Ένα από τα πιο δύσκολα τμήματα των μαθηματικών μέχρι σήμερα είναι τα κλάσματα. Η ιστορία των κλασμάτων έχει περισσότερο από μία χιλιετία. Η ικανότητα διαίρεσης του συνόλου σε μέρη προέκυψε στο έδαφος της αρχαίας Αιγύπτου και της Βαβυλώνας. Με τα χρόνια, οι επεμβάσεις που έγιναν με κλάσματα έγιναν πιο περίπλοκες, η μορφή της καταγραφής τους άλλαξε. Κάθε κατάσταση του αρχαίου κόσμου είχε τα δικά της χαρακτηριστικά στη «σχέση» με αυτό το τμήμα των μαθηματικών.
Τι είναι ένα κλάσμα;
Όταν έγινε απαραίτητο να χωριστεί το σύνολο σε μέρη χωρίς επιπλέον προσπάθεια, τότε εμφανίστηκαν κλάσματα. Η ιστορία των κλασμάτων είναι άρρηκτα συνδεδεμένη με την επίλυση χρηστικών προβλημάτων. Ο ίδιος ο όρος «κλάσμα» έχει αραβικές ρίζες και προέρχεται από μια λέξη που σημαίνει «σπάω, διαιρώ». Από την αρχαιότητα, λίγα πράγματα έχουν αλλάξει με αυτή την έννοια. Ο σύγχρονος ορισμός είναι ο εξής: ένα κλάσμα είναι ένα μέρος ή το άθροισμα μερών μιας μονάδας. Αντίστοιχα, παραδείγματα με κλάσματα αντιπροσωπεύουν τη διαδοχική εκτέλεση μαθηματικών πράξεων με κλάσματα αριθμών.
Σήμερα υπάρχουν δύοτον τρόπο καταγραφής τους. Τα συνηθισμένα και τα δεκαδικά κλάσματα προέκυψαν σε διαφορετικές χρονικές στιγμές: τα πρώτα είναι πιο αρχαία.
Έλα από αμνημονεύτων χρόνων
Για πρώτη φορά άρχισαν να λειτουργούν με κλάσματα στο έδαφος της Αιγύπτου και της Βαβυλώνας. Η προσέγγιση των μαθηματικών των δύο κρατών είχε σημαντικές διαφορές. Ωστόσο, η αρχή ήταν η ίδια που και που. Το πρώτο κλάσμα ήταν μισό ή 1/2. Μετά ήρθε ένα τέταρτο, ένα τρίτο, και ούτω καθεξής. Σύμφωνα με τις αρχαιολογικές ανασκαφές, η ιστορία της εμφάνισης των κλασμάτων έχει περίπου 5 χιλιάδες χρόνια. Για πρώτη φορά, κλάσματα ενός αριθμού βρίσκονται σε αιγυπτιακούς παπύρους και σε πήλινες πινακίδες της Βαβυλωνίας.
Αρχαία Αίγυπτος
Τύποι συνηθισμένων κλασμάτων σήμερα περιλαμβάνουν τα λεγόμενα αιγυπτιακά. Είναι το άθροισμα πολλών όρων της μορφής 1/n. Ο αριθμητής είναι πάντα ένας και ο παρονομαστής είναι ένας φυσικός αριθμός. Τέτοια κλάσματα εμφανίστηκαν, όσο δύσκολο κι αν είναι να μαντέψει κανείς, στην αρχαία Αίγυπτο. Κατά τον υπολογισμό όλων των μετοχών, προσπάθησαν να τα καταγράψουν με τη μορφή τέτοιων ποσών (για παράδειγμα, 1/2 + 1/4 + 1/8). Μόνο τα κλάσματα 2/3 και 3/4 είχαν χωριστούς χαρακτηρισμούς, τα υπόλοιπα χωρίστηκαν σε όρους. Υπήρχαν ειδικοί πίνακες στους οποίους τα κλάσματα ενός αριθμού παρουσιάζονταν ως άθροισμα.
