμε αυτούς τους τύπους λύνοντας δύο ενδιαφέροντα προβλήματα.
Πρόβλημα με γνωστή επιφάνεια
Είναι γνωστό ότι η πλευρική επιφάνεια μιας κανονικής τετραγωνικής πυραμίδας είναι 108 cm2. Είναι απαραίτητο να υπολογίσετε την τιμή του μήκους του αποθέματός της hb, εάν το ύψος της πυραμίδας είναι 7 cm.
Ας γράψουμε τον τύπο για το εμβαδόν Sbτης πλευρικής επιφάνειας κατά το ύψος. Έχουμε:
Sb=2√(h2 + a2/4) a.
Εδώ απλώς αντικαταστήσαμε τον αντίστοιχο τύπο αποθέματος στην έκφραση για Sb. Ας τετραγωνίσουμε και τις δύο πλευρές της εξίσωσης:
Sb2=4a2h2 + a4.
Για να βρούμε την τιμή του a, ας κάνουμε μια αλλαγή των μεταβλητών:
a2=t;
t2+ 4h2t - Sb 2=0.
Τώρα αντικαθιστούμε τις γνωστές τιμές και λύνουμε την τετραγωνική εξίσωση:
t2+ 196t - 11664=0.
t ≈ 47, 8355.
Γράψαμε μόνο τη θετική ρίζα αυτής της εξίσωσης. Τότε οι πλευρές της βάσης της πυραμίδας θα είναι:
a=√t=√47,8355 ≈ 6,916 cm.
Για να λάβετε το μήκος του αποθέματος,απλά χρησιμοποιήστε τον τύπο:
hb=√(h2 + a2/4)=√(7 2+ 6, 9162/4) ≈ 7, 808 βλ.
Πλάγια επιφάνεια της πυραμίδας Χέοπα
Προσδιορίστε την τιμή της πλευρικής επιφάνειας για τη μεγαλύτερη αιγυπτιακή πυραμίδα. Είναι γνωστό ότι στη βάση του βρίσκεται ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς 230.363 μέτρα. Το ύψος της κατασκευής ήταν αρχικά 146,5 μέτρα. Αντικαταστήστε αυτούς τους αριθμούς στον αντίστοιχο τύπο για Sb, παίρνουμε:
Sb=2√(h2 + a2/4) a=2√(146, 52+230, 3632/4)230, 363 ≈ 85860 m2.
Η τιμή που βρέθηκε είναι ελαφρώς μεγαλύτερη από την περιοχή των 17 γηπέδων ποδοσφαίρου.