Η παλαιότερη γνωστή αναφορά σε ένα τέτοιο σύστημα βρίσκεται στον Μαθηματικό Πάπυρο Rhind, που χρονολογείται στις αρχές της δεύτερης χιλιετίας π. Χ. Περιλαμβάνει έναν πίνακα με κλάσματα και μαθηματικά προβλήματα με λύσεις και απαντήσεις που παρουσιάζονται ως αθροίσματα κλασμάτων. Οι Αιγύπτιοι ήξεραν πώς να προσθέτουν, να διαιρούν και να πολλαπλασιάζουν κλάσματα ενός αριθμού. Πυροβολισμοί στην κοιλάδα του Νείλουγράφτηκαν χρησιμοποιώντας ιερογλυφικά.
Η αναπαράσταση ενός κλάσματος ενός αριθμού ως άθροισμα όρων της μορφής 1/n, χαρακτηριστικό της αρχαίας Αιγύπτου, χρησιμοποιήθηκε από μαθηματικούς όχι μόνο σε αυτή τη χώρα. Μέχρι τον Μεσαίωνα, τα αιγυπτιακά κλάσματα χρησιμοποιούνταν στην Ελλάδα και σε άλλα κράτη.
Ανάπτυξη των μαθηματικών στη Βαβυλώνα
Τα μαθηματικά έμοιαζαν διαφορετικά στο βασίλειο της Βαβυλωνίας. Η ιστορία της εμφάνισης των κλασμάτων εδώ σχετίζεται άμεσα με τις ιδιαιτερότητες του συστήματος αριθμών που κληρονόμησε το αρχαίο κράτος από τον προκάτοχό του, τον Σουμεριο-Ακκαδικό πολιτισμό. Η τεχνική υπολογισμού στη Βαβυλώνα ήταν πιο βολική και τέλεια από ό,τι στην Αίγυπτο. Τα μαθηματικά σε αυτήν τη χώρα έλυσαν ένα πολύ ευρύτερο φάσμα προβλημάτων.
Μπορείτε να κρίνετε τα επιτεύγματα των Βαβυλωνίων σήμερα από τις σωζόμενες πήλινες πλάκες γεμάτες με σφηνοειδή γραφή. Λόγω των χαρακτηριστικών του υλικού, μας έχουν φτάσει σε μεγάλους αριθμούς. Σύμφωνα με ορισμένους επιστήμονες, μαθηματικοί στη Βαβυλώνα ανακάλυψαν ένα πολύ γνωστό θεώρημα πριν από τον Πυθαγόρα, το οποίο αναμφίβολα υποδηλώνει την ανάπτυξη της επιστήμης σε αυτό το αρχαίο κράτος.
Κλάσματα: η ιστορία των κλασμάτων στη Βαβυλώνα
Το σύστημα των αριθμών στη Βαβυλώνα ήταν ελάχιστη. Κάθε νέα κατηγορία διέφερε από την προηγούμενη κατά 60. Ένα τέτοιο σύστημα έχει διατηρηθεί στον σύγχρονο κόσμο για να υποδεικνύει χρόνο και γωνίες. Τα κλάσματα ήταν επίσης ελάχιστα σεξουαλικά. Για την εγγραφή χρησιμοποιήθηκαν ειδικά εικονίδια. Όπως και στην Αίγυπτο, τα παραδείγματα κλασμάτων περιείχαν ξεχωριστά σύμβολα για το 1/2, το 1/3 και το 2/3.
Βαβυλωνιακότο σύστημα δεν εξαφανίστηκε με το κράτος. Τα κλάσματα που γράφτηκαν στο 60ο σύστημα χρησιμοποιήθηκαν από αρχαίους και Άραβες αστρονόμους και μαθηματικούς.
Αρχαία Ελλάδα
Η ιστορία των συνηθισμένων κλασμάτων δεν ήταν πολύ εμπλουτισμένη στην αρχαία Ελλάδα. Οι κάτοικοι της Ελλάδας πίστευαν ότι τα μαθηματικά έπρεπε να λειτουργούν μόνο με ακέραιους αριθμούς. Επομένως, εκφράσεις με κλάσματα στις σελίδες των αρχαίων ελληνικών πραγματειών πρακτικά δεν εμφανίστηκαν. Ωστόσο, οι Πυθαγόρειοι συνέβαλαν σε αυτόν τον κλάδο των μαθηματικών. Κατανοούσαν τα κλάσματα ως αναλογίες ή αναλογίες και θεωρούσαν επίσης τη μονάδα ως αδιαίρετη. Ο Πυθαγόρας και οι μαθητές του έχτισαν μια γενική θεωρία των κλασμάτων, έμαθαν πώς να εκτελούν και τις τέσσερις αριθμητικές πράξεις, καθώς και πώς να συγκρίνουν κλάσματα ανάγοντάς τα σε έναν κοινό παρονομαστή.
Αγία Ρωμαϊκή Αυτοκρατορία
Το ρωμαϊκό σύστημα των κλασμάτων συνδέθηκε με ένα μέτρο βάρους που ονομάζεται "γάιδαρος". Διαιρέθηκε σε 12 μετοχές. Το 1/12 assa ονομαζόταν ουγγιά. Υπήρχαν 18 ονόματα για τα κλάσματα. Εδώ είναι μερικά από αυτά:
- ημιτελές - μισός κώλος;
- sextante - το έκτο του ac;
- semiouce - μισή ουγγιά ή 1/24 άσσος.
Η ταλαιπωρία ενός τέτοιου συστήματος ήταν η αδυναμία αναπαράστασης ενός αριθμού ως κλάσματος με παρονομαστή 10 ή 100. Οι Ρωμαίοι μαθηματικοί ξεπέρασαν τη δυσκολία χρησιμοποιώντας ποσοστά.
Γράψιμο κοινών κλασμάτων
Στην Αρχαιότητα, τα κλάσματα γράφονταν ήδη με οικείο τρόπο: ένας αριθμός πάνω από έναν άλλο. Ωστόσο, υπήρχε μια σημαντική διαφορά. Ο αριθμητής εντοπίστηκεκάτω από τον παρονομαστή. Για πρώτη φορά, τα κλάσματα άρχισαν να γράφονται με αυτόν τον τρόπο στην αρχαία Ινδία. Οι Άραβες άρχισαν να χρησιμοποιούν τον σύγχρονο τρόπο για εμάς. Αλλά κανένας από αυτούς τους λαούς δεν χρησιμοποίησε μια οριζόντια γραμμή για να διαχωρίσει τον αριθμητή και τον παρονομαστή. Εμφανίζεται για πρώτη φορά στα γραπτά του Λεονάρντο της Πίζας, πιο γνωστού ως Fibonacci, το 1202.
Κίνα
Αν η ιστορία των συνηθισμένων κλασμάτων ξεκίνησε στην Αίγυπτο, τότε τα δεκαδικά ψηφία εμφανίστηκαν για πρώτη φορά στην Κίνα. Στην Ουράνια Αυτοκρατορία άρχισαν να χρησιμοποιούνται περίπου από τον 3ο αιώνα π. Χ. Η ιστορία των δεκαδικών αριθμών ξεκίνησε με τον Κινέζο μαθηματικό Liu Hui, ο οποίος πρότεινε τη χρήση τους για την εξαγωγή τετραγωνικών ριζών.
Τον ΙΙΙ αιώνα μ. Χ., τα δεκαδικά κλάσματα στην Κίνα άρχισαν να χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό του βάρους και του όγκου. Σταδιακά, άρχισαν να διεισδύουν όλο και πιο βαθιά στα μαθηματικά. Στην Ευρώπη, ωστόσο, οι δεκαδικοί ψηφίστηκαν πολύ αργότερα.
Al-Kashi από τη Σαμαρκάνδη
Ανεξάρτητα από τους Κινέζους προκατόχους, τα δεκαδικά κλάσματα ανακαλύφθηκαν από τον αστρονόμο al-Kashi από την αρχαία πόλη της Σαμαρκάνδης. Έζησε και εργάστηκε τον 15ο αιώνα. Ο επιστήμονας περιέγραψε τη θεωρία του στην πραγματεία «Το κλειδί της αριθμητικής», που δημοσιεύτηκε το 1427. Ο Al-Kashi πρότεινε τη χρήση μιας νέας μορφής σημειογραφίας για τα κλάσματα. Τόσο τα ακέραια όσο και τα κλασματικά μέρη γράφονταν τώρα σε μία γραμμή. Ο αστρονόμος της Σαμαρκάνδης δεν χρησιμοποίησε κόμμα για να τους χωρίσει. Έγραψε ολόκληρο τον αριθμό και το κλασματικό μέρος με διαφορετικά χρώματα, χρησιμοποιώντας μαύρο και κόκκινο μελάνι. Ο Al-Kashi μερικές φορές χρησιμοποιούσε επίσης μια κάθετη μπάρα για να τα χωρίσει.
Δεκαδικά στην Ευρώπη
Ένα νέο είδος κλασμάτων άρχισε να εμφανίζεται στα έργα των Ευρωπαίων μαθηματικών από τον 13ο αιώνα. Πρέπει να σημειωθεί ότι δεν ήταν εξοικειωμένοι με τα έργα του al-Kashi, καθώς και με την εφεύρεση των Κινέζων. Τα δεκαδικά κλάσματα εμφανίστηκαν στα γραπτά του Jordan Nemorarius. Στη συνέχεια χρησιμοποιήθηκαν ήδη τον 16ο αιώνα από τον Francois Viet. Ο Γάλλος επιστήμονας έγραψε τον «Μαθηματικό Κανόνα», ο οποίος περιείχε τριγωνομετρικούς πίνακες. Σε αυτά, ο Viet χρησιμοποίησε δεκαδικά κλάσματα. Για να διαχωρίσει τα ακέραια και τα κλασματικά μέρη, ο επιστήμονας χρησιμοποίησε μια κάθετη γραμμή, καθώς και διαφορετικό μέγεθος γραμματοσειράς.
Ωστόσο, αυτές ήταν μόνο ειδικές περιπτώσεις επιστημονικής χρήσης. Για την επίλυση καθημερινών προβλημάτων, τα δεκαδικά κλάσματα στην Ευρώπη άρχισαν να χρησιμοποιούνται κάπως αργότερα. Αυτό συνέβη χάρη στον Ολλανδό επιστήμονα Simon Stevin στα τέλη του 16ου αιώνα. Δημοσίευσε το μαθηματικό έργο The Tenth το 1585. Σε αυτό, ο επιστήμονας περιέγραψε τη θεωρία της χρήσης δεκαδικών κλασμάτων στην αριθμητική, στο νομισματικό σύστημα και για τον προσδιορισμό μέτρων και βαρών.
Τελεία, τελεία, κόμμα
Ο Stevin δεν χρησιμοποίησε επίσης κόμμα. Διαχώρισε τα δύο μέρη ενός κλάσματος με ένα μηδέν σε κύκλο.
Η πρώτη φορά που ένα κόμμα χώρισε δύο μέρη ενός δεκαδικού κλάσματος ήταν μόλις το 1592. Στην Αγγλία, ωστόσο, χρησιμοποιήθηκε η τελεία. Στις Ηνωμένες Πολιτείες, τα δεκαδικά κλάσματα εξακολουθούν να γράφονται με αυτόν τον τρόπο.
Ένας από τους εμπνευστές της χρήσης και των δύο σημείων στίξης για τον διαχωρισμό ακέραιων και κλασματικών μερών ήταν ο Σκωτσέζος μαθηματικός John Napier. Έκανε την πρότασή του το 1616-1617. χρησιμοποιείται κόμμακαι ο Γερμανός επιστήμονας Johannes Kepler.
Κλάσματα στη Ρωσία
Σε ρωσικό έδαφος, ο πρώτος μαθηματικός που σκιαγράφησε τη διαίρεση του συνόλου σε μέρη ήταν ο μοναχός του Νόβγκοροντ Kirik. Το 1136, έγραψε ένα έργο στο οποίο περιέγραψε τη μέθοδο «υπολογισμού ετών». Ο Kirik ασχολήθηκε με θέματα χρονολογίας και ημερολογίου. Στο έργο του, ανέφερε επίσης τη διαίρεση της ώρας σε μέρη: πέμπτα, εικοστά πέμπτα και ούτω καθεξής.
Η διαίρεση του συνόλου σε μέρη χρησιμοποιήθηκε κατά τον υπολογισμό του ποσού του φόρου στους XV-XVII αιώνες. Χρησιμοποιήθηκαν πράξεις πρόσθεσης, αφαίρεσης, διαίρεσης και πολλαπλασιασμού με κλασματικά μέρη.
Η ίδια η λέξη "κλάσμα" εμφανίστηκε στη Ρωσία τον VIII αιώνα. Προέρχεται από το ρήμα «συνθλίβω, χωρίζω σε μέρη». Οι πρόγονοί μας χρησιμοποιούσαν ειδικές λέξεις για να ονομάσουν κλάσματα. Για παράδειγμα, το 1/2 ορίστηκε ως μισό ή μισό, 1/4 - τέσσερα, 1/8 - μισή ώρα, 1/16 - μισή ώρα και ούτω καθεξής.
Η πλήρης θεωρία των κλασμάτων, όχι πολύ διαφορετική από τη σύγχρονη, παρουσιάστηκε στο πρώτο εγχειρίδιο για την αριθμητική, που γράφτηκε το 1701 από τον Leonty Filippovich Magnitsky. Η «Αριθμητική» αποτελούνταν από πολλά μέρη. Ο συγγραφέας μιλάει για τα κλάσματα λεπτομερώς στην ενότητα «Σε αριθμούς διακεκομμένων γραμμών ή με κλάσματα». Ο Magnitsky δίνει πράξεις με «σπασμένους» αριθμούς, τους διαφορετικούς χαρακτηρισμούς τους.
Σήμερα, τα κλάσματα εξακολουθούν να είναι από τα πιο δύσκολα τμήματα των μαθηματικών. Η ιστορία των κλασμάτων δεν ήταν επίσης απλή. Διαφορετικοί λαοί, άλλοτε ανεξάρτητα ο ένας από τον άλλο, και άλλοτε δανειζόμενοι την εμπειρία των προκατόχων τους, έφτασαν στην ανάγκη να εισαγάγουν, να κυριαρχήσουν και να χρησιμοποιήσουν κλάσματα ενός αριθμού. Το δόγμα των κλασμάτων αναπτύχθηκε πάντα από πρακτικές παρατηρήσεις και χάρη στο ζωτικόπροβλήματα. Ήταν απαραίτητο να διαιρεθεί το ψωμί, να σημειωθούν ίσα οικόπεδα, να υπολογιστούν οι φόροι, να μετρηθεί ο χρόνος κ.λπ. Τα χαρακτηριστικά της χρήσης των κλασμάτων και των μαθηματικών πράξεων με αυτά εξαρτώνται από το σύστημα αριθμών στην κατάσταση και από το γενικό επίπεδο ανάπτυξης των μαθηματικών. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, έχοντας ξεπεράσει περισσότερα από χίλια χρόνια, το τμήμα της άλγεβρας που είναι αφιερωμένο σε κλάσματα αριθμών έχει σχηματιστεί, αναπτυχθεί και χρησιμοποιείται με επιτυχία σήμερα για ποικίλες ανάγκες, τόσο πρακτικές όσο και θεωρητικές.
